（广西专用）版高中数学指数指数函数配套理新人教A版

第六节指数、指数函数三年4考高考指数:★★1.理解分数指数幂的概念；2.掌握有理指数幂的运算性质；3.掌握指数函数的概念、图象和性质；4.能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题. 1.以选择题、填空题的形式考查有关幂值的求法和幂值的大小比较；2.与二次函数、方程、不等式等交汇，以综合题形式出现.1.根式的概念(1)根式的定义一般地，如果_______，那么x叫做a的n次方根，其中(n＞1,n∈N*)，_____叫做根式，___叫做根指数，____叫做被开方数.xn=ana(2)根式的性质①当n为奇数时，=___；当n为偶数时，

=____________.②负数没有偶次方根；③零的任何次方根都是零.a【即时应用】判断下列说法是否正确.(请在括号内打“√”或“×”)(1)正数的偶次方根是一个正数()(2)正数的奇次方根是一个正数()(3)负数的偶次方根是一个负数()(4)负数的奇次方根是一个负数()【解析】由n次方根的概念可知，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，正数的偶次方根有两个，负数没有偶次方根，故(2)、(4)正确.答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.分数指数幂(1)分数指数幂的意义(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂__________.没有意义分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)正分数指数幂负分数指数幂(a>0,m,n∈N*,且n>1)【即时应用】(1)思考：在正分数指数幂的根式形式中，a＜0时成立吗？提示：不一定成立.当a＜0时，如无意义，而有意义，因此不一定成立.(2)计算()-1-4•(-2)-3+()0-=_______.【解析】原式=答案：3.有理数指数幂的性质(1)aras=______

(a＞0,r,s∈Q)(2)(ar)s=

_____

(a＞0,r,s∈Q)(3)(ab)r=_______

(a＞0,b＞0,r∈Q)ar+sarsarbr【即时应用】(1)判断下列等式是否正确.(请在括号内填“√”或“×”)① ()② ()③ ()④ ()(2)用分数指数幂表示下列各式.①=________(a≥0);②=________.【解析】(1)同底数幂相乘，指数相加，故①②错；③因为(am)n=amn,3×2=6，故③错；④同底数幂相除，指数相减，故④正确.(2)答案：(1)①×②×③×④√(2)①②4.指数函数的图象和性质0<a<1a>1图象性质定义域值域定点单调性取值情况R（0,+∞）在(-∞,+∞)上是减函数在（-∞,+∞）上是增函数若x>0,则0<f(x)<1;若x<0,则f(x)>1.若x>0,则f(x)>1;若x<0,则0<f(x)<1.（0,1）xyOOxyy=ax11y=ax11【即时应用】(1)判断下列函数是否是指数函数.(请在括号内填“是”或“否”)①y=10x ()②y=10x+1 ()③y=-4x ()④y=xx ()⑤y=xα(α是常数) ()(2)已知指数函数的图象过点M(3，8)，则f(4)、f(-4)的值分别为_______、_______.(3)已知函数f(x)=(1-2a)x为R上的增函数，则实数a的取值范围是_______.【解析】(1)①y=10x符合指数函数定义，是指数函数；②y=10x+1指数是x+1而非x，不是指数函数；③y=-4x中系数为-1而非1，不是指数函数；④y=xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数；⑤y=xα中底数是自变量，不是指数函数.(2)设指数函数是y=ax(a＞0,a≠1)，则有8=a3,∴a=2,∴y=2x.从而f(4)=24=16,f(-4)=2-4=.(3)因为f(x)=(1-2a)x为R上的增函数，所以1-2a＞1,得a＜0.即实数a的取值范围为a＜0.答案：(1)①是②否③否④否⑤否(2)16(3)a＜0指数幂的化简及运算【方法点睛】1.根式化简求值的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式；(2)利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；(3)一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序.2.指数式中带条件的求值或证明问题常有两种思考方法(1)将已知条件变形得到需要的值或关系式；(2)将待求或证明的式子化为可用已知条件表示的式子.【例1】(1)计算：÷

