第20讲 圆单元复习（原卷版）

第20讲圆单元复习目标导航目标导航课程标准1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；知识精讲知识精讲知识点01圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.

注意：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

注意：

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

注意：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点02与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为，OP=，则有

点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.

注意：

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法

当时，在⊙O上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.

(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.

(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.

4．切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.知识点03三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

注意：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

知识点04圆中有关计算1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

注意：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.能力拓展能力拓展考法01圆的有关概念及性质【典例1】如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦．A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】如图，在中，，，则（

）A． B． C． D．【即学即练】如图，是的直径，，，则的度数是（）A． B． C． D．考法02弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理【典例3】如图，在中，如果＝2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（

）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【即学即练】如图，在⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（

）A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA【典例4】如图，是的直径，于E，，，则为（

）A．17 B．30 C．34 D．36【即学即练】如图，是的弦，半径为，，则弦的长为（）A． B． C． D．考法03与圆有关的位置关系【典例5】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定【即学即练】在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．．【典例6】已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【即学即练】如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大交于点A，B，若，则直线l与小的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定考法04圆中有关的计算【典例7】如图，是的外接圆，，则的度数为（）A．45° B．55° C．70° D．75°【即学即练】如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（

）A． B． C． D．【典例8】若圆的半径为9，则的圆心角所对的弧长为（）A．3 B．6 C． D．【即学即练】半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．考法05圆与其他知识的综合运用【典例9】如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（

）A．5 B． C． D．6【即学即练】已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（

）A． B． C． D．分层提分分层提分题组A基础过关练1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为()cm．A．2 B．4 C．8 D．162．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．150°3．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16 B．14 C．12 D．104．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么弧AB与弧CD的关系是（）A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．不能确定5．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是(

)A．AB＝AD B．AC＝BD C．BE＝CD D．BE＝AD6．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（）A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm7．如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为______．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____．9．如图，直线，垂足为P，测得．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切；（2）求该圆弧的长．10．如图，已知AB是⊙O的直径，．（1）求的度数；（2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长．题组B能力提升练1．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（

）A．12π B．6π C．5π D．4π3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（

）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm4．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（

）A．π B．π C．π D．2π6．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（

）A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确7．如图，半圆形纸片AMB的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________.8．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．9．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）(2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．10．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．(1)求证：为的切线；(2)当，时，求线段的长．题组C培优拔尖练1．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于(

)A．140° B．130° C．120° D．110°2．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（）A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．224．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（

）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA5．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为(

)A．3 B．1+ C．1+3 D．1+7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C