2022年北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专项测试试卷

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专项测试

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在△48C中，ZJ6S=90°,AC=1,BC=2,则sin6的值为（）

A.直B・迈D

55c"-T

2、已知某水库大坝的横断面为梯形,其中一斜坡AB的坡度i=1:6，则斜坡AB的坡角a为

()

A.30°B.45°C.60°D.150°

3、请比较sin30°、cos45°、tan60°的大小关系（）

A.sin30°<cos45°<tan60°B.cos45°<tan600<sin30°

C.tan60°<sin30°<cos45°D.sin30°<tan60°<cos45°

4、若tan4=2,则//的度数估计在（）

A.在0°和30°之间B.在30°和45°之间

C.在45°和60°之间D.在60°和90°之间

5、在RAABC中，ZC=90°,AB=5,AC=2,则cosA的值是()

A•亨B.|C.fD.|

6、如图，在中，Z^90°,N4?俏30°,〃是“1的中点，则tan/〃%的值是（）

A.6B.C.—D.由

26

7、如图，在直角坐标平面内有一点P（6,8）,那么射线。尸与*轴正半轴的夹角a的正切值是（

8、已知锐角a满足tan（。+10。）=1,则锐角用a的度数为（）

A.20°B.35°C.45°D.50°

9,在鹿△/6C中，NO=90°,AC=5,BC=3,则sin4的值是（）

A.返B.2C.之D.场

34543

10、球沿坡角31。的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）.

A.5sin31°米B.5cos310米C.5tan310米D.5coi310米

第n卷（非选择题7。分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1,在欣△46C中，Z(>90°,如果cos/=§,A(=2,那么46的长为.

2、计算：78+2sin45°-^(,=.

3、计算：COS245°+tan30°,sin60°—sin245°=.

5i

4、如图，在R〃AC8中，ZACB=90,BC=0，tanA="，点£在线段AC上，CE=~,〃是线段

32

A8上一点，连接OE,将四边形8CEO沿直线OE翻折，得到四边形GFED,当点G恰好落在AC上

时，折痕DE的长为.

5、若一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm,此时小球距离桌面的高度为5cm,则这个斜坡的坡

度为.

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、如图所示，在7x6的方格纸中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点A、B均在小正方形

的顶点上.

25

(1)在方格纸中画出等腰AA8C,点C在小正方形的顶点上，AA8C的面积为了；

(2)在方格纸中画出以A8为斜边的RtAAB。，点。在小正方形顶点上，tan/ZM4=2,连接CD,并

直接写出C。的长.

2、如图，在比1中，N8=30°,8c=40cm,过点力作8a垂足为2N4切=75°.

(1)求点C到48的距离；

(2)求线段股的长度.

3、如图，在平面直角坐标系中，点/在x轴的正半轴上，点6在x轴的负半轴上，点。在y轴的正

半轴上，直线比1的解析式为尸Ax+12(后0),ACVBC,线段办的长是方程V-15x-16=0的

根.请解答下列问题：

(1)求点］、点6的坐标.

Itn

(2)若直线/经过点4与线段勿交于点〃，且tanNOg：,双曲线尸一(咨0)的一个分支经

4x

过点〃，求加的值.

(3)在第一象限内，直线⑦下方是否存在点R使以。、4。为顶点的三角形与相似.若存

在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4、某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，河旁

有一座小山，山高3c=80m,点C、A与河岸E、尸在同一水平线上，从山顶8处测得河岸E和对岸

F的俯角分别为Zt»8E=45。，ZDBF=3l°.若在此处建桥，求河宽EF的长.(结果精确到hn)[参

考数据：sin310==().52,cos31o«O.86,tan31°»0.60]

5、如图，在。力颇中，过6作也”于点£,连结力反少为上一点，且NAFB=ND.

(1)求证：XABFsMEAD.

(2)若AB=46,AD=6,Nfi4£=30°,求防的长.

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

先根据勾股定理求出斜边的值，再利用正弦函数的定义计算即可.

【详解】

解：•在△48C中，N4690°,AO\,BC=2,

止-JAC2+BC2=A/5>

..心AJ石

••sin庐---，

AB5

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理.解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此

外还有熟记三角函数的定义.

2、A

【分析】

直接利用坡角的定义得出答案.

