专题13 利用相似三角形性质与判定解决动态问题(解析版)（重点突围）

专题13利用相似三角形性质与判定解决动态问题考点一利用相似三角形性质与判定解决动点中求时间问题（利用分类讨论思想）考点二利用相似三角形性质与判定解决动点中求线段长问题（利用分类讨论思想）考点三利用相似三角形性质与判定解决动点中求线段及线段和最值问题考点四相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题考点一利用相似三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为__________时，与相似．【答案】6或【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据与都是直角，当与相似时，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论,根据相似列方程解之即可．【详解】解：∵动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，，∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又∵动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，∴OE=tcm，根据与都是直角，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论，当∽，即时，，解得：，当∽，即时，，解得：，综上所述：当t=6或时，与相似，故答案时：6或．【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．【答案】或##或【分析】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．【详解】解：设经过t秒时，与相似，则,,,∵，∴当时，，即，解得：；当时，，即，解得：；综上所述：经过或秒时，与相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．2．（2022·全国·九年级课时练习）在中，，过点B作射线．动点D从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作交射线于F，G是中点，连接．设点D运动的时间为t，当与相似且点D位于点E左侧时，t的值为_____________．【答案】3或##或3【分析】若与相似，分情况讨论，则或，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：如下图：，是的中点，．点D位于点E左侧时，即，，解得：，，若与相似，则或，或，或故答案为：3或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．3．（2021·福建·古田县玉田中学九年级阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s），在动点P在射线AD上运动的过程中，则使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为_____．【答案】或10【分析】①当点在的上方，点到的距离为3，作于，延长交于，连接、，则，，，四边形是矩形，，证出，得出，求出，即可得出结果；②当点在的下方，点到的距离为3，作的延长线于，则，，，，证得，得出即可得出结果．【详解】解：根据题意分两种情况：①当点在的上方，点到的距离为3，作于，延长交于，连接、，如图1所示：则，，，四边形是矩形，在中，，点、关于直线对称，，，，，即，，；②当点在的下方，点到的距离为3，作的延长线于，如图2所示：则，，，在中，，，，，，，，即，解得：，综上所述，或10．故答案为：或10．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键．4．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，沿方向向点匀速运动，同时动点从B点出发，沿BA方向向点A匀速运动，P、Q两点的运动速度都是每秒1个单位，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为．问：当为何值时，以点A、P、Q为项点三角形与相似．【答案】当s或s时，以点A、P、Q为项点三角形与相似【分析】由题意可知，当或时，以点A、P、Q为项点三角形与相似，根据相似的性质，进行分情况讨论进行计算求t值，注意t的取值范围．【详解】解：若以点A、P、Q为项点三角形与相似，则在中，或，由题意可知，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0,6），∴OA=8，OB=6，AB=10，∵运动时间为，∴AP=BQ=t，则AQ=10-t，①当时，，则，∴，解得：（符合题意）；②当，，则，∴，解得：（符合题意），综上所述，当s或s时，以点A、P、Q为项点三角形与相似．【点睛】本题主要考查的是相似与一次函数的综合，利用相似的性质求值是本题解题的重点，同时需注意分情况讨论．5．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．(1)当移动几秒时，的面积为？(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？【答案】(1)3秒(2)3秒或秒【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．（1）解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6−t，BQ＝2t，由题意得：＝PB·BQ＝（6−t）·2t＝＝9，解得：，答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，则，即，解得：，②当△BPQ∽△BCA时，则，即，解得：，综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键．6．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t．（2）过点Q作QE垂直AO于点E，利用QEBO证明△AEQ∽△AOB，从而得到，从而得出==，再利用三角形面积解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴当t为或时，△AQP与△AOB相似．（2）过点Q作QE⊥AO于点E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴当t=2或3时，△APQ的面积为个平方单位．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．7．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒（t＞0）．(1)如图1，EF与CD交于点M，当DM=2CM时，求此时t的值；(2)当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，求出所有符合条件的t的值．