多边形内角和

典型例题一例01．：一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数.解答：设这个多边形的边数为，根据题意，得.，说明：此题考查多边形的内角和定理，解题关键是设边数为，根据多边形内角和定理及条件列出关于的方程.典型例题二例02．一个多边形的内角和是外角和的2倍，求此多边形的边数.解答：设此多边形的边数为.那么∴答：这个多边形是六边形.说明：此题考查了多边形的内角和、外角和定理，解题关键是设边数为，列出关于的方程.典型例题三例03．：如图，求的度数.解法1：∵，，∴∵，，∴解法2：连结BF，那么∵∴说明：求复杂图形的角度时，要善于利用三角形和四边形.典型例题四例04．多边形的内角中最少应有〔〕锐角.A．1个B．2个C．3个D．没有错解：选A.正解：选D.说明：错解中没有考虑当多边形为四边形时，四个内角可以都为直角，故没有锐角.典型例题五例05．如图，六边形ABCDEF中，.求证：.证明：向两方分别延长AB、CD、EF，如图，得.∵.同理∴∴∴为等边三角形.同理，、均为等边三角形.∴也为等边三角形.∴∴即∴说明：此题的解题关键是作辅助线，构成等边三角形.典型例题六例06．：一个四边形的四个内角的比为，求它的四个内角的度数.分析：假设设四边形四个内角中，最小的角为，那么另外的三个角都可以用表示出来.因四边形的内角和是一个数，我们就可以得到关于的方程，从而求出四边形的四个内角的度数.解答：设四边形的最小的角的度数为，那么另外3个度数为，和，根据题意，得，解得，∴，即四边形的四个角度数为，，和.说明：四边形不具有稳定性，但它的内角和是固定的，等于，所以在求解四边形的内角的过程中，内角和起着重要作用.典型例题七例07．如图，：求的度数.分析：我们只知规那么图形的内角之和.所以想方法把移到和其他几个角同一图形中，因此考虑到连结AD.所以有，所以求就是求四边形ABCD的内角和.解答：连结AD，那么在和中，.在四边形ABCD中，，即.∵∴说明：此类型题的求法，一般是将所要求的角归纳到几个四边形和三角形中，利用四边形、三角形的性质来解，在求解过程中，不妨适当添加辅助线，使所求角处在四边形或三角形中.典型例题八例08．一个多边形的每个内角度数都为，求它的边数.分析：多边形的内角和可以通过公式计算出来.如果知道每个内角的度数，那么可由每个内角度数角的个数来表示出来.解答：设多边形的边数为，根据题意得，，解得即多边形为12边形.说明：多边形的内角和常常用到，而多边形的外角和用起来往往也很方便，因为外角和是一个固定的值，它不受边数变化的影响，总是，所以我们也能利用外角和求解.如，此题中，每个内角为，所以空的每个外角为.因为多边形的外角和为，而，所以它是12边形.典型例题九例09．一个多边形共有27条对角线.求：〔1〕这个多边形是几边形？〔2〕此多边形的内角和的度数.分析：要求多边形的边数是多少，实际上是要求掌握对角线与边数之间的关系式，即对角线数，假设求出了边数，内角和就容易求到.解答：〔1〕设边数为，根据题意得：，解得或〔舍〕∴这个多边形是9边形.〔2〕∵，∴此多边形的内角和为.典型例题十例10．如图，：四边形ABCD中，BD平分.假设，.求证：.分析：直接证明比拟困难，又由BD平分考虑到添加辅助线，构造与或相等的角.作，连结DE，那么容易证出，，又由，可知.因此可证出.证明：在AB上截取，连结DE.∵BD平分，∴.在和中，∴∴，∴∵∴说明：对于任意多边形的问题，经常分解为假设干个三角形，然后利用三角形的性质去解，这是处理四边形问题时常用的重要思路.选择题1．一个多边形的外角和等于它的内角和，那么这个多边形是〔〕A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形2．假设多边形的边数由3倍增加到n〔n为正整数，且〕，那么其外角和的度数〔〕A．增加B．减少C．不变D．不确定3．假设一个多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是〔〕A．B．C．D．4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是〔〕A．5B．6C．7D．85．一个五边形有三个内角是直角，另两个都等于n°，那么n的值是〔〕A．45B．135C．120D．1086．所有内角都相等的18边形，它的每个内角、外角的度数是〔〕A．120°，60°B．140°，40°C．160°，20°D．100°，80°7．过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，那么这个多边形边数是〔〕A．8B．9C．10D．118．以下命题中，正确的有〔〕①七边形有14条对角线；②外角和大于内角和的多边形只有三角形；③假设一个多边形的内角和与外角和是4：1，那么它是九边形.A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案1．B2．C3．C4．C5．B6．C7．C8．C填空题1．六边形的内角和是_________，十二边形的内角和是_________.2．如果一个多边形的内角和为1260°，那么边数是________.3．当多边形的边数增加一条时，其内角和增加_____度.4．将n边形的边数增加一倍，那么它的内角和增加_______度.5．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，那么参考答案1．720°，1800°2．93．180°4．5．125．〔提示：可求〕解答题1．一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的边数.2．在五边形ABCDE中，假设，.求、、的度数.3．一个多边形的内角和与外角和的差为，求它的边数.4．一个多边形的每个内角都等于144°，求它的边数.5．一个多边形，除去一个内角之外，其余各角之和为3290°，求这个内角的度数〔用两种方法〕.6．一个边形除去一个内角之外的所有内角之和是，求这个内角的度数.7．多边形的每一个内角都等于它相邻的外角的4倍，求多边形的边数.8．五边形ABCDE中，.求9．有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1：2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数.10．如图，求的度数.11．在六边形ABCDEF中，，且，求和的度数.12．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数.13．在四边形ADEF中，于C，于B，，求四边形ADEF的面积.14．在四边形ABCD中，，求和的度数.15．如下图，ABCD是一块四边形菜地的示意图，EFG是流过这块菜地的水渠，水渠东边的地属张家承包，水渠西边的地属李家承包，现在村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并且要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由.16．如图，是一个用六根竹条联接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到内架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点连接，设计出两种不同的联接方案〔用直尺连接〕.参考答案1．122．解：设，那么有∴.∴.3．解：设边数为.那么∴答：这个多边形是9边形.4．5．130°6．解法1：∵除去的内角，∴，∴∴所求的角为解法2：设除去的角为，那么，因为多边形的内角和是的整数倍，那么除去的角与上面的余数和为，即.∴.7．108．180°.〔提示：∴，∴〕9．12，2410．解：连BE，那么∵，∴