2023年河南省信阳市普通高校对口单招数学自考真题(含答案)

2023年河南省信阳市普通高校对口单招数

学自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(10题)

1.在等比数列①:中，ai+32=162,a3+a4=18,那么a4+a5等于()

A.6B.-6C.±2D.±6

2.已知｛aQ是等差数列，ai+a7=-2,a3=2,则｛aQ的公差d=()

A.-lB.-2C.-3D.-4

3.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数

小于十位数的共有()

A.210B.360C.464D.600

4.某品牌的电脑光驱，使用事件在12000h以上损坏的概率是0.2,则三

个里最多有一个损坏的概率是()

A.0.74B.0.096C.0.008D.0.512

5.函数'=后工1+lg(1~x)的定义域是0

A.(-l,l)B.[0,l]C.[-l,1)D.(-1,1]

6.已知点A(L-1),B(-L1),则向量不为()

A.(l,-1)C.(0,0)D.(-2,2)

直线y=x-l的倾斜角为

7.

71

A.7

n

B5

D.

n

C.6

8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()

・・斯

A.1

B.:

C/

D.2

9.若函数y=log2(x+a)的反函数的图像经过点P(-1,0),则a的值

为()

A.-2

B.2

1

C.2

D.2

10.椭圆9x2+16y2=144短轴长等于（）

A.3B.4C.6D.8

二、填空题（10题）

已知等差数列｝薪足5=5.&+4=30,贝I]4=

tana=2,则Ism：a+Ltn2a=

12.已知42

13.执行如图所示的程序框图，若输入的k=ll,则输出的5=

函数y=Jx，-2犬+I的定义域是

14.

15.己知两点A(-3,4)和B(l,1),则M%=_。

16函数f(x)=alogzx+61og3X+2,f()=4,贝！If(2012)=

17.已知正方形ABCD助任平面ij止方形ABEF所在的平面成l'l小用，W>jZFBD=

cos50sm20+sin50cos20cos50sin20+Sm40cos2。

----------------------------------------------=----------------------------------------------s

18.sm35sm55；sm35sin55.

19.某校有老师200名，男学生1200名，女学生1000名，现用分层抽

样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则从女生中抽取

的人数为.

20.5个人站在一其照相，甲、乙两人间恰好有一个人的排法有种.

三、计算题（5题）

21.甲、乙两人进行投篮训练，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且两人投球命中与否相互之间没有影响.

(1)若两人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.

22.已知函数y=&cos2x+3sin2x,x£R求：

(1)函数的值域；

(2)函数的最小正周期。

23.有四个数，前三个数成等差数列，公差为10,后三个数成等比数

列，公比为3,求这四个数.

1—X

己知函f(x)=loga-------,(a>0且a*)

24.1+x

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

25.在等差数列同｝中,前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差数列

｛an｝的通项公式an.

四、简答题(10题)

26.数列值；的前n项和Sn,且为,4产123求

(1)a2,a3,34的值及数列的通项公式

(2)a2+a4+a6++a2n的值

27.据调查，某类产品一个月被投诉的次数为0,1,2的概率分别是

0.4,0.5,0.1,求该产品一个月内被投诉不超过1次的概率

28.四棱锥S-ABCD中，底面ABOD为平行四边形，侧面SBC_L底面

ABCD

(1)证明：SA±BC

4cos2a

aa

COt——tdH—

29.简化22

30.求到两定点A(-2,0)(1,0)的距离比等于2的点的轨迹方程

31.设等差数列的前n项数和为Sn,已知

4=:且砧j==21,求同

--的通项公式及它的前n项和Tn.

