线段的垂直平分线八年级数学上册尖子生培优题典22

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题线段的垂直平分线姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•徐汇区期中〕到一个三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形〔〕A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三边中垂线的交点D．三条角平分线的交点【分析】根据线段的操作票个方向的性质即可判断．【解析】三角形的三边的中垂线到三个顶点距离相等，应选：C．2．〔2021秋•普兰店区期末〕线段AB的垂直平分线上一点P到A点的距离PA＝5，那么点P到B点的距离PB等于〔〕A．PB＝5B．PB＞5C．PB＜5D．无法确定【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA＝5，应选：A．3．〔2021•梧州〕如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，那么△BEC的周长是〔〕A．12B．13C．14D．15【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．【解析】∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．应选：B．4．〔2021秋•浦东新区期末〕如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，假设∠B＝70°，且AB+BD＝BC，那么∠BAC的度数是〔〕A．40°B．65°C．70°D．75°【分析】连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，推出AB＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ADB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解析】连接AD，∵DE垂直平分AC边，∴AD＝CD，∵BC＝BD+CD＝AB+BD，∴AB＝CD，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∴∠C=12ADB＝35∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，应选：D．5．〔2021秋•石阡县期末〕如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，假设△DBC的周长为35cm，那么BC的长为〔〕A．5cmB．10cmC．15cmD．cm【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD＝BD，再利用条件三角形的周长计算．【解析】∵△DBC的周长＝BC+BD+CD＝35cm〔〕又∵DE垂直平分AB∴AD＝BD〔线段垂直平分线的性质〕故BC+AD+CD＝35cm∵AC＝AD+DC＝20〔〕∴BC＝35﹣20＝15cm．应选：C．6．〔2021秋•长宁区期末〕如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，那么AB的长为〔〕A．3B．6C．12D．16【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE＝BE，∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，应选：B．7．〔2021春•济宁期末〕在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，那么P点一定〔〕A．是边AB的中点B．在边AB的垂直平分线上C．在边AB的高线上D．在边AB的中线上【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【解析】∵PA＝PB，∴P点在在边AB的垂直平分线上，应选：B．8．〔2021秋•河东区期末〕如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，那么AC为〔〕A．10B．16C．18D．26【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵△BDC的周长为18，∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝18，∵BC＝8，∴AC＝10，应选：A．9．〔2021秋•东坡区期末〕如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，那么∠B的度数为〔〕A．20°B．°C．25°D．30°【分析】由DE是AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质得∠B＝∠BAD，结合∠CAD：∠DAB＝2：1与直角三角形两锐角互余，可以得到答案．【解析】在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B＝∠BAD∵∠CAD：∠DAB＝2：1∴4∠B＝90°∴∠B＝°应选：B．10．〔2021秋•天宁区期中〕如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，那么AC的长为〔〕A．16B．15C．14D．13【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵DE是AB边的垂直平分线，∴EB＝EA，∵FG是BC边的垂直平分线，∴GB＝GC，∵△BEG的周长为16，∴GB+GE+EB＝16，∴AE+GE+GC＝16，∴AC+GE+GE＝16，∵GE＝1，∴AC＝16﹣2＝14，应选：C．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•朝阳县期末〕如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，那么△ABC的周长为19cm．【分析】由条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为19cm．12．〔2021秋•呼和浩特期末〕如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．假设AC＝7，BC＝5，那么△BDC的周长是12．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解析】∵NM是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，故答案为：12．13．〔2021秋•定西期末〕如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，那么△AOB的周长是18cm．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝5cm，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18〔cm〕，故答案为：18．14．〔2021春•浦东新区月考〕如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，假设∠DAC：∠DAB＝1：2，那么∠BAC＝度．【分析】设∠DAB＝x，那么∠DAC＝2x，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，那么∠B＝∠DAB＝x，再利用三角形内角和得到90°+x+2x+x＝180°，解方程求出x，然后计算3x即可．【解析】设∠DAB＝x，那么∠DAC＝2x，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝x，∵∠C+∠B+∠CAB＝180°，∴90°+x+2x+x＝180°，解得x＝°，∴∠BAC＝x+2x＝3x＝°．故答案为．15．〔2021秋•松江区期末〕如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC、AB于点D、E，∠CAB＝50°，那么∠CAD＝10°．【分析】由直角三角形两锐角的关系求得∠B，由DE垂直平分AB，推出DA＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，进而求得∠CAD．【解答】解∵∠C＝90°，∠CAB＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．16．〔2021秋•浦东新区期末〕如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，假设∠BAC＝110°，那么∠DAE＝40°．【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．【解析】∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠DAE＝∠BAC﹣〔∠DAB+∠EAC〕＝40°，故答案为：40．17．〔2021秋•奉贤区期末〕如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么∠DBC＝15度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠ABD＝∠A＝50°，结合图形计算即可．【解析】∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．故答案为：15．18．〔2021秋•浦东新区月考〕如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，假设∠A＝60°，∠ACP＝15°，那么∠ABP＝35°．【分析】设∠ABP＝x，根据角平分线的定义用x表示出∠CBP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PCB＝∠CBP＝x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程得到答案．【解析】设∠ABP＝x，∵BP平分∠ABC，∴∠CBP＝∠ABP＝x，∵直线l垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PCB＝∠CBP＝x，∴60°+15°+x+x+x＝180°，解得，x＝35°，即∠ABP＝35°，故答案为：35．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021秋•陇县期中〕如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，假设△ABC的周长为18cm，求DE的长．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CE，AB＝AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵点C在AE的垂直平分线上，∴CA＝CE，∵AD⊥BE，BD＝DC，∴AB＝AC，∵△ABC的周长为18，∴AB+BC+AC＝18，∴2AC+2DC＝18，∴AC+DC＝9，∴DE＝DC+CE＝AC+CD＝9〔cm〕．20．〔2021春•奉贤区期末〕如图，AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，试说明AF⊥BE的理由．【分析】先由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，那么∠EBA＝∠E，由等角对等边得出AE＝AB，又F是BE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AF⊥BE．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，∴∠EBA＝∠E，∴AE＝AB，又∵F是BE的中点，∴AF⊥BE．21．〔2021•淮阴区一模〕如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=180°-∠A2∵MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．22．〔2021秋•卢龙县期末〕如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．〔1〕假设AB＝10，那么△CDE的周长是多少？为什么？〔2〕假设∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．【分析】〔1〕依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；〔2〕依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣〔∠ACD+∠BCE〕进行计算即可．【解析】〔1〕△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；〔2〕∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣〔∠ACD+∠BCE〕＝125°﹣55°＝70°．23．〔2021秋•芜湖期中〕如下图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．〔1〕假设△ADE的周长为6，求BC的长；〔2〕假设∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．【分析】〔1〕根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；〔2〕根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAD=12∠ADE，∠C＝∠EAC=12【解析】〔1〕∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；〔2〕∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD=12∠ADE，∠C＝∠EAC=12∵∠BAC