第17讲 切线长定理（解析版）

第17课切线长定理目标导航目标导航课程标准1.理解切线长的定义；2.理解切线长定理及圆外切四边形的性质；3.能证明切线长定理；4.能运用切线长定理进行有关的证明与计算.知识精讲知识精讲知识点01切线长定理1．切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

注意：

切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.

2．切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

注意：

切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.知识点02圆外切四边形圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.

注意：不是所有的四边形都有内切圆能力拓展能力拓展考法01应用切线长定理求解【典例1】如图，分别与相切于点、过圆上点作的切线分别交于点，若，则的周长是（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】解：∵分别与相切于点，的切线分别交于点，，∴，∴的周长．故选：D．【即学即练】如图，分别切于点A，B，C．若的半径为的长为，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，连接，∵是的切线，∴，同理，，，在中，，∴．故选C．【典例2】如图是的切线，切点分别为P，C，D．若，则的长是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．2【答案】B【详解】解：∵是的切线，切点分别为P，C，D，，∴，∴，故选B．【即学即练】如图，的内切圆⊙O与，BC，CA分别相切于点D，E，F，，则AD的长是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，∵的内切圆⊙O与，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴，∵，∴，，∵∴，∴，∴．故选：D．考法02应用切线长定理求证【典例3】已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的只有（

）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【详解】连接OD，DE，EB，∵CD与BC是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，∵OC=OC∴Rt△CDO≌Rt△CBO，∴∠COD=∠COB，∴∠COB=∠DAB=∠DOB，∴AD∥OC，故①正确；∵CD是⊙O的切线，∴∠CDE=∠DOE，而∠BDE=∠BOE，∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故②正确；若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；设AE、BD交于点G，由②可知∠EBG=∠EBF，又∵BE⊥GF，∴FB=GB，由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE=∠BCE，又∵∠MDA=∠DCE（平行线的性质）=∠DBA，∴∠BCE=∠GBA，而∠CFE=∠ABF+∠FAB，∠DGE=∠ADB+∠DAG，∠DAG=∠FAB（等弧所对的圆周角相等），∴∠AGB=∠CFE，∴△ABG∽△CEF，∴CE•GB=AB•CF，又∵FB=GB，∴CE•FB=AB•CF故④正确．因此正确的结论有：①②④．故选：D．【即学即练】如图AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点且ABDC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【详解】连结OF，∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，又因为CG与CF为切线长，BE与BF也为切线长，∴CG=CF，BE=BF，∴①CG=CF，②BE=BF正确；∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90º，∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG，∴∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO，∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC，∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180º，∴2∠FOB+2∠FOC=180º，∴∠FOB+∠FOC=90º，∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90º，∴③∠BOC=90°正确；；由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，∵∠EOB+∠EBO=90º，∠EOB+∠EBO=90º，∴∠GOC=∠EBO=∠OBC，△BEO∽△BOC∽△OGC，∴④△BEO～△BOC～△OGC正确，①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数有4个，故选择：A．【典例4】如图，已知PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，射线PO交圆O于点D、点E．下列结论不一定成立的是()A．点E是△BPA的内心 B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线【答案】B【详解】解：如图，作EG⊥PA于G，EH⊥PB于H，作PO的中点F，并连结FB、FA、EB、EA、OB、OA，由切线长定理可知PA=PB，∠BPO=∠APO，∴△BPA为等腰三角形，且PC为△BPA的边AB上的中线，D不符合题意；由切线的性质可知△OBP、△OAP为直角三角形，∵F为PO的中点，∴FB=FA=，∴点A、B都在以PO为直径的圆上，C不符合题意；在△PBE和△PAE中，，∴△PBE≌△PAE，∴EB=EA，∴∠EBA=∠EAB，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE=∠EBA，∴∠PAE=∠EAB，∴EG=EC，∵PO平分∠BPA，∴EH=EG，∴EH=EG=EC，∴点E是△BPA的内心，A不符合题意；∵PC=CD不一定成立，AB与PD不一定相互垂直平分，B符合题意；故选B．【即学即练】如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（

