2022年重庆市高考数学模拟试卷及答案解析

2022年重庆市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

3-21

1.（5分）|17FI=）

5V2V26

A.——B.——C.V5D.V13

22

2.(5分)已知集合M={x|2?-x-3<0},N={x\ln(2x-1)>0},则MAN=()

31331

A.(1,-)B.(一，-)C.(-1,-)D.(-1,-)

22222

x2y2

3.(5分)若双曲线一7——=1(«>0,b>0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率

a2b2

为（)

V2

A.一B.1C.V2D.2

2

4.（5分）交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施.如图，某圆锥体交通锥的高为

12,侧面积为65m则该圆锥体交通锥的体积为（）

A.25nB.75KC.100nD.300n

5.（5分）函数/（%）=+冷）一cos%的单调递减区间为（）

A.{x|4-/CTT<%<^-4-kn,kEZ}

B.{x|g+k,TCW—FkjikGZ)

rr47r

C.{x|+2/CTT<%<-^-+2knfkEZ}

D.{x\+2kn<^+2kn,kEZ]

6.(5分)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x〈0时，，fCx)=x3+2x2-tz+3,且/

(3)=8,则4(1)-2)=()

A.3B.1C.-1D.-3

7.(5分)已知x=0是函数/(%)=dlx-In(x+a)的极值点，则a=()

第1页共22页

A.1B.2C.eD.±1

8.（5分）已知4BL4C,2\AB\=3\AC\=6m（w>0）,若点M是△ABC所在平面内的一点，

—>—>

且4%="一畔，则诂.加的最小值为（）

网\AC\

1135

A.-B.-C.—D.-

6446

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单

位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响，现收集了近5年的年宣传费x（单位:

万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归

方程为y=bx-8.2,则下列结论正确的有（）

X4681012

y/571418

A.x,y之间呈正相关关系

B.b=2.15

C.该回归直线一定经过点（8,7）

D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件

（多选）10.（5分）某正方体的平面展开图如图所示，在原正方体中，下列结论正确的有

)

A.BRL平面。B.OE〃平面48c

C.尸GJ•平面ABCD.平面。EH〃平面ABC

（多选）11.（5分）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如

像招数”五问中有如下问题：''今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四

第2页共22页

人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，

第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发

放大米3升.”则下列结论正确的有（）

A.将这1864人派谴完需要16天

B.第十天派往筑堤的人数为134

C.官府前6天共发放1467升大米

D.官府前6天比后6天少发放1260升大米

（多选）12.（5分）已知］<a<b<e（e为自然对数的底数），则（）

ababab

A.ab<baB.ba>e~e~C.aa>e~e~D.ab<e~e~

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知tan（a+p）=4,tanp=2,贝!Jtan2a=.

14.（5分）（x+2y）（3x-y）4的展开式中丁方的系数为.（用数字作答）

%2y2

15.（5分）已知尸是椭圆E：—+-=1的右焦点，P是椭圆E上一点，。是圆C：?+y2

42

-2V2x-4V2y+9=0上一点，则|PQ|-|PQ的最小值为,此时直线PQ的斜率

为.

11

16.（5分）已知2〃-3=2,且0<4+〃<2,则--+——^的最小值为

a+ba-2b-------

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（10分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2C-3cosc-1=0.

（1）求C；

（2）若c=2b，△48C的面积为百，求a,b.

第3页共22页

18.(12分)一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩

戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对

细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口

置对细菌的过滤效率.随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率(百分比)按照[95,

96),[96,97),[97,98),[98,99),[99,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直

方图.

(1)求图中〃7的值并估计这一批口罩中优等品的概率；

(2)为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从[98,99)和[99,100]

两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自[98,

99)的口罩个数为X,求X的分布列与期望.

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19.(12分)在①ai=l,叩"+1=(n+1)an,②2%+2&+…+2-=2n+】-2这两个条件

中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

问题：在数列(即｝中，己知.