【答案】(1)t=1或t=3(2)t=1或t=3或t=9或t=【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）分四种情况讨论，根据矩形的性质和正方形的性质证明全等或相似，求得BE的长度，进而求解．（1）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵DM=2CM，∴DM=2，CM=1，∵四边形AEFG是正方形，四边形ABCD是矩形，∴∠AEM=∠ADM=∠ABE=90°，AD=BC=4，∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEM=90°，∴∠BAE=∠CEM，∴△ABE∽△ECM，∴，∴=，∴t=1或t=3；（2）分四种情况，1°当点F在CD上时，如图，∵矩形ABCD，∴∠ABE=∠ECF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠EFC=90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF=90°，AE=EF，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∠AEB=∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB=EC=3，∴BE=BC﹣CE=4﹣3=1，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t=1；2°当点F落在AD上时，如图，∵AF时正方形AEFG的对角线，∴∠EAF=45°，∵矩形ABCD，∴∠B=∠BAD=90°，∴∠BAE=45°=∠AEB，∴BE=AB=3，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t=3；3°当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，设FM=BE=x，则MC=4﹣3﹣x=1﹣x，∵∠FCM=∠ACM，∠FMC=∠ABC，∴△FMC∽△ABC，∴，∴，解得：x=，即FM=BE=，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t=；4°当点F落在BD上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，设CE=a，则FM=BE=4+a，BM=7+a，∵∠DBC=∠FBM，∠FMB=∠DCB=90°，∴△FBM∽△DBC，∴，∴，解得a=5，∴BE=4+a=9，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t=9；故所有符合条件的t的值为t=1或t=3或t=9或t=．【点睛】本题是四边形综合题，以动点为背景考查了正方形，矩形的性质，关键是根据正方形，矩形的性质，利用全等或相似求出边长，进而求解．8．（2022·全国·九年级课时练习）阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)＝，解答见解析(2)没有进行分类讨论，见解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根据三角形相似的性质可得＝，再进行计算即可；（2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可；（3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程进行计算即可．（1）由题意得∵∴正确比例式是：＝，∴DE＝＝＝＝；（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，则△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，综合以上可得：DE为或．（3）由题意可知，有两种情况，第一种：当时，设AM=t，则AN=6-2t，则由得，解得：t=；第二种：当时，则由，，解得：t=，综上所述，当t＝或t＝时以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论．考点二利用相似三角形中的动点求线段长问题（利用分类讨论思想）例题：（2022·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E为AC、BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，使点C的对应点C′落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长．【详解】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，∴DC'CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴，解得x，经检验：x是所列方程的解，∴CD；②如图，当∠DC'A＝90°时，∠＝90°，由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B与CE重合，∵∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝＝5，∴，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴，解得x，经检验：是方程的解，∴CD；综上所述，CD的长为或．故选：C．【点睛】本题主要考查了折叠问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用相似三角形的性质得到比例式列方程是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）在中，，点P在上，且，点Q是边上一个动点，当______时，与相似．【答案】2或8##8或2【分析】分和两种情况求解．【详解】当时，则，因为，，所以，解得；当时，则，因为，，所以，解得；故答案为：2或8．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确进行分类计算是解题的关键．2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，AE＝__________．【答案】或1【分析】分情况讨论：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性质，角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．