）A． B．平分C． D．【答案】D【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．考法03圆的综合问题【典例5】如图，是的弦，点是上的动点（不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是，则长的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵∴∵点是的中点∴∴当为直径时，最大；∵的半径是；∴∴故选：A．【即学即练】如图，C为半圆弧的中点，P为弧上任意一点，，且与交于点D，连接．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，∵的直径为，C为半圆弧的中点，∴，∵，∴，∴，，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，∵，C为半圆弧的中点，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴中，，∴，∵，∴，∴∴的最小值为：故选：A【典例6】如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】C【详解】解：过A作关于直线的对称点，连接，，∵关于直线对称，∴，∵，∴，∴，过O作于Q，则，∵，∴，∴，∴，即的最小值．故选：C．【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．分层提分分层提分题组A基础过关练1．平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（

）A．条 B．条 C．条 D．无数条【答案】A【详解】⊙的半径为，点到圆心的距离为，,点与⊙的位置关系是：点在⊙的内部，过点可以作⊙的条切线．故选：A．2．如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（

）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】C【详解】、分别切于、，，，，、分别切于、，切于，，，，故选：C．3．如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵、、是的切线，∴AP=AC，BP=BD，∵，，∴AP=3，∴BD=BP=AB-AP=2．故选：B4．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为14，则的长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：与，，分别相切于点，，，，，的周长为14，故选：．5．如图，是的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（

）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【答案】B【详解】解：∵为的切线，∴，∵为的切线，∴，∵，，∴．故选：B．6．如图，⊙O是的内切圆，D，E，F分别为切点，且．已知，，则四边形OFCE的面积为（

）A．1 B．15 C． D．4【答案】D【详解】解：如图，连接，设半径为，则，，，，∵，，，∴,∴，，∴，∴，∵，分别为切点，且，，∴四边形是正方形，∴四边形的面积为．故选：D．7．如图，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长为________．【答案】【详解】解：∵，分别为的切线，∴，，∴为等腰三角形，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴．故答案为：8．如图，P为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为__．【答案】【详解】解：分别切于点，切于点，，，，，的周长，故答案为：．9．如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵交的延长线于点，∴点，在圆上，∴，且是圆的半径，∴，∵，∴，∵中，，∴在中，，∴，即，且点在圆上，∴是的切线．（2）解：在中，，，∴，∵，∴，由（1）可知，设圆的半径为，∴，且，∴，即，解得，，故的半径为．10．如图，与相切于点C，经过上的点D，交于点，，是的直径．(1)求证：是的切线；(2)当，时，求的半径长．【答案】(1)见解析(2)3【详解】（1）证明：连接，如图：∵，∴，∵，∴，∴．在和中，，∴，

∴，∵与相切，∴，又∵是的半径，∴是的切线；（2）解：∵是的切线，与相切，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即的半径长为3．题组B能力提升练1．已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：根据题意，作出图形，过点作，，，连接，如下图：由切线长定理可得：，，，，，，∵，∴，∴，∴，即，在中，，，∴，由勾股定理可得：，的周长为16，可得：解得，故选：C．2．圆O内切于三角形，在斜边上的切点为D，，，则内切圆的半径为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】解：由题意得，是直角三角形，且，设内切圆与三边分别切于点D，E，F，连接，，如图，∵是的内切圆，∴，，∴，∵，∴四边形为矩形，∵，∴矩形为正方形；设的半径为r，∵四边形为正方形，∴，∵是的内切圆，∴，，∴，，，在中，，∴，解得：（舍去），∴的半径为2；故选：A．3．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，∴，∵、是的切线，切点是D，交，于点，，∴，，∵的周长为4，即，∴，∵，∴，故选：B．4．若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，作交于，连接，∵弧是由部分沿折叠得到的，且，∴，又∵，∴，∵是完美三角形，∴，，设，则，∴，∴，∴，∴，故选：．5．如图，的半径为2，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（