(1)求｛的｝的通项公式;

(2)若bn=等言求数列｛加｝的前〃项和S〃,

第5页共22页

20.（12分）如图，在三棱锥A-BCD中,A。_L平面BCD,BC=心BD=6CD=遮,AD=V2,

E,F分别为A8,AC的中点.

(1)在图中作出平面OEF与平面80c的交线，并说明理由;

(2)求平面OE尸与平面BOC夹角的余弦值.

第6页共22页

21.(12分)已知函数/(%)=(小+1)m％+a%—三.

(1)若a=l,求曲线y=/(x)在元=处的切线方程；

(2)若/(x)V0在(1,+8)上恒成立，求。的值.

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22.(12分)在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px(p>0)与直线/：x=4交于尸，Q

两点，且。PJ_OQ.抛物线C的准线与x轴交于点M,G是以M为圆心，|OM|为半径的

圆上的一点(非原点)，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求△ABG面积的取值范围.

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2022年重庆市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

、3-2i

1.(5分)1=1=()

l+l

5V2V26

A.——B.——C.V5D.V13

22

3—2i(3-i)I_15

解：;

1+i(l+i)(l-i)一22

券=所至=孚.

故选：B.

2.(5分)已知集合〃={M2X2-X-3V0},N={x\ln(2x7)>0},则MDN=()

31331

A.(1,—)B.(-,-)C.(-)D.(一）

22222

解：VM={x|-l<x<|},JV={x\x>l),

3

・・・MnN=（l,0

故选：A.

x2v2

3.（5分）若双曲线二—三=1（«>0,b>0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率

a1b2-

为（）

V2l

A.—B.1C.V2D.2

2

解：双曲线丁一三=1（。>0,b>0）的两条渐近线方程为y=±r,

a2b2a

由两条渐近线互相垂直，可得一=-1,

Qa

可得a=b,即有c=Va2+b2=\/2a,

可得离心率e=E=&.

故选：C.

4.（5分）交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施.如图，某圆锥体交通锥的高为

12,侧面积为65m则该圆锥体交通锥的体积为（）

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A.25nB.75KC.IOOTTD.3OOn

解：设该圆锥体交通锥的底面半径为r,则7rr->/144+r2=657r,解得：r=5,

12X52加

所以该圆锥体交通锥的体积为二一=1007T.

故选：C.

5.(5分)函数f(x)=+刍一cosx的单调递减区间为()

A.{*1可+knWxW-g—Fkn,k.GZ}

B.{%1强+kjiB+kyirk上Z}

JT47r

C.{x\可+2/CTTWXW—F2/C7T/kGZ}

D.{x|看+2kliW+2kjtfkEZ}

解：/(x)=V3(-sinx+^ycosx)-cosx=^sim+|cosx-cosx=亨sinx+^osx=sin(x+1),

由2丘+今Wx+5<2Zrrr+kwZ,

得2Zrrr+5ZcEZ,

即函数/(x)的单调递减区间为［2内r+泉2丘+季，k6Z,

故选：C.

6.(5分)已知(%)是定义在R上的奇函数，当xVO时，/(x)=x3+2?-a+3,且了

(3)=8,则4⑴4/(-2)=()

A.3B.1C.-1D.-3

解：根据题意，y=f(x)是定义在R上的奇函数，且/(3)=8,

则/(-3)=-/⑶=-8,

又由当xVO时，f(x)=/+2/-。+3,则/(-3)=-27+18-。+3=-6--8,

解可得。=2,

即/(X)=X3+2X2+1,

第10页共22页

/(-2)=-8+8+1=1,/(1)=-/(-1)=-2,则⑴t/(-2)=-3；

故选：D.

