几类不同增长的函数模型

3．2.1几类不同增长的函数模型

第三章函数的应用福建省南安国光中学陈俊青1.能根据数据正确选择最适合的函数模型

研究相应简单应用问题．2.利用计算工具，比较指数函数、对数函数

以及幂函数增长差异；掌握其重要结论并且用于解决实际问题之中．3.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

美丽的澳洲原来没有兔子，1859年，有人从欧洲带来几只兔子在维多利亚的季朗地区放养。而这一放养，竟然比放虎归山造成的危害还要大。

澳洲土壤疏松牧草茂盛，兔子打洞做窝非常方便，却没有天敌。对兔子来说，就是个无忧无虑的天堂。于是兔子的数量不断增加，地盘也不断扩大，每年扩展的面积达100平方公里。不到100年时间，兔子们就占领了整个澳大利亚，达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来.10只兔子要吃掉相当于1只羊所吃的牧草，75亿只兔子所吃的牧草相当于放养7.5亿只羊所吃的牧草。偏偏澳大利亚极为干旱，尤其是内陆，一棵草都是宝贵的。兔子所过之处，像蝗虫一样，风卷残云般地吃光了仅有的一点绿色。草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．探究一假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？方案三可以用函数进行描述.方案一可以用函数进行描述；思路分析：2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？3.三个函数模型的增减性如何？4.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？方案二可以用函数进行描述；方案一方案二方案三y/元增加量y/元增加量y/元增加量140010100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.240010010204.8102.4…………………400300102147483641073741822y＝4020406080100120O4681012yxy＝10xy＝0.4×2x－12y＝4020406080100120O4681012yxy＝10xy＝0.4×2x－1我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？

由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。读图和用图

可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回报看，在第1～4天，方案一最多，在5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。下面再看累计的回报数：结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三.天数回报/元方案一二三1234567891011801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.840探究二：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.思路分析：思考：１．X的取值范围，即函数的定义域．2．通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？的图象.解:借助计算机作出函数812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOy＝5yx只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型的图象都有一部分在直线的上方，y=0.25x,y=1.002xy=5y=log7x+1y=5y=log7x+1计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当时，是否有

y=log7x+1令

综上所述，模型确实能符合公司要求。时，所以当

说明按模型奖励奖金不会超过利润的25%

利用计算机作出函数

的图象

由图象可知它是递减的，

因此即

关于x呈指数型函数变化的变量是。1、四个变量随变量变化的数据如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331785.294.478545053130200511305051305302520151050

2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么下轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？探究三：指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较1.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图象（a=2).x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.4851.82.22.63.03.4…3.4824.5956.063810.556…3.244.846.76911.56…0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=2xy=x2y=log2

x2.结合函数的图象找出其交点坐标.

从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数图象的下方，y=x2的图象与y=2x的图象有两个交点(2，4)和（4，16）.x012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…ABy=2xxyo112191623434y=x2y=log2

x3.根据图象,分别写出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.使不等式log2

x<2x<x2的x取值范围是(2，4);使不等式log2

x<x2<

2x的x取值范围是(0，2)∪(4,+∞);ABy=2xxyo112191623434y=x2y=log2

x…640049003600…1.21×10241.18×10211.15×1018…807060250016009004001000y=x21.13×10151.10×10121.07×1091.05×10610241y=2x50403020100x结合上述探究，你有什么收获？分别就指数函数和幂函数，对数函数与幂函数做出比较.指数函数和幂函数举例：xo50100y1.10×10121.13×1015y=2xy=x2图象为结论：一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间（0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有ax>xn.结论：对于对数函数y=logax（a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间（0，+∞）上,随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有logax<xn.对数函数与幂函数的比较最后的结论：尽管对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大