【详解】

解：•••某水库大坝的横断面是梯形，其中一斜坡AB的坡度i=l:百，

设这个斜坡的坡角为a,

故tana-,

由3

故a=30°.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意正确得出坡角与坡比的关系.

3、A

【分析】

利用特殊角的三角函数值得到sin30°=；,cos45°=变，tan600=内，从而可以比较三个三角

22

函数大小.

【详解】

解答：解：Vsin30°cos45°=—,tan60°=6，

22

而片立<6,

22

/.sin30°<cos450<tan60°.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，实数比大小，准确计算是解题的关键.

4、D

【分析】

由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.

【详解】

解：***tan60°=^3<tanA=2，

：.NA>60°,

・・・60<ZA<90\

故选：D.

【点睛】

本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°=3,tan45°=1,tan60。=6是解题的关键.

3

5、B

【分析】

根据题意，画出图形，结合余弦函数的定义即可求解.

【详解】

解：由题意，可得图形如下：

根据余弦函数的定义可得cosA=筹=5，

AB5

故选：B

【点睛】

此题考查了余弦函数的定义，解题的关键是根据题意画出图形，并掌握余弦函数的定义.

6、D

【分析】

根据正切的定义以及tan3(T=且，设AC=G“，贝=结合题意求得。C,进而即可求得

3

tanZDBC.

【详解】

解：在△力比'中，Z(^90°，N/除30。，

tanZABC=生=tan30。=且设AC=耳，贝UBC=3a,

BC3

•••〃是4c的中点,

DC=-AC=—a

22

.

tanNDBC=—=-2—=@'

BC3a6

故选D

【点睛】

本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键.

7、D

【分析】

作局吐X轴于点M构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.

【详解】

解：作月匕x轴于点机

VA6,8),

佐6,4沪8,

84

..tano--——=—=—

OM63

故选：D.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

8、B

【分析】

根据特殊角的三角函数值计算即可；

【详解】

Vtan(a+10°)=1,且tan45°=1,

a+10°=45°,

,c=35°；

故选B.

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键.

9、A

【分析】

先根据银河股定理求出力6,根据正弦函数是对边比斜边，可得答案.

【详解】

解：如图，

：/C=90°，47=5,BC=3,

AB=^AC2+BC2=庖

.♦.盾=空=/=通

AB取34

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键.

10、A

【分析】

过铅球。作3，底面45于氏在中，/建5米，根据锐角三角函数sin31°与,即可求

AC

解.

【详解】

解：过铅球。作/_L底面于6,

如图在Rt△,中,小5米,则sin31。嘿

.•.除sin31°XJO5sin31°.

故选择A.

【点睛】

本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

二、填空题

1、6

【分析】

sri

根据余弦的定义可得cosA=^=；,代入AO2即可求得A8

AB3

【详解】

解:如图，

AC1、

cosA==—,AC=2

AB3

:.AB=6

故答案为：6

【点睛】

口的邻边

本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在心△中,cosa=

斜边

2、3及T3&

【分析】

先算化简二次根式，三角函数值和0次基，再利合并同类二次根式即可得出答案.

【详解】

解：原式=2拉+2x^-1,

2

=2夜+夜-1,

=30-1.

故答案为：3五T.

【点睛】

本题考查的是实数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数累，比较简单，需要熟练掌握实

数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数基是解题关键.

3-

提2

【分析】

直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案.

【详解】

解：cos245°+tan300sin600-sin245°

故答案为y.

【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

4、述

8

【分析】

这点D作■B3可以推出坐=竺，乙4/旗N/%=90°,再由tan4=〃^=^=也得到

BD2HC2AHAC3

DH=^AH,AC=^=3,由折叠的性质可得：EF=CE=^,FG=BC=^2,

3

N6KAN及方=90°,DG=BD,从而求出GE=j,

36

AG=1,设GH=x,则HE=GE-G”=/-x,£>”=注（1+尤），AH=AG+GH=l+x,

C7/=A//_CH=2_x,再由勾股定理得至I」BD2=DG2=GH2+DH2=x2++,

AD2=AH2+D/72=^(1+x)2+(1+x)2=^(1+x)2,则一^------二尸,由此求出％=：,然后

99V+如炉(2-2疗8

求出HE=GE-EH=］。"=述，最后利用勾股定理求解即可.