32.在三棱锥P-ABC中，已知PAJ_BC,PA=a,EC=b,PA,BC的公

垂线EF=h,求三棱锥的体积

33.如图，四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB//CD,

AD=CD=1,BAD=120。，PA=V3,ACB=90。。

(1)求证：BC_L平面PAC。

(2)求点B到平面PCD的距离。

34.在ABC中，AC±BC,ABC=45。，D是BC上的点且ADC=60。,

BD=20,求AC的长

35.以点(0,3)为顶点，以y轴为对称轴的抛物线的准线与双曲线

3xZy2+12=0的一条准线重合，求抛物线的方程。

五、解答题(10题)

36.已知函数f(x)=log21+x/l-x.

⑴求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

⑶用定义讨论f(x)的单调性.

/(X)，在(-.0)

37.证明x上是增函数

38.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC，平面ABCD,AB//DC,DC±

AC.

⑴求证:DC_L平面PAC;

⑵求证：平面PAB_L平面PAC.

39.已知圆C的圆心在直线y=x上，半径为5且过点A(4,5),B(l,6)两

/占、、、•

⑴求圆C的方程；

⑵过点M(-2,3)的直线1被圆C所截得的线段的长为8,求直线1的方程.

40.已知等差数列｛an｝的前72项和为Sn,a5=8,S3=6.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)若数列｛an｝的前k项和Sk=72,求k的值.

41.已知函数f(x)=ex(ax+b)—x2—4x,曲线:y=f(x)在点(0,f(0))处的切

线方程为y=4x+4.

⑴求a,b的值；

⑵讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.

42.如图，ABCD-AiBiGDi为长方体.

(1)求证:BiDi//平面BGD;

⑵若BC=CG,,求直线BC,与平面ABCD所成角的大小.

43.已知圆X2+y2=5与直线2x-y-m=0相交于不同的A,B两点，O为

坐标原点.

⑴求m的取值范围；

(2)若OA，OB,求实数m的值.

44.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13

后成为等比数列｛、｝中的b3,b4,b5

(1)求数列｛bn)的通项公式；

(2)数列｛bn｝的前n项和为Sn,求证：数列｛Sn+5/4｝是等比数列

2开

已知=1，且a€(-2，0)，求tan2a

45.32

六、单选题(0题)

46.点A(a,5)到直线如4x-3y=3的距离不小于6时，则a的取值为

()

A.(-3.2)B.(-3,12)C.(-,-3][12,+)D.-3)(12,+)

参考答案

1.D

设公比等于q,则由题意可得

Qi+a2=«1(1+q)=162

。3+二«1Q2(Q+1)=18解得

24311

Qi=—>Q=3%=243,q=--

，取i。o

2431

Qi=k，q=3

/$时，

、1

Q4+。5=(。3+。4)4=18X-=6

3,当

1

«1=243,q=--

3时，

18X=6

04+°5=(03+%间=("l)"

,所以结

果为±6

2.C

等差数歹！J的定义.ai+a7=a32d+a3+4d=2a3+2d,2a3+2d=-2,d=-3.

3.B

由题意知本题是一个分类计数问题

・•・由题意知个位数字小于十位数字，

.••个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型，

每一种类型分别有个、4/4143个、

431AM33个、一想每个、人四个,

，共有

13

十4/A?力/+4/4产+甸Aj+43=300

9

综上所述，答案为B.

4.A

5.C

由题可知，x+l〉=O,l-x>0,因此定义域为C。

6.D

平面向量的线性运算.AB=(-1-1,1-(-1)=(-2,2).

7.A

8.C

四棱锥的直观图.四棱锥的直观图如图所示，PC,平面ABCD,

PC=1,底面四边形ABCD为正方形且边长为1,最长棱长

PA+11+1’-71.atitc.

9.D

若y=log2A(x+a)的反函数的图像经过点

P(-1,0)

即该函数经过(0,-1)

所以

-l=log2/\(0+Q)

a=2A(-l)

=1/2

10.C

__2$

将椭圆9砂+16峭=144化为标准式144144

916

14412.

••・短轴长为2x芯=2Qx4=6

11.5n-10

12.