］÷(0.0625)0.25;(2)化简：×(式中字母都是正数).(3)已知a=,b=9.求下列式子的值.①②.【解题指南】(1)直接根据分数指数幂的运算法则求值；(2)中既有分数指数幂，又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行化简计算.在指数式的运算中，要注意运算顺序和灵活应用公式.(3)先化简原式，再代入求值.【规范解答】(1)原式=(2)原式=(3)①原式=∵a=,∴原式=3.②方法一：化负指数为正指数后解.方法二：利用运算性质解.【反思·感悟】1.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，分数指数幂是根式的另一种等价写法.因此根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算.对于既含有根式，又含有分数指数幂的式子，一般把根式统一成分数指数幂的形式，这样更有利于化简运算.在运算过程中，要贯彻先化简后运算的原则，并且要注意运算的顺序.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.2.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解.【变式训练】1.(2012·南京模拟)若a=4,b=2,则=______.【解析】答案：22.化简与求值：(1)(2)(3)【解析】(1)原式=(2)原式=(3)原式=【变式备选】1.设x3+x-3=2,求x+x-1的值.【解析】设x+x-1=t(t≥2或t≤-2),则t3=x3++3x·x-1(x+)=2+3t⇒(t+1)(t2-t-2)=0,∴(t+1)2(t-2)=0,∴t=2.2.已知,求的值.【解析】由,可得x+x-1=7.

，故原式=.指数函数的图象及应用【方法点睛】1.指数函数的结构特征判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y=ax(a＞0,a≠1)这一结构形式.指数函数具有以下特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；(2)指数位置是自变量x,且x的系数是1；(3)ax的系数是1.2.指数函数图象的记忆口诀多个图形像束花，(0，1)这点把它扎.撇增捺减无例外，底互倒时y轴夹.y=1为判底线，交点纵标看小大.重视数形结合法，横轴上面图象察.3.函数的图象能够直观反映函数的基本性质(1)函数图象在x轴上的射影可确定函数的定义域；(2)函数图象在y轴上的射影可确定函数的值域；(3)由两个函数图象的交点的横坐标可以确定方程的解.【提醒】解决函数的图象问题，通常运用函数的性质来解决，即两域(定义域、值域)及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)等快速判断.【例2】(1)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.(2)已知函数y=()|x+2|,①作出图象；②由图象指出其单调区间.【解题指南】(1)对a进行分类讨论，画出y=|ax-1|(a＞0,且a≠1)的图象，利用与动直线y=2a有2个交点求出a的取值范围.(2)首先化去绝对值符号，然后将函数写成分段函数的形式，再作图象，根据图象写出函数的单调区间.【规范解答】(1)y=|ax-1|(a＞0,且a≠1)的图象如图所示，y=2a与y=|ax-1|的图象有两个公共点，则0＜2a＜1,0＜a＜.答案：(0，)xy1Oxy1Oa＞10＜a＜1(1)(2)(2)①由函数解析式可得y=其图象分成两部分：一部分是y=()x+2(x≥-2)的图象，由下列变换可得到：