88

【详解】

解：如图所示，过点。作力/〃6C,

AnAH

：.一=一,ZAHD=ZACB=90°,

BDHC

,DHBCy/2AD2AH2

••tunAA=-----=----=—，-----z-=----7"

AHAC3BD1HC2

・V2人.3BC々

・・DH=AH,AC==3,

由折叠的性质可得：£F=CE=1,FG=BC=C，/。修/优户90°,DG=BD,

：.GE=y)EF2+GF2=-,

2

：.AG=AC-GE-CE=\,

3/?

设G”=x,则HE=GE-GH=——x,DH=—(\+x],AH=AG+GH=1+x,

23v7

CH=AH-CH=2-x,

：.BD2DG2=GH2+DH2=jc+-(\+,/ID2-^/72+D/72=-(l+x)2+(l+x)2=y(l+x)2,

•和卡尤『0+"2

"x2+1(l+x)2(2—x『‘

7

解得工=3，

o

/.HE=GE-EH=-,DH=—,

88

Z.DE=\JDH2+HE2=—,

8

故答案为：巫.

8

【点睛】

本题主要考查了平行线分线段成比例，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能正

确作出辅助线，构造直角三角形进行求解.

5、3

3

【分析】

过6作比工桌面于C,由题意得力庐10。如砥5面，再由勾股定理求出〃'的长度，然后由坡度的定

义即可得出答案.

【详解】

如图，过8作式工桌面于G

由题意得：AB=T0c/",BC=5cm,

：•AC=>JAB2-BC2=55/3，

•••这个斜坡的坡度，♦嘿=提=可

故答案为：走.

3

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解

题的关键.

三、解答题

1、(1)见详解；(2)图见详解，

【分析】

(1)由题意根据点C在小正方形的顶点上，AABC的面积为，25即可得到点C的位置；

(2)由题意根据以A3为斜边的RtA4?。，点。在小正方形顶点上，tanMM=2,即可得到点。的

位置，进而依据勾股定理即可得出CO的长.

【详解】

解：(1)如图，等腰A/SC即为所画，

由勾股定理可得A8=BC=132+42=5,

25

AABC的面积为彳，当月6为底边可得高为5,

以4BC为直角作BC=5即可,

因为4G=BF,ZAGB=NCFB=90°,GB=CF,

所以AAGB祥BFC,ZABG=Z.BCF,

又因为NBCF+ZCBF=90°,

所以NABG+ZCBF=90°,ZABC=90"；

(2)如图，RtAABO即为所画，

由勾股定理可得80=Vl2+22=6AD=V22+42=2后,

并且AZ)2+8£>2=ZBDA=90,

所以tanNDBA==2卢=2,

所以8=4+32=9.

【点睛】

本题主要考查应用与设计作图，熟练掌握勾股定理及其逆用以及三角函数的定义和等腰三角形定义和

全等三角形判定性质是解题的关键，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本

作图的方法作图.

2、(1)20cm；(2)1073+10

【分析】

(1)过C点作物于〃，如图，在Rt△仇力中，利用含30°的直角三角形三边的关系易得位=

^•笈=20；

(2)在麻△63中利用含30°的直角三角形三边的关系可得加20,BH=6CH=206,再利用三

角形外角性质计算出/胡。=45°,则△467/为等腰直角三角形，所以4/=勿=20,然后利用面积法

求/〃.

【详解】

解：(1)过。点作戊1"于〃，如图，

在RtZ\6。/中，

'：ZB=30°,

ACH=yBC=yX40=20cm,即点C到4?的距离为20cm；

(2)在RtZS6。/中，

•.•N6=30°,

<7/=20cin,BH=CH=20cm,

,：AACD=AABAC,

：.ZBAC=75°-30°=45°,

.•.△4口为等腰直角三角形，

：.AH=CH=2Qcm,

."6=(20G+20)cm,

'：^AI>BC=^CII*AB,

：.AD~20x(2M+20)=(]oG+]o)cm.

40

A

H

【点睛】

本题主要考查了含30°直角三角形的性质、解直角三角形、三角形的外角以及三角形的面积等知识

点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键.

