古希腊的几何学

第二讲人类理性的觉醒主讲教师：孙淑娥第1页，共33页。目录一、古希腊的几何学二、数学与第一次科学革命第2页，共33页。三、数学与数学教育

从古希腊时代开始到现代大约两千多年，数学家们追求着宇宙的真理，其成就是令人瞩目的：数学概念、结果与方法被广泛地应用到各个学科中去。社会经济发展的水平，决定了人类历史上首先发展起来的是天文学，而天文学离不开数学。然后依次是力学、光学、机械工程、一般物理学。这些现在之所以都被称为精确科学，正是因为它们应用了数学的概念、结果与方法。数学成为一门科学，首先从几何开始的。一、古希腊的几何学

第3页，共33页。三、数学与数学教育

埃及、巴比伦、印度、中国——的几何学都有大体相同的特点。由于几何学成就于古希腊，而它又与埃及的几何学关系比较密切，所以人们常说几何起源于埃及。古希腊数学大体上可分两个时期：

古典时期（公元前600~公元前400）（这一时期相当于中国的周）压力山大利亚时期（公元前400~公元100）（这一时期相当于中国的战国至隋）一、古希腊的几何学

两个时期第4页，共33页。三、数学与数学教育

毕达哥拉斯（前572-前497）—万物皆数”欧几里得（前330-前275）—几何《原本》阿基米德——面积、体积阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》托勒密(前367-前282)

——三角学丢番图（246-330）——不定方程一、古希腊的几何学

古希腊数学家第5页，共33页。三、数学与数学教育爱奥尼亚学派（最著名的代表：泰利斯——毕达哥拉斯受业于他）——伊利亚学派（著称学者：芝诺）——柏拉图学派（学生：亚里士多德）（欧几里得受其教育）是古希腊各学派中对数学影响最大者。

欧几里得把几何学系统化为一个演绎科学即一个逻辑推理体系，这个思想即来自柏拉图学派而由亚里士多德作了十分清楚的表达。

柏拉图学派，强调理性思维，认为有两个世界“理念世界”和“物质世界”。。一、古希腊的几何学

最著名的学派：柏拉图学派第6页，共33页。TheSchoolofAthensbyRaphael画面以表现古代雅典柏拉图的学苑（Academy/Academia）为背景，将地中海沿岸各国的古今著名学者熔于一炉；学者们的姿态以当时的“七艺”（语法、修辞、逻辑、数学、几何、音乐和天文）而各具情态。背景大厅两侧的壁龛雕塑，左面是阿波罗，右面是雅典娜。第7页，共33页。

柏拉图与亚里士多德倡导逻辑演绎的结构第8页，共33页。三、数学与数学教育亚里士多德的思想与柏拉图不同。他曾经说过：“吾爱吾师，吾更爱真理。”他反对将理念世界与物质世界分开，而认为理念不应该离开感觉而独立存在，理念即在事物之中。亚里士多德的哲学在他死后过了两千年，世界上才出现了能与他匹敌的哲学家。这两千年中他的权威性不容置疑。亚里士多德直接论述数学的著作不多。他最大的贡献是建立了逻辑学。他的逻辑学是总结了当时数学推理的规律，认为是独立于数学而且先行于一切科学的。他对逻辑的最重要的贡献是三段论法。一、古希腊的几何学

亚里士多德第9页，共33页。三、数学与数学教育毕达哥拉斯学派，他把数学和一种神秘主义的哲学是混合在一起的，所以他的神秘主义是一种数学神秘主义。认为世界的本源是数，他说“数统治宇宙。”其重大的贡献是认识到“证明”在数学中的地位，他认为直观有时会导致谬误。这个学派大概也是最早给毕达哥拉斯定理（勾股定理）以严格证明的人。一、古希腊的几何学

最早有重大影响学派：毕达哥拉斯学派第10页，共33页。第11页，共33页。三、数学与数学教育

毕达哥拉斯

到

柏拉图的数学传统有一种鄙薄实用、厌弃现实世界的倾向，这虽然也表现了一种对数学的执着，即不被纷乱的表相所迷惑，坚信数学对事物的本质有一种理解力，不是用现实的不完美的材质去建立数学，去改变数学，反而要用数学的形式去解释现实。柏拉图的学生亚里士多德的观点与此相反，在亚里士多德那里，数学的地位不高，只是描述事物的形式属性的。一、古希腊的几何学