y=()xy=()x+2,向左平移2个单位长度另一部分是y=2x+2(x＜-2)的图象，由下列变换可得到：y=2xy=2x+2.如图为函数y=()|x+2|的图象.向左平移2个单位长度O123xy-221②由图象观察知，函数在(-∞,-2)上是增函数，在［-2,+∞)上是减函数.【互动探究】若本例(2)题干不变，如何求该函数的最值？【解析】由例题(2)的图象观察知，x=-2时，函数y=()|x+2|有最大值，最大值为1，没有最小值.【反思·感悟】1.解决指数函数的相关问题时，不要只凭主观想象，要重视指数函数图象的应用，要充分借助函数图象来提高解题的效率.2.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0＜a＜1时，x→+∞,y→0;当a＞1时，x→-∞，y→0；当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.3.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系:在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【变式备选】设f(x)=3x，g(x)=()x.(1)在同一坐标系中作出f(x)、g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值，从中你能得到什么结论？【解析】(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：(2)f(1)=31=3,g(-1)=()-1=3;f(π)=3π,g(-π)=()-π=3π;f(m)=3m,g(-m)=()-m=3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.指数函数性质的应用【方法点睛】1.与指数函数有关的复合函数的性质(1)“y=af(x)”型函数的定义域与f(x)的定义域相同，值域可先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，可确定.(2)“y=f(ax)”型函数的定义域根据“内层函数的值域是外层函数的定义域”确定，值域可通过换元的方法来解决.(3)复合函数的单调性根据“同增异减”的原则来确定.2.两个不同幂指数函数的大小比较若底数相同，则可利用指数函数单调性比较；若底数不同，则或者考虑插入适当的中间量(如0，1等)，进行分段比较，或者利用指数函数的底数对图象的影响，即在y轴右侧，底数越大，图象越高的特性来比较.【提醒】指数函数的底数a＞0且a≠1，这是隐含条件.指数函数y=ax的单调性与底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论.【例3】已知函数f(x)=(1)若f(x)=2,求x的值；(2)判断x＞0时，f(x)的单调性；(3)若3tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈［,1］恒成立，求m的取值范围.【解题指南】(1)讨论x＜0和x≥0两种情况分别求解；(2)根据复合函数的单调性判断；(3)等价转化为m≥-32t-1在t∈［,1］上恒成立，再用单调性求m的范围.【规范解答】(1)当x＜0时，f(x)=3x-3x=0,∴f(x)=2无解.当x≥0时，f(x)=，令=2,∴(3x)2-2·3x-1=0,∴3x=1±,∵3x＞0,∴3x=1-(舍去),∴3x=1+,∴x=log3(1+).(2)当x＞0时，f(x)=.∵y=3x在(0，+∞)上单调递增，y=在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)=在(0,+∞)上单调递增.(3)∵t∈［,1］,∴f(t)=＞0，∴3tf(2t)+mf(t)≥0化为3t(32t-)+m()≥0,即3t(3t+)+m≥0,即m≥-32t-1.令g(t)=-32t-1,则g(t)在［,1］上递减，∴g(t)max=g()=-4.∴所求实数m的取值范围是［-4，+∞).【反思·感悟】1.单调性是指数函数最重要的一个性质，运用此性质可以求与指数函数有关的函数的值域、单调区间等问题，求有关指数函数的值域时，要注意af(x)＞0.2.利用指数函数的单调性可比较两个幂的大小.当幂的底数、指数都不同时，可选择中间量进行比较，如比较aα与bβ的大小，可以选aβ(或bα)作为中间量，有时也可以把“1”作为中间量来比较大小.【变式训练】已知定义域为R的函数f(x)=为奇函数.(1)求a的值；(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，求实数k的取值范围；【解析】(1)∵f(x)为在R上的奇函数，∴f(-x)+f(x)=0恒成立，解得a=1.(2)∵f(x)=∴f(x)在R上单调递减.任取x1,x2∈R且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=∵x1＜x2，∴x2-x1＞0，∴＞1，∴f(x1)-f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在R上单调递减.(3)∵f(x)为R上的奇函数,由f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0,得f(t2-2t)＜-f(2t2-k)=f(-2t2+k),得t2-2t＞-2t2+k,∴k＜3t2-2t在R上恒成立,又∵3t2-2t的最小值为-,∴k＜-.【易错误区】指数函数图象的应用误区【典例】(2011·四川高考)函数y=()x+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是()【解题指南】先作出f(x)=()x+1的图象，再作关于直线y=x对称的图象.或先求出f(x)=()x+1的反函数的解析式，再作反函数的图象.【规范解答】选A.方法一：先由f(x)=()x的图象向上平移一个单位，作出f(x)=()x+1的图象，再作直线y=x对称的图象.方法二：反函数的解析式为，由的图象向右平移1个单位，即得所需图象.故选A.【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时，容易产生以下几个误区：(1)误认为y=()x+1是增函数，从而误选B.(2)误认为y=()x+1的反函数是y=log2(x-1)，从而误选B.备考建议指数函数y=ax(a＞0,且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.(2)明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质来确定，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.备考建议(3)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论.1.(2012·杭州模拟)函数y=a|x|(a＞1)的图象是()【解析】选B.y=当x≥0时，与指数函数y=ax(a＞1)的图象相同；当x＜0时，y=a-x与y=ax的图象关于y轴对称，由此判断B正确.2.(2011·山东高考)若点(a,9)在函数y=3x的图象上，则的值为()(A)0(B)(C)1(D)【解析】选D.点(a,9)在函数y=3x的图象上，所以3a=9,a=2,所以.3.(2012·唐山模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3x-1,则有()(A)f()＜f()＜f()(B)f()＜f()＜f()(C)f()＜f()＜f()(D)f()＜f()＜f()【解