64

3、(1)A(16,0),B(-9,0)；(2)-24；(3)存在，(16,12)或(25,12)或(32,—)或

(288384、

(石'石)

【分析】

(1)解一元二次方程15x-16=0,对称点力(16,0),根据直线式'的解析式为尸Ax+12,求

出与y轴交点。为(0,12),利用三角函数求出tan/6C3tan/的建黑=[,求出吩

33

一OC=-xl2=9即可；

44

(2)过点〃作皿y轴于瓦加J_x轴于凡利用勾股定理求出AKcG+OA1=/122+162=20,

.___________CDCD11

BO4OB1+OC-=\J92+122=15»根据三角函数求出tan/CNZH.=：，求出CZ)=：x2()=5，

AC2044

3

利用三角函数求出好CDsinZBCO=5x-=3,再利用勾股定理求出点〃(-3,8)即可；

(3)过点4作14与过点C与x轴平行的直线交于先证四边形以出为矩形，求出点A(16,

12),再证作84_1_4c交⑦延长线于凡可得/。总=/及力=90°,NP£归乙CAB,

可证先求三角函数值cosNG431g=^=U，再利用三角函数值cos/R价

4c204

cosZCM^—求出C^=25,得出点2(25,12)作在射线切截取

CPFCW\2,连结力办先证物△物(SAS)再证△AOs△。反设P3(x,y)利用勾股定理列

(16-x)2+y2=162288384

方程；29)，解方程得出点A(餐,餐)，延长曲与延长线交4,过日作Mx轴于

(y-12)+X2=1222525

RC123cA

//,先证△ORs△力阳再证△月(ASA),利用cosN月。=力=^=£=KT，求得

CAZUD

f5CA100刖」.

°舄=亍=亍即可.

【详解】

解：(1)y-15A--16=0,

因式分解得(x—16)(x+l)=0,

解得演=16,x2=-l,

点｛在x轴的正半轴上，<24=16,

.•.点1(16,0),

•.•直线式'的解析式为尸Ax+12,

与y轴交点C为(0,12),

123

AtanZCM^—=-,Z0CA+Z0AO900,

164

*：ACLBQ

：.ZBC(^ZOCA=90°,

：.4BCW4OAC,

OB3

二•tan/a3tanN物为二—,

OC4

33

：.OB=-OC=-x\2=9

44f

・,•点8(-9,0)；

(2)过点〃作皿y轴于£,肌Lx轴于个

在RW%中，AC=y/cO^OA2=>/122+162=20-

在RtZ\6%中BC=yjoB2+OC2=>/92+122=15，

CDCD

VtanZCAD———

AC~204

AC£>=-x20=5,

4

AinNSS空，3

BC155

3

:,D5CDsinZBCO=5x-=3,

・••行Jeb—世=&2-32=小阪叱陷12一4二8,

・••点〃(-3,8),

'・•双曲线7=丝(加W0)的一个分支经过点〃

x

/.tn=xy=-3xS=-24；

(3)过点力作m与过点C与x轴平行的直线交于R,

则/%/=/幺)=/物=90°,

...四边形如A为矩形，

:.点R(16,12),

当点P、(16,12)时，CP/OA,

NRCA=NCAB,NACB=NCRA,

：./\PxCA^r\CAB,

作RHa'交中延长线于Pz,

80=90°,ZP2CA=ZCAB,

:.XCAPDXACB,

J64

：.cosZCAO=-=

AC20~5

AC204

AcosZ/iCA=cosZCAO^-^-=

5

/.C/>=25,

・••点2的横坐标绝对值=C6=25,纵坐标的绝对值二0012,

・・.点幺(25,12),

作/月。二N%4,在射线〃截取力二除12,连结?1必

在△%力和△划中，

CPy=CO

<Z,P3CA=NO。,

CA=CA

，△无力且△物(SAS),

J4打好16,

・_12_44A16_4

**cF-i5-5,C4-20-5,

...乌=9=i,zCP3A=ZBCA=90°

CBCA5

:.△RC"XCAB,

设R(x,y)

(16-x)2+y2=162

(y-12)2+x2=122

x2+y2=32x

整理得

y2+x2=24y9

288

x=-----

25

解得：

384'

y=——

25

.288384

••点月（石‘石）'

延长明与延长线交A,过A作用/J_x轴于〃

•:/RCQ/CAB,NRA®NBA俏90°,

:.XCAPoXACB,

♦：NBA创/HAPF/CAR+/RAPF90。,ZCAP^ZBAC,

：./HAP尸乙RAP，,

NH月/二180°-Z6^J=180°-90°=90°=NPJIA,

在△/V3和物中,

4P3Ap4=/HAP&

<AP4=AP4

XPP哙XP\HA(ASA),

・・・/月二/沪16,PSPEPW,

P.C123CA