7.(5分)己知x=0是函数/(%)=e(lx-In(x+a)的极值点，则。=()

A.1B.2C.eD.±1

解：因为/(x)=*_In(x+a),所以/(x)占，

因为x=0是函数/(x)的极值点，

则/(0)=0,解得4一：=0,解得a=l,

1

当a=1时，,/(x)=———x+匚1门

当-ICxVO时，g'(x)<0,则g(x)单调递减，

当x>0时，g'(x)>0,则g(x)单调递增，

所以x=0是函数g(x)的极值点，

故”=1；

故选：A.

8.(5分)已知法,品，2\AB\=3\AC\=6m(w>0),若点M是AABC所在平面内的一点,

—>—>

且4M=——,则MB•MC的最小值为()

网14cl

1135

A.-B.-C.-D.一

6446

解：以4为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系，如右图所示:

则A(0,0),B(3加，0),C(0,2小)，AB=(3m，0),AC=(0,2加)，

ABmAC/1、

AM=------=(1,-m),

网14cl

所以M(L-〃z),MB=(3m-1,nt),MC=(-1,3m),

则薪.靛=3〃，-3〃?+l=3(w-1)2+i>i.

L44

故选：B.

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单

位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响，现收集了近5年的年宣传费x（单位:

万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归

方程为y=bx-8.2,则下列结论正确的有（）

X4681012

y/571418

A.x,y之间呈正相关关系

B.b=2.15

C.该回归直线一定经过点（8,7）

D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件

An印、/,一4+6+8+10+12-1+5+7+14+18

解：因为％=-----g-------=8,oy=-------g------=9n,

所以该回归直线一定经过点（8,9）,

故9=86-8.2,解得6=2.15,即A,B正确，C不正确；

将x=20代入y=2.15X-8.2,得y=34.8,

故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，D

正确.

故选：ABD.

（多选）10.（5分）某正方体的平面展开图如图所示，在原正方体中，下列结论正确的有

（）

第12页共22页

A.BF_L平面。EHB.OE〃平面A8C

C.尸GJ•平面ABCD.平面£>£7/〃平面4BC

解：如图所示，正方体各个面逐一命名,

建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,

则G(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),E(1,1,0),£)(1,0,1),H(0,1,

1),F(1,1,1),

/I(0,0,1),DE=(0,1,一1),=(-1,1,0),4B=(0,1,-1),BC=(1,

-1,0),

设平面OEH的法向量为云=(x,y,z),%二°,即匕工=』，令y=l,则x

,n^DH=01%十-u

—

=Z=1,兀1=(1,1,1),

平面A8C的法向量为信=(x,y,Z),,一°,即二1，令y=l，则尸Z=

1y-

(n2-FC=0

—>

1,71-2—'(1,111),

故平面。EH〃平面ABC,。正确,

第13页共22页

BF=（1,0,1）,DE=（0,1,-1）,FG=（1,-1,-1）,

•・•薪^说

J5/不垂直于平面。E”，故A错误，

•・•法・R=1-1=0,

TT

.".DEA.n2>

；.Z）E〃平面ABC,故B正确，

'：FG=-n2,

：.FG//n2,

二启为平面ABC,

平面ABC,故C正确.

故选：BCD.

（多选）II.（5分）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如

像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四

人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，

第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发

放大米3升.”则下列结论正确的有（）

A.将这1864人派谴完需要16天

B.第十天派往筑堤的人数为134

C.官府前6天共发放1467升大米

D.官府前6天比后6天少发放1260升大米

解：记数列｛”"｝为第〃天派遣的人数，数列出"｝为第"天获得的大米升数，

则｛近｝是以64为首项，7为公差的等差数列，即加=7〃+57；

｛加｝是以192为首项,21为公差的等差数列，即加=21"+171,

所以“10=64+7X9=127,8不正确；设第k天派遣完这1864人，

则64Z+7叱二"=1864,

解得％=16（负值舍去），A正确；

官府前6天共发放192X6+苧x21=1467升大米，C正确；

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官府前6天比后6天少发放21X10X6=1260升大米，D正确.

故选：ACD.