【详解】解：分两种情况：①当∠CED=90°时，如图1，过E作EF⊥CD于F，∵，AD＜BC，∴AB与CD不平行，∴，∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，∵∠A=∠B=∠CED=90°，∴∠BCE=∠DCE，∴AE=EF，EF=BE，∴AE=BE=AB=，②当∠CDE=90°时，如图2，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，∵，CE和BC相交，∴AD与CE不平行，∴，∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，∴∠BCE=∠DCE=∠ADE=30°，∵∠A=∠B=90°，∴BE=ED=2AE，∵AB=3，∴AE=1，综上，AE的值为或1．故答案为：或1．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，角平分线的性质和直角三角形30度角的性质，当两个直角三角形相似时，要分情况进行讨论；正确画图是关键，注意不要丢解．3．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级开学考试）如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当CN=2时，CM=______．【答案】4【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，进而证明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠BMA=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠BMA+∠NMC=90°，∴∠BAM=∠NMC，∴△BAM∽△CMN，∴，∴，解得MC=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．4．（2022·河南·泌阳县光亚学校九年级阶段练习）如图，边长为2的正方形中，点为边中点，点为射线上一动点，过点作，当与相似时，的长度为___________．【答案】1或【分析】分两种情形：如图1中，当点是的中点，时，，此时；如图2中，当点是的中点时，；分别求解即可得到答案．【详解】解：如图1所示：当点是的中点时，，此时；如图2所示：当点是的中点时，，，，，，，，，，，，，，综上所述，满足条件的的值为1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．5．（2021·河南·漯河市第三中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有_____个．【答案】4【分析】设P（t，），由于∠PQO＝∠AOB，则根据相似三角形的判定方法，当时，△OPQ∽△BAO，当时，△OPQ∽△ABO，然后分别解方程求出t，从而可判断点P的个数．【详解】解：∵A（0，2），B（1，0），∴OA＝2，OB＝1，设P（t，），∵PQ⊥x轴，∴∠PQO＝90°，∵∠PQO＝∠AOB，∴当时，△OPQ∽△BAO，即，则2t＝，解得t1＝﹣，t2＝，此时P点坐标为（﹣，）或（，﹣）；当时，△OPQ∽△ABO，即，则t＝，解得t1＝﹣，t2＝，此时P点坐标为（，﹣）或（﹣，），∴以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，相应的点P共有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了反比例函数函数图象上点的坐标特征．6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP=__________．【答案】2或8或5【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分别根据相似三角形的对应边成比例求得DP的长度即可．【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，①当△APD∽△PBC时，可得，即，解得：PD＝2或PD＝8；②当△PAD∽△PBC时，可得，即，解得：DP＝5．综上所述，DP的长度是2或8或5．故答案为：2或8或5．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．考点三利用相似三角形性质与判定解决动点中求线段及线段和最值问题例题：（2021·湖南永州·一模）如图已知中，，，，P是线段BC上的动点，则的最小值是______．【答案】【分析】在BC上取一点P，使CP=AP过B作BD⊥AP交AP的延长线于点D．则△BDP∽△ACP，推出DP=BP，所以PA+PB=PA+DP=AD，设CP=a，则AP=3a，a2+42=（3a）2，即得a=，因此AP=3，BP=3-，DP=1-，求出PA+PB=3+1-=．【详解】解：在BC上取一点P，使CP=AP，过B作BD⊥AP交AP的延长线于点D，则∠D=∠C=90°∴△BDP∽△ACP，∴，即DP=BP，∴PA+PB=PA+DP=AD，设CP=a，则AP=3a，∴a2+42=（3a）2，∴a=，∴AP=3，∴BP=3-，DP=1-，∴PA+PB=3+1-=故答案为：．【点睛】本题考查了胡不归问题，正确构建相似三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．【答案】【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，∴点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，∵MN+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值为MF的长，

连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，∵AD=CD=2，DE=1，∴CE==，∵CE×DO=CD×DE，

∴DO=，∴EO=，∵MF⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，

∵CE为线段DM的垂直平分线，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四边形DEMG为平行四边形，

∵∠MOG=90°，∴四边形DEMG为菱形，∴EG=2OE=，GM=DE=1，∴CG=，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴，即，