3

5

13.15

程序框图的运算.模拟程序的运行，可得k=ll,n=l,S=1不满足条件

S>11,执行循环体，n=2,S=3,不满足条件S>11,执行循环体，

n=3,S=6,不满足条件S>11,执行循环体,n=4,S=10,不满足条件S

>11,执行循环体,N=5,S=15,此时,满足条件S>11,退出循环,

输出S的值为15.故答案为15.

14.R

15.

由已知可得4（-3,4）和5（1,1）

贝U43=（4,—3）

故可得|彳5|=46+9=5

综上所述，答案是：5

16.

由函数/(□；)=alog2x+blog3x+2,

得/(")=alog2-4-6log3工+2

\37JXX

=—alog2x—blog3x-b2

=4—(alog2x-\-blog3a;+2)

因此=4

再令4=2012得/(而看)4-/(2012)=4

所以f(2012)=4—=0,

17.71/3

18.2

cos50sin20+si几50cos20sin(50+20)sin702sin35cos352cos35

sin35sin55sin35sin55si7135st"55sin35sin55sin55

2sin(90-35)_2

sin55

19.100分层抽样方法.各层之比为200:1200:1000=1:6:5推出从女生中抽

取的人数240x5/12=100.

20.36,

3)xZ(2,2)x4(3,3)

=3x2x6

=36(种)

先选出中间那个人，再对甲乙排序(就两

种)，最后将5个人看成3个人全排序。

21.

解：记甲投球命中为事件A,甲投球未命中为事件彳：乙投球命中为事件B,乙投球未命中为事件万。则：

1-|3-2

PG4)=Q；PG4)=Q；P(B)=g；P(5)=g

(】)记两人各投球I次，恰有I人命中为事件C,则

--12131

P(C)=P(/l).P(^)+PM)»P(B)=-x-+-x-=-

(2)记两人各投球2次，4次投球中至少有1次命中为磐件D，则.两人各投球2次，4次投球中全未命中为事

件万

-一一--1122124

P(D)=l-P(D)=l-P(>l)»P(/l)»P(B)»P(^)=l--x-x-x-=tl--=—

22.

y=0cos2K+3sin2x

=2>/J(；cos2x+^y-sin2x)

=2>/3(sin-cos2x+cos-sin2x)

66

=2>/3sin(2x4--^)

(1)函数的值域为[一2行,20].

(2)函数的最小正周期为7=也=不

2

23.

解：设前三个数分别为b-10,b,b+10,因为b,b+10成等比数列且公比为3

6+10、

-------=3

b

.•.b+10=3b,b=5

所以四个数为-5,5,15,45.

24.

1—X

解：(1)由题意可知：---->0,解得：-1<x<1»

...函数/(X)的定义域为xe(-l,1)

⑵函数/(x)是奇函数，理由如下：

//\11—(一%)11+x1l-x

/(-X)=loga----=log--=-log。--=-/(幻，

l+(-x)1-x1+x

...函数/(x)为奇函数

25.解：设首项为a、公差为d,依题意：4a,+6d=-62；6a.+15d=-75

解得ai=-20,d=3,a„=al+(n-l)d=3n-23

26.

(1)叼=gs*,«=|1416

3­1=

3927

=3-Sfnl-i.(it22)

则"…小七I

则数列从第二项起的公比是々的等比数列

/+&++<2=-((--)"-11

<2)：n79

27.设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内

被投诉的次数为1”

AP(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9

28.证明：作SO..LBC,垂足为0,连接AO

,侧面SB_L底面ABCD

.*.SO_L底面ABCD

VSA=SBr.0A=0B

又•.•ABC=45o；.AOB是等腰直角三角形

则OA±OB得SA±BC

29.

4cos2a4cos2a

原式==2sinacosa=sin2a

a.acosa

cos-sin一

2_21

sina

・a

sin—cos一2

22

30.