亚里士多德第12页，共33页。三、数学与数学教育

欧几里得几何给出的五个公设和五个公理。不能摆脱物质世界影响的痕迹，要想完全摆脱人的经验或直观以达到理念世界是不可能的。欧几里得的惊人的天才，首先在于他恰好选择了他所必需的公理、公设与定义，既不太多，又足够证明全书给出的数百条定理（《原本》中有467个定理）。其次在于到那时为止所知道的几何定理几乎全部被合乎逻辑地编排起来，成了体系。一、古希腊的几何学

欧几里得几何第13页，共33页。三、数学与数学教育

欧几里得《几何原本》既是人类理性思维的一个高峰，又必然是一大挑战。它是西方思想文献中最有影响的经典著作之一。然而，《原本》的出现是人类文化史的革命性事件。但是，《原本》在公理化方面仍有许多缺点。总体来看，《原本》过多地依赖了直观，这是常导致一些错误的原因。要真正“取消”直观的影响，不是仅凭人的主观愿望和哲学家的理论主张就能做到的，需要的是整个人类文化发展的背景下几代数学家艰苦努力的积累。要等待2000多年后的希尔伯特。一、古希腊的几何学

欧几里得几何第14页，共33页。三、数学与数学教育

亚里士多德（公元前384-公元前321）百科全书式的学者。托勒密（约公元100-公元160）希腊天文学集大成着，总结了希腊天文学几乎所有的成果，继承和发展了亚里士多德的地心说。亚里士多德和托勒密的地心说统治了西方天文学一千多年并获得正统地位。并赋予了宗教意义。一、古希腊的几何学

亚里士多德第15页，共33页。三、数学与数学教育

科学革命的四位巨匠:哥白尼（1473-1543），开普勒（1571～1630），伽利略（1564-1642），牛顿（1643—1727）近代科学始于仰望星空，文艺复兴时期的哥白尼和开普勒，思想直承古希腊，眼光还在天空；直到伽利略才把数学从天空中拉回到地面上，最后是牛顿，对天上地上的自然现象做了第一次大综合，他的著作就是《自然哲学的数学原理》。至此，数学从理性世界回归到了现实世界。二、数学与第一次科学革命

四位巨匠第16页，共33页。三、数学与数学教育

这一时期有两点值得注意：数学与实验的结合。柏拉图的理性世界，这种观点在亚历山大时期就已经大打折扣了。已经产生了数学与经验知识相结合的阿基米德这样完全具有近代科学思想素质的天才。亚历山大时期的数学和科学已经有了这种迹象，它似乎能够把雅典时期的超凡脱俗的数学拉回到现实世界中来。数学与实验的再度结合是一千多年以后的事情了，真正的开始应该是伽利略的工作。二、数学与第一次科学革命

第一点第17页，共33页。三、数学与数学教育

毕达哥拉斯—柏拉图传统的基督教转换。从古罗马后期开始，基督教统治了欧洲的思想世界一千多年，希腊精神以一种改头换面的方式从基督教中复活了。上帝是按数学方式设计了大自然的。莱布尼兹补充说：“世界是按上帝的计算创造的。”开普勒在每次获得发现时都对上帝写了颂歌。数学家和科学家的信仰与态度是文艺复兴时代席卷整个欧洲的更大量文化现象的范例。二、数学与第一次科学革命

第二点第18页，共33页。三、数学与数学教育

亚里士多德去世一千八百三十年之后，一个伟大的人物诞生了——哥白尼。当哥白尼着手处理行星运动问题时，托勒密的地心说已经被后人不断地复杂化。哥白尼决心从数学上系统地探索他猜测的可能性。哥白尼日心说的唯一优势是数学的优势，是数学作为上帝设计宇宙的最终方案所展现的简洁和完美的感召性力量的优势。事实上，很长一段时间里只有数学家们支持哥白尼，哥白尼也说过他的书是写给数学家看的。二、数学与第一次科学革命

哥白尼第19页，共33页。三、数学与数学教育

根据哥白尼体系，宇宙不是以地球为中心的，地球和别的行星一样，围绕太阳而运行，唯有太阳才固定在体系的中心。这一简单而基本的发现，使人们对宇宙的看法从神秘原始的见解进入到现代的思考，并引起了思想上的革命。哥白尼运用科学方法所得到的、具有革命内容的《天体运行论》向自然事物方面的教会权威给予了公开挑战。从此，不仅铺平了通向近代天文学的道路。整个自然科学也开始从神学中解放出来，借以宣布其独立，开辟了自然科学的新时代。二、数学与第一次科学革命

