2022年全国甲卷数学(文科)高考真题文档版(解析版)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

数学（文科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={-2,-1,0,1,2},8={x|0,,x<|}，则4B=（）

A.（0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若z=l+i.则|iz+3*=（）

A.4石B.4A/2C.26D.272

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体

的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

5.将函数/（幻=4111。%+方）0>0）的图像向左平移'个单位长度后得到曲线0若C

关于y轴对称，则。的最小值是（）

I1cl1

A.-B.-C.-D.一

6432

6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为（）

7.函数/（X）=（3X-3r）COSX在区间―三方的图像大致为（）

X

A.—1B.--C.—D.1

22

9.在长方体ABC。—A4G。中，已知与。与平面ABC。和平面A&gB所成的角均为

30°,则（）

A.AB=2ADB.AB与平面所成的角为30°

C.AC=C4D.片。与平面所成的角为45°

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为27r，侧面积分别为S甲和S乙，

体积分别为彩和忆若含=2,则含=（）

s乙%

A.y/5B.25/2C.\/10D.5^^

4

x2y21

11.已知椭圆c：-y+==1（。>匕>0）的离心率为一，4，4分别为C的左、右顶点，B

ab~3

为。的上顶点.若34・%=—1,则。的方程为（)

222

工+匕=1D.—+/=1

322

12.已知9'〃=10,Q=l（r=一9,贝IJ（)

A.a>O>hB.a>b>0C.b>a>0D.h>O>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2。分。

13.已知向量a=（加,3）,力=（1,根+1）.若。_1_》，贝！］/%=.

14.设点M在直线2x+y—1=0上，点（3,0）和（0,1）均在上，则一用的方程为

15.记双曲线C:二一与=1（。>0力>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

a"b'

无公共点”的e的一个值.

\Q

16.已知△A5C中，点。在边BC上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.当一取得

AB

最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行

情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.(12分)

记S,为数列｛%｝的前"项和.已知二、+〃=24+1.

（1）证明：｛4｝是等差数列；

（2）若为，%，%成等比数列，求S“的最小值.

19.（12分）

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面A8C。是

边长为8（单位：cm）的正方形，AEAB,△FBC,460）,AHDA均为正三角形,且它

们所在的平面都与平面A8CD垂直.

（1）证明：防〃平面A8CD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

20.（12分）

已知函数f（x）=xi-x,g（x）=x2+a,曲线y=/（x）在点处的切线也是曲线

y=g（x）的切线.

（1）若％=—1,求4:

（2）求a的取值范围.

21.（12分）

设抛物线。：尸=2〃叱〃>0）的焦点为凡点。（〃,0）,过尸的直线交C于M,N两点.当

直线垂直于x轴时，|”目=3.

（1）求C的方程：

（2）设直线M£>,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A3的倾斜角分别为

a,p.当a-〃取得最大值时，求直线AB的方程.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

'2+t

X~

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为'6C为参数），曲线C2的参数方程为

）=任

2+5

x=------

6（s为参数）.

(i)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

2cos6»-sin(9=0,求G与G交点的直角坐标，及G与C2交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,),c均为正数，且"+从+4。2=3,证明：

(1)a+b+2c,,3

(2)若/?=2c,则LL.3.

ac

绝密★启用前

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数学(文科)

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

3

13.---##—0.75

4

14.(x-l)2+(y+l)2=5

15.2(满足l<e〈有皆可)

16.当一1##—］+百

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

127

17.(1)48两家公司长途客车准点的概率分别为一，-

138

(2)有

18.(1)证明见解析；

(2)-78.

19.(1)

如图所示:

分别取的中点M,N,连接MN,因为为全等的正三角形，所以

EM上AB,FN上BC,EM=FN,又平面EAB_L平面ABCD，平面平面

ABCD=AB,u平面EAB，所以，平面ABCD,同理可得RV_L平面ABCD,

根据线面垂直的性质定理可知EM//EN,而EM=FN,所以四边形R0NR为平行四边

形，所以EF//MN,又上户《平面ABCD,MNu平面ABCD，所以所//平面ABCD.