）A． B． C．6 D．3【答案】A【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B，∴，．∵，∴为等边三角形，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴的周长为．故选A．6．如图，是的直径，半径于点，平分，交于点，交于点，连接，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【详解】解：设的半径为，则，，，平分，，，，∽，，，，，∽，，故正确，符合题意；，，，又∽，，，故错误，不符合题意；平分，，，是的直径，半径于点，，故正确，符合题意；，又是的直径，半径于点，，，，，∽，，，，，，故正确，符合题意；故选：D．7．如图，正方形的边长为，点是边上一点，连接，过点作于点，连接并延长交于点，则的最大值是____．【答案】1【详解】解：以为直径作圆，因为，所以点在圆上．当与圆相切时，最大．此时，．设，则，，在中，利用勾股定理可得：，解得．故答案为．8．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，单位长1为半径的圆与直线相切于点M，直线与y轴交于点N，当取得最小值时，k的值为______．【答案】或##或【详解】∵直线与y轴交于点N，∴，且，∴，∵单位长1为半径的圆与直线相切于点M，∴，∴，∴当时，取得最小值，∴点，设直线与x轴的交点为，∴，，，，∴，∴，解得：或，故答案为：或9．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)6．【详解】（1）证明：如图，连接，平分，，，，，，，，点E在上，是的切线；（2）解：过点O作于点M，，，，，，四边形是矩形，，，，，，．10．如图，已知点D在⊙O的直径延长线上，点C为⊙O上，过D作，与的延长线相交于E，为⊙O的切线，．(1)求证：；(2)求的长；(3)若的平分线与⊙O交于点F，P为的内心，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【详解】（1）证明：如图，连接，∵是⊙O的切线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）（2）方法一：∵，∴，∵，∴由勾股定理可得，，∵，∴由勾股定理可得，，∵，∴，∴解得：或（舍去），故．方法二：由弦切角定理得，∵，∴，∴，即，∵，∴由勾股定理可得，，∵，∴，解得或（舍去）,故．（3）如图，连接，∵平分，∴，∴，∵为直径，，∴，∵P为的内心，∴∵，∴，∴∴，∴．方法二：如图，连接，∵平分，∴，∴，∴，∵为直径，，∴，∵P为的内心，平分，∴，∵，∴，∴．题组C培优拔尖练1．如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．∴，，，∵的周长为，∴，∴．故选：A．2．如图，是的直径，点、在上，点是弧的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接，如图所示：是的直径，是的切线，，，，，点是弧的中点，，，，，故选：B．3．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接相交于点P，连接．已知于点E，．下列结论：①；②；③若，则；④若点P为的中点，则．其中正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④【答案】B【详解】解：∵是的直径，∴，∴，根据题意无法确定和之间的大小关系，∴无法确定和4之间的大小关系，故①错误；∵，∴，∴，∵，∴，故②正确；∵，∴＝，∵，∴＝，∴＝＝，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，故③正确；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴是的中位线，∴，∴，故④正确．故选：B．4．如图，矩形OABC，，点M为的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（）A．（，6） B．（6，） C．（1，1） D．（，6）【答案】D【详解】解：如图，在矩形OABC中，，∴，∴，过点M作，垂足分别为D、E、F，∴，∴四边形是矩形，∵点M为的内心，∴，∴四边形BDME是正方形，设设，则，，∴，解得，∴，设将矩形绕点C顺时针旋转90°后，点M的对应点为点，如图，过点作轴于N，∴，∴，又∵，，∴（AAS），∴，，∴点的坐标为（，6），故选：D．5．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点D作，，，垂足为E，F，H，连接AD，根据内切圆的性质可知垂足E，F，H也是三边与的切点，∴，∵，∴，设，则，∴，，，∴，∴，∴，设，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．6．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作，交于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形的面积（）A．先变大后变小 B．先变小后变大C．保持不变 D．一直减小【答案】A【详解】解：如图，连接，，．∵是直径，∴，∵，∴，∵，∴（SSS），∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴（ASA），∴，∴，∵点C在从点A往点B运动的过程中，△OBC的面积先变大后变小，∴四边形CGON的面积先变大后变小，故选：A．7．如图，的半径为，圆心，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为_____．【答案】【详解】连接，交于，过点作轴于点，连接，，在中，，在中，，∴，∵，，∴，即，当点与点重合时，，∴时取最小值，此时点在直线上取最小值，∵，∴，∵点、点关于原点对称，∴，即是的中点，∴，∴，∴当最小时，取最小值，∴；故