(多选)12.(5分)已知1<a<b<e(e为自然对数的底数)，则()

,abab

A.ab<baB.ba>e~eC.aa>e~^D.ab<e

解：Vl<a<h<e,.*.^>^>47°=1,ba>/^=1,logM<log/；/?=1,

ab

对a,ba,e至这三个数先取自然对数，再除以外，

ab

lnabblnaInalnbaalnbInblne~1Ine

贝U----=-----=,-----=-----=,-----=-=

ababaababbabee

设/(X)=竽，则/(x)=与弊，

由/(x)>0,解得0<x<e,在(0,e)上单调递增,

：.f(a)</⑹<f(e),

InaInbIne

：.—<一<一,

abe

ab

aa<ab<ba

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

36

13.(5分)已知tan(a+0)=4,tan0=2,则tan2a=行.

解：因为tan(a+p)=4,tanp=2,

tan(a+0)—tcm(i

所以tana=tan[(a+p)

-P]=l+tan(a+/?)tan/?

4-2_2

1+4x2=3'

2tana_2x|_36

所以tan2a=

l—tan2al-(^)277'

故答案为：—.

77

14.(5分)(x+2y)(3x-y)4的展开式中x与2的系数为-162.(用数字作答)

解：展开式中含的项为xx盘(3x)2(—y)2+2yxCj(3x)3(-y)=(54-216)?/=-

162?生

所以尤3y2的系数为-162,

故答案为：-162.

第15页共22页

15.（5分）已知尸是椭圆E：丁+三=1的右焦点，P是椭圆E上一点，。是圆C：，+y2

-2&x-4&y+9=0上一点，则|PQ|-|P用的最小值为-1,此时直线PQ的斜率为

由题可知，圆C的圆心坐标为（VL2&），半径为1,

设椭圆E的左焦点为

椭圆中，|PF|=4-伊&|,&（一/，0）,

则-|Pfl=|PQ|+|P尸|1-4=|PC|+|PFi|-52|CFi|-5=-1,

2鱼-0

当Fi,P,Q,C四点共线时，等号成立，此时直线PQ的斜率为1.

V2-(-V2)

故答案为：-1;1.

11

16.(5分)已知2a-6=2,且0Va+6V2,则——+----的最小值为2

a+ba-2b

解：因为2a"=(a+b)+(a-2b)=2,且0＜。+匕＜2,

所以“-2b＞0,

111111zi-J-hn—2h1

则----+-----=-(----+-----)[(〃+/?)+(。-2b)]=5(2d---%--工77)N5(2+

a+ba-2b2a+ba-2b2a-2ba+b21

Ia+b_a-2b

/1^a^2b,~aTh)-Z,

当且仅当仁之=上尊且2a-%=2,即。=垓6=义时取等号，

a-2ba+b33

,「,a+ba-2b「……「

当且仅当-----=------且2a-b=2即时取等号，

a-2ba+b

故答案为：2.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

第16页共22页

17.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2C-3cosc-1=0.

(1)求C；

(2)若c=2g,ZVIBC的面积为遮，求a,b.

解：(1)因为cos2C-3cosc-1=0,

所以2cos2(7-3cosc-2=0,

1

解得cosC=或cosC=2(舍去).

又OVCVm

所以c=手.

Q-rr

(2)由(1)可知C=竽，

又c=2VlZVIBC的面积为百，

所以△ABC的面积S=^absinC=*ab=痘,

又C2=6Z2+Z?2-2〃灰:osC,

所以a1+b1+ab=\2,

所以『纥ta，解得"=6=2.

18.(12分)一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩

戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对

细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口

置对细菌的过滤效率.随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率(百分比)按照[95,

96),[96,97),[97,98),[98,99),[99,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直

方图.

(1)求图中相的值并估计这一批口罩中优等品的概率；

(2)为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从[98,99)和[99,100]

两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自[98,

99)的口罩个数为X,求X的分布列与期望.

第17页共22页

一频率/级距

0.30....................