哥白尼第20页，共33页。三、数学与数学教育

开普勒在大学学习时就对托勒密和哥白尼体系进行了深人的对比研究，并力求进一步找出宇宙中当时已知的六大行星与太阳之间可以体现“数的和谐”的规律。开普勒通过数学规律和“鲁道夫星表”使宇宙体系获得了一个有序的图景。笛卡儿曾说：“开普勒是我主要的光学老师，胜过所有他人”。二、数学与第一次科学革命

开普勒第21页，共33页。三、数学与数学教育(1)行星运动第一定律——行星的轨道是椭圆的，太阳位于椭圆的一个焦点上。这一定律又叫轨道定律。(2)行星运动第二定律——行星与太阳所连直线，即行星的向径在相等时问内扫过的面积相等。(3)行星运动第三定律——行星绕太阳一周的时间的平方与行星同太阳的平均距离的立方成正比。周期定律。二、数学与第一次科学革命

开普勒三定律第22页，共33页。三、数学与数学教育

开普勒行星运动三大定律的发现，把哥自尼的日心说推向了定量化与精确化阶段。使太阳系成为一个严格按照确定规律运行的力学体系。由于这三个定律正确地反映了行星运动的过程与规律，为牛顿建立万有引力定路打下坚实基础。因此，人们称颂他是“天空法律创制者”，“天体力学奠基人”。二、数学与第一次科学革命

开普勒第23页，共33页。

3.数学与其他领域在哥白尼之前，托勒密的地心说被基督教确定为天文学的真理；在伽利略之前，亚里士多德的物理学被基督教接受为真理。伽利略把科学从天上拉回到地上，放弃了古代哲学对宇宙做总体思辨和外在静观的方式，只对那些能够进入实验室的可以反复研究的简单现象有兴趣。伽利略说：“自然的大书是用数学语言写成的”二、数学与第一次科学革命

伽利略第24页，共33页。

3.数学与其他领域伽利略实际上使用了把实验和逻辑、数学结合起来的研究方法，而经典力学的建立，实质上也就是实验方法、逻辑思维方法与数学方法的建立和发展过程，可见，伽利略的研究方法对经典力学产生了极其重要的影响。时至今天，伽利略开创的研究方法，仍然具有强大的生命力和实际成效。二、数学与第一次科学革命

伽利略第25页，共33页。3.数学与其他领域牛顿的全部工作都是遵循伽利略的科学研究方法的。他不仅概括了伽利略、惠更斯（1629∽1695荷兰物理学家）的成果，而且把它们放在一个完整的逻辑体系之中，特别令人震惊的是：开普勒三定律也只不过是万有引力定律的推论。它不再是哲学家的思辨加上多年观测记录的概括。整个物理学（牛顿时代，物理学主要是力学）都像几何学一样被放进了逻辑演绎体系里了。二、数学与第一次科学革命

牛顿第26页，共33页。

3.数学与其他领域在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位。他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。首次提出一阶微分方程的分类；确定了微分方程求解的理论基础；开辟了应用无穷级数求解微分方程的方向；开创参数变易法思想并最先应用于解决三体问题的摄动理论等。二、数学与第一次科学革命

牛顿第27页，共33页。3.数学与其他领域力学运动规律的探求和重力与天体运动问题的研究始终是牛顿发明微积分、创造新的数学工具的主要动力，他为解决运动问题，创立了这种和物理概念直接联系的数学理论。牛顿的思想和方法对创立和发展微分方程学科具有重要的理论意义和历史意义。而牛顿在其物理学研究生涯中主要将智慧与时间奉献给了力学与光学。二、数学与第一次科学革命

牛顿第28页，共33页。

3.数学与其他领域二、数学与第一次科学革命

世人的赞誉第29页，共33页。

3.数学与其他领域

牛顿一生的重要贡献是集16、17世纪科学先驱们成果的大成，建立起一个完整的力学理论体系，把天地间万物的运动规律概括在一个严密的统一理论中。这是人类认识自然的历史中第一次理论的大综合。以牛顿命名的力学是经典物理学和天文学的基础，也是现代工程力学以及与之有关的工程技术的理论基础。这一成就，使以牛顿为代表的机械论的自然观，在整个自然科学领域中取得了长达200年的统治地位。二、数学与第一次科学革命

赞叹——科学界的领袖第30页，共33页。3.数学与其他领域

近代科学革命之所以把文艺复兴以来试图打破古代权威的绝对统治的理想变为了现实，使人类文明脱离了童年，开始成熟起