新疆乌鲁木齐市第六十一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

20222023学年第二学期高一数学期中考试试卷一、选择题（共36分，每题3分，共12小题）1.如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正六边形性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.对于B，因为，故，故B正确.对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D.2.已知向量，，，则向量与的夹角大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据公式可求夹角的大小.【详解】，而，故，故选：B.3.若，点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.【详解】设，故，而，故，故，故，故选：A.4.化简的结果等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加减法的运算法则，即可化简目标式.【详解】.故选：B5.已知向量，则与（）A.垂直 B.不垂直也不平行C.平行且同向 D.平行且反向【答案】A【解析】【分析】利用，则，即可求得答案.【详解】故选：A．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．6.在中，若，，，则可能是（）A.135° B.105°或15° C.45°或135° D.15°【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正确的选项.【详解】由正弦定理可得，故，故，而，故或，故或，故选：B.7.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故选：A8.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A.60° B.45° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】由余弦定理和题设条件，求得，即可求解.【详解】在中，因为，即，由余弦定理可得，又因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9.已知分别是的边的中点，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件有,再由向量的减法可得答案.【详解】因为分别是的边的中点所以.又.所以.故选：C【点睛】本题考查向量的减法运算和共线关系，属于基础题.10.已知||=1，||=，且()与垂直，则与的夹角是A.60° B.30° C.135° D.【答案】D【解析】【详解】因为()与垂直，所以().||=1，.设与的夹角为，则所以，故选D.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.11.在中，若，则的形状一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得，化为，即，从而可得结论.【详解】因为，所以由正弦定理得.∵，∴，即，即，∵，∴，故是直角三角形.故选B.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.12.已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（）A.，0 B.4， C.16，0 D.4，0【答案】D【解析】【分析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；所以|2的最大值，最小值分别是4，0；故选：D．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．二、填空题（共16分，每题4分，共4小题）13.若共线，则________．【答案】6【解析】【详解】若共线,则.解得.点睛：向量的坐标表示平行和垂直，.若，则；若，则.14.已知正三角形ABC的边长为1，则_________.【答案】【解析】【分析】根据数量积的定义式，结合正三角形的性质，可得答案.【详解】.故答案：.15.在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．【答案】等腰三角形【解析】【详解】∵a＝2bcosC，∴sinA＝2sinBcosC，而sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴cosBsinC＝sinBcosC，即sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0.又－180°<B－C<180°，∴B－C＝0，即B＝C.∴△ABC为等腰三角形．故答案为等腰三角形点睛：判断三角形形状注意区分，sinA=sinB等价于A=B；sin2A=sin2B等价于A=B或A+B=.16.在△ABC中，内角A：B：C=1:2:3，求a:b:c=_________【答案】【解析】【详解】A:B:C=1:2:3三、解答题（共48分）17.已知向量，.（1）求与；（2）当为何值时，向量与垂直？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的坐标后可求它们的模；（2）求出与的坐标后利用向量垂直的坐标形式可求的值.【小问1详解】因为，，故，故.【小问2详解】，，因向量与垂直，故，故.18.如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在点观测灯塔的方位角为110°，航行半小时后船到达点，观测灯塔的方位角是65°，则货轮到达点时，与灯塔的距离是多少.【答案】（km）【解析】【分析】利用正弦定理可求的长度.【详解】由题设可得，（km），而，故，由正弦定理可得，故（km）.19.已知向量，的夹角为，且，，求．【答案】【解析】【分析】根据数量积的定