解：(1)由图可知〃?=1-(0.15+0.20+0.30+0.10)=0.25估计这一批口罩中优等品的概

率为0.25+0.1=0.35.

（2）因为“2=0.25,所以从［98,99）中抽取一:-------X7=5个，从［99,100］中抽取

0.25+0.1

0.1人

------------x7=2个.

0.25+0.1

则X的可能取值为1,2,3,

目P（X=1）==:,p（X=2）==：,P（X=3）=葛=不

故X的分布列为

X123

P142

777

14215

E(X)=1X5+2X5+3X*全

19.(12分)在①m=l,加"+1=(n+1)an,②2%+2a2+…+2而=2n+】-2这两个条件

中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

问题：在数列伍"｝中，己知

(1)求｛加｝的通项公式;

(2)若bn=端U，求数列｛b｝的前〃项和和.

解：(1)选择①.

因为",=5+1)"所以第=中

所以｛&■｝是常数列.

n

又」■=1,所以‘■=1,故4"=〃,

选择②

第18页共22页

因为2%+2a2+…+2°n=2n+1-2,

所以当几=1时，2"1=22-2=2,解得m=l,

当〃22时，2即=2"1-2九=2%所以

又m=L所以

1

(2)由(1)可知，匕=登"

e132n-l1132n-l

则%=呈+7+…+丁，=港+3+”-+声■.

^~口"212222n-l19（1-^n=i）2n-l2

2

两式相减得JS”=》+?+£+…+我一诉_+——1—n+1=

31~33-

3

2n+2

3n+1

n+1

故Sn=1-

20.（12分）如图，在三棱锥4-BCD中,AO_L平面BCD,BC=陋BD=6CD=y/3,AD=

E,尸分别为AB,AC的中点.

(1)在图中作出平面OE尸与平面BDC的交线，并说明理由;

(2)求平面QEF与平面BQC夹角的余弦值.

(1)证明：因为E,尸分别为AB,AC的中点，所以E尸〃BC又ERt平面BCD,BCu

平面BCD,所以EF〃平面BCD.

设平面DEFH平面BDC=l,则/〃EF〃BC.

如图，过点。作与BC平行的直线/,/即平面。EF与平面BOC的交线.

第19页共22页

222

(2)解：因为BC=y/3BD=V3CD=V3,所以cos/BDC=皿/严1

LDU'CU2

所以N8OC=120°又A。，平面8。。，所以以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角

全标系D-xyz,

V31

则。(0,0,0),B(―,—-,0),C(0,1,0),

22

因为A(0,0,V2),所以E(空/—/，孝)，，孝)，则DE=(亨，一,，孝)，

DF=(0,

设平面OEr的法向量获=(x,y,z),

fV31^42_n

则I~fr~x-f-?y4-2-Q-z=0,

+TZ=0

令z=l,得肃=(一①，-y[2,1),

由题可知，平面BCQ的一个法向量£=(0,0,1).

贝！JcosOn,n>=7。，

故平面DE尸与平面8DC夹角的余弦值也

21.(12分)已知函数f(%)=(/+1)+Q%—崇

(1)若。=1,求曲线y=/(无)在冗=处的切线方程；

(2)若f(x)V0在(1,+8)上恒成立，求〃的值.

191

解：(1)因为f(x)=21TIX+%—7,所以，f'(x)=7+1H—/(I)=4,又/(I)=0,

xx

所以曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y=4x-4.

(2)因为f(x)=(小+1)m％+Q%—所以，f'(x)=a+l+a+刍=(Qx+l4%+a),

xxx"XL

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若则/(x)>0恒成立，所以，/(x)在(0,+8)上单调递增.

故当工=(1,+°°)时，f(x)>f(1)=0；

i1

若-l〈aV0,则OV-aVIV-0，所以，当％E(0,—a)U(一»,4-8)时，/(x)V

0；

i

当％G(—CLr——)时：f(x)>0,

则/(x)的单调递减区间为(0,-