∴FG=，∴MF=1+=，∴MN+NP的最小值为．故答案为：．【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．2．（2021·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．【答案】【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF，∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE∵，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，∵D为AB上的动点，∴E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．在△AGC与△E1GF中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，∵BF＝BE2，∴BE2＝，故答案为：．【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键．3．（2022·陕西·西安滨河学校三模）如图半径为，为直径，弦，点是半圆弧上的动点（不与A、重合），过点作的垂线交的延长线于点，则面积的最大值为______．【答案】【分析】根据相似三角形的判定及性质和勾股定理即可求解．【详解】解：半径为，为直径，，，，，，．，，，，．当最大即为直径时，最大，此时，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是证明．4．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上的一动点，以点为直角顶点构造直角三角形（点A，B，C按顺时针排列），使，已知点D的坐标是，连接DB，则的最小值为___________．【答案】【分析】如图，过作轴的垂线，过分别作且垂直于过点与轴垂直的直线，垂足分别为，交轴于，与轴交于点，证明，利用相似三角形的性质可得在直线上运动，作关于直线的对称点，则，当三点共线时，，此时最小，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，过作轴的垂线，过分别作且垂直于过点与轴垂直的直线，垂足分别为，交轴于，与轴交于点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设则而，∴，解得：，∴在直线上运动，作关于直线的对称点，则，当三点共线时，，此时最小，∴∴的最小值为故答案为：【点睛】本题考查的是轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质证明在直线上运动是解本题的关键．5．（2022·福建·九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．(1)AB＝_______；当x＝1时，＝______；(2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．【答案】(1)4，(2)是定值，(3)【分析】（1）根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出AB，作PM⊥AB于M交CD于N，证明，利用相似比求出；（2）利用，求出相似比是个定值即可；（3）将△PBE的面积转化为二次函数，求最值即可．（1）解：作PM⊥AB于M交CD于N．如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3,∠ABC=90°，∵AC＝5，∴．∵∴∴∴，，∴，∵MN＝AD＝3，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为4，；（2）结论：的值为定值．理由如下：当点E在点C左侧时，如图1所示：由PA＝x，可得．∴，，，∵△BMP∽△PNE，∴．当点E在点C右侧时，如图2所示：同理得出．综上所述：的值为定值．（3）在Rt△PBM中，，∵．∴，∴，∵0＜x＜5，∴时，S有最小值＝．【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质．解题的关键是：熟练掌握矩形的性质，通过添加辅助线构造三角形相似．本题还考查了二次函数求最值的问题．考点四相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题例题：（2022·上海对外经贸大学附属松江实验学校花园分校九年级阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．(1)求证：AE＝2PE；(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．【答案】(1)见解析(2)y＝﹣+x，定义域是0＜x＜(3)或【分析】（1）先由已知条件判断出，由相似三角形的对应边成比例即可得出＝，再由，可知，再根据其对应边成比例即可求出答案；（2）由，得＝＝，进而可得出AE与DE的关系，作，垂足为点H，由可得出＝＝，进而可得出y与x的关系式；另解：由x，根据＝，即可得到y与x的关系式；（3）由，得＝，当与相似时，只有两种情形：或，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．（1）解：∴＝，∴＝＝．（2）解：由得＝，作，垂足为点H，∴＝＝．∴HE＝x．又∵AB＝2，y＝（2﹣x）•x，即y＝﹣+x．∵点D是AC上一点，∴∴，定义域是．另解：由得＝＝，∴×x＝x，∴×x×2＝x，∴＝，即＝，∴y＝﹣+x．定义域是．（3）解：由，得＝，∴PE＝x•＝x．当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：或（i）当时，＝，∴＝．解得x＝．∴﹣x××5+×＝．（ii）当时，同理可得x＝，y＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，找出图形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是关键，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解．【变式训练】1．（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校九年级阶段练习）如图，Rt△ABC的两条直角边cm，cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/s，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/s．动点E到达点C时运动终止．连结DE、CD、AE，设运动时间为（s）．(1)当为何值时，△BDE与△ABC相似?(2)设△ADE的面积为S，求S与的函数解析式；(3)在运动过程中是否存在某一时刻，使?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当为秒或秒时，与相似(2)，(3)存在，当t=，有CD⊥DE【分析】（1）设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），然后分∠BDE=∠BAC，和∠BDE=∠BAC，两种情况分别证明Rt△BDE∽Rt△BCA，最后后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值即可；（2）过E作EF⊥AB于F，先证Rt△BEF∽Rt△BAC，根据三角形相似的性质得到比例线段用t表示EF，BF，然后根据三角形的面积公式求解即可；（3）先计算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t即可．（1）∵，，∴BC=5cm，设点运动时间为秒，，，，，①当，即时，，，即，∴，②当即时，，∴，即，∴，即当为秒或秒时，与相似；（2）过E作EF⊥AB于F，如图，根据题意