设中点P(X,y)由题意得

M=2

陷，又A(-2,0),B(1,0)

«x+2)：+/

..正+1尸+/

得x2-4x+y2=o或(x-2)2+y2=4

31.(1);“3_S13_=22号+&=21，ai=d=1

又♦.•等差数列

如

，2

,_2nA1.

.•3=77小丁京

T_2n_

⑵r*+1

32.

解、连接BECE

VPA±BC,PA±EF

；.PA_L平面BCE

则/f血=—PTBEC+夕/TBEC=§S皿EPE+-S3E,"七

又•・•PA=&BC=bEF=h:.V^^-abh

fPABC6

33.证明：(1)PAJ_底面ABCD

PA_LBC又NACB=90。，BC±AC贝UBC_L平面PAC

(2)设点B到平面PCD的距离为h

AB//CDAB〃平面PCD

又NBAD=120°ZADC=60°

又AD=CD=1

则4ADC为等边三角形，且AC=1

PA=6PD=PC=2

445

34.在指数AABC中，NABC=45。，AC=BC

叵

在直角aADC中，NADC=60。，CD=7AC

CD=BC-BD,BD=20

—AC=AC-20

贝ij3,则AC=30+10招r

35.由题意可设所求抛物线的方程为-=2Pb-3)(p>0)

y-5=一一

准线方程为一

则y=-3代入得：p=12

所求抛物线方程为X2=24(y-3)

36.(1)要使函数f(x)=bg21+x/l-x有意义，则须l+x/l-x>0解得-1VxV

1,所以f(x)的定义域为{X|-1VX<1}.

(2)因为f(x)的定义域为{x|-I<x<l},且f(-x)=log2(l+x/l-x)-'=-log

21+x/l-x=-f(x).所以f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.

(3)设-1<X1<X2<1,则f(Xl)-f(X2)=k>g1+Xl/1+X2=log(l+Xl)(l-X2)f(l-

<i^r»<M<i

vi•新立Q<vIqv♦<i・■。v

14-jtf1-jr.

III>■

L•:V1•新UKMf(-1-•；——k)

I4>1I-r»I*，.I-4.

<明■WU/<r)*CXU

X1)(1+X2)V-1<X|<X2<1

37.证明：任取且xi〈X2

x2X|X]X]

即

€(-CO,0)_t/(x)=--

X在是增函数

38.(1)：PC_L平面ABCD,DC包含于平面ABCD,，PC_LDC.又AC

±DC,PCnAC=C,PC包含于平面PAC,AC包含于平面PAC,，

CD_L平面PAC.

(2)证明•.•AB//CD,CD_L平面PAC,.\AB_L平面PAC,AB包含于

平面PAB，,平面PAB_L平面PAC.

39.⑴由题意，设圆心坐标为(a,a),则(a,-1)2+(a-6)2=(a-4)2+(a-

5>=25,a=l;所以圆C的方程(x-l)2+(y-1>=25.

(2)当直线l的斜率不存在时.过点A(-2,3)的

直线/：工=-2.此时过点A(—2.3)的直线/被

圆所截得的线段的长为：2/25—9=

=-2符合题意.当直线/的斜率存在时.设过点

A(—2,3)的直线，的方程为y-3=A(z+2)即

Az—》+24+3=0；圆心到/的距离d=

冬兰L由题意.得(1^注」)2+42=5。解

得上=访•:直线I的方程为鲁工一y+乡=0,即

140

5工一12»+46=0综上，直线/的方程为1=-2.

或5工一12y+46=0.

40.(1)设等差数列{aj的公差为d由题

意叫得「—+4…解用则数列

|S|=3<ii+3</=61ds-2

{“・)的通项公式为。・-l)d一2・

<2>S.•由S.-72.

可得*，一*=72.即*’一*一72-。.解物士-9

或*・一8(舍).

41.

'1)/Xf>.e*(a,r+.+6)—2i—4.it]

巳如母，(0)-4.八0)-4.atb-4.a+A=8.从

而4・4・b-4.

(2)由《】)知•-4/(/