第15章量子物理基础

115.5微观粒子的波粒二象性不确定关系

光具有波粒二象性，微观粒子是否也具有波粒二象性？

1924年，法国物理学家德布罗意第一次提出了实物粒子具有波动性观点，以后人们把这种波称为德布罗意波，又称为物质波。L.deBrogen2爱因斯坦(Einstein)一、微观粒子的波粒二象性

德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子如电子、原子、分子等也具有波粒二象性。

如果用能量E

和动量p

来表征实物粒子的粒子性，则可用频率

和波长

来表示实物粒子的波动性。3或——德布罗意关系式。

这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。4例如静止质量为m0

的粒子，当v<<c

时，德布罗意波长为：

如飞行的子弹m=10-2kg，速度v=5.0102

m/s,对应的德布罗意波长为：1.3×10-25nm,很小，难以测出。

若粒子速度

v

与光速c

可比较时，动量为5德布罗意波长为：

在微观上，电子m0=9.1

10-31kg，速度v=5.0107m/s，对应的德布罗意波长为：1.4×10-2nm，比较明显。6玻尔量子化条件的驻波解释

对于玻尔假设中的量子化条件，德布罗意指出：一个无辐射的稳定圆轨道的周长必须等于电子的物质波波长的整数倍，既驻波条件。

波动在一两端固定弦上传播，如果弦长等于波长，则形成稳定的驻波。7

若将弦逐渐弯曲为半径为

r

的圆，则弦上仍是一稳定的驻波。弦所形成的圆周长应等于波长：

若圆周长等于波长的整数倍时,同样可以在弦上形成驻波：为电子的德布罗意波长。8

由德布罗意假设，质量为

m

的电子，以速率

v

绕半径为

r

的圆周运动时，其波长为：代入式子得——氢原子玻尔理论中角动量量子化条件。电子驻波9二、物质波的实验证明

1925年美国物理学家戴维孙进行了电子散射实验。他与革末于1927年发表实验结果，证实了德布罗意物质波的理论。1.戴维孙—革末电子散射实验镍晶体电子枪电子束散射线电子探测器10

当电压加到54V时,沿θ=50o

的出射方向检测到很强的电子电流。0°15°30°45°60°75°°90°°50°实验结果：加速电压：散射角：电子束强度极大。

戴维孙用布拉格方法对实验结果进行了分析。11d晶面间距电子对晶面的掠射角对应一级衍射极大,可算得电子的物质波波长由布拉格方程12

利用德布罗意波长公式，计算电子的物质波波长。由将U=54v代入，得

实验结果与理论计算相吻合。实验证实了电子具有波动性，能像X射线一样满足布拉格方程;另外，也验证了德布罗意波长公式的正确性。132.汤姆孙电子衍射实验

在戴维孙—革末电子衍射实验的同一年，1927年，英国物理学家汤姆孙(G.P.Thomson)

用电子束垂直射向金箔和铝箔，在箔后的屏上出现了圆环形的电子衍射图样。

电子衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性而分享了1937年诺贝尔物理学奖。14例1计算经过电势差U=150V和U=104V加速的电子的德布罗意波长（在U≤104V时,可不考虑相对论效应）。解

根据加速后电子的速度为式中m0为电子的静止质量。15

根据德布罗意关系p=h/λ，电子的德布罗意波长为波长分别为电子的德布罗意波长与X射线的波长相近。16例2计算250C时慢中子的德布罗意波长。解慢中子的平均平动能平均平动能17慢中子的动量慢中子的德布罗意波长

慢中子的波长与X射线同数量级，慢中子穿过晶片时会产生衍射现象。18例3在电子束中的电子动能为200eV。求电子的德布罗意波长。解电子的动能电子的速率远小于光速，所以：这个波长与X射线波长的数量级相当。19观测仪器的分辨本领电子显微镜分辨率远大于光学显微镜分辨率。讨论电子波的波长远小于光波波长。

粒子的波动性，如电子和中子的波动性还被广泛用于研究固体和液体内的原子结构上。20三、不确定关系——海森伯坐标和动量的不确定关系。

如果一个粒子的位置坐标具有一个不确定量Δx,则同一时刻的动量也具有一个不确定量Δpx,Δx与Δpx的乘积总是大于一定的数值

一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。（为约化普朗克常数）21利用电子单缝衍射实验可以说明不确定关系。入射电子束Δxxy感光底片电子流强度设为中央明纹旁第一级暗纹的衍射角。坐标x

的不确定量为△x22利用单缝衍射公式有xyp又有利用德布罗意关系式得即23若再考虑到落在中央明纹区以外的电子，有严格推到可得

在表明或测量粒子的位置和动量时，它的精度存在一个终极的不可逾越的限制。这种特性是由于它具有波粒二象性。能量和时间的不确定关系24

氢原子中电子速率约为106m/s。速率不确定量与速率本身的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。解由不确定关系 例4原子的线度约为10-10m，求原子中电子速度的不确定量。25例5

根据玻尔的氢原子模型，电子处于基态时的运动轨道半径为0.529×10-10m。请问，根据海森伯的不确定原理，这一模型现实吗？解

假设沿半径方向动量的不确定量为26例6

一颗质量为0.1kg

的子弹,在其运动过程中的某一瞬时，测得位置的不确定量为10–6m。

求子弹速率的不确定量。解由不确定量关系，得对于子弹而言，位置的不确定量仅为10–6m,而速率的不确定量已大大超过目前测量上的精确度。这一瞬间同时有准确的位置和动量。27例7

波长为600nm的光沿

x

轴正向传播时,若光的波长的不确定量为1.5×10-4nm,则

x

坐标的不确定量至少为多少？解由不确定量关系,得

求微分时取正值,这种现象被光的衍射所证明。2815.6波函数一维定态薛定谔方程一、波函数及其统计解释

微观粒子具有波动性，1925年奥地利物理学家薛定谔首先提出用物质波波函数描述微观粒子的运动状态。

波函数

量子力学中用以描述粒子运动状态的数学表达式。

自由粒子

不受外力场的作用,其动量和能量都不变的粒子。29平面机械波波函数的复数形式类似,自由粒子的物质波的波函数也可表示为利用波函数也可表示为30式中是待定常数,相当于x

处波函数的复振幅,反映波函数随时间的变化。

物质波波函数是复数，它本身并不代表任何可观测的物理量。波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？31

1926年德国物理学家波恩提出了物质波的统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波,t

时刻粒子在空间r

处附近的体积元dV

中出现的概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。式中是波函数的共轭复数。

波函数绝对值平方代表t

时刻，粒子在空间r

处的单位体积中出现的概率，又称概率密度，这是波函数的物理意义。物质波又称概率波。32

在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处出现的概率成正比。如果在空间某处的值越大，粒子出现在该处的概率也越大;的值越小，则粒子出现在该处的概率就越小。无论如何小，只要不为零，粒子总有可能出现在该处。电子双缝干涉图样单个粒子的出现是偶然事件,大量粒子的分布有确定的统计规律。33注意（2）归一化条件

（3）概率密度在任一处都是唯一、有限的,并在整个空间内连续。粒子在整个空间出现的概率为1。（1）t

时刻,粒子在r

处dV

内出现的概率34二、薛定谔方程

1926年薛定谔提出了适用于低速情况下的,描述微观粒子在外力场中运动的微分方程，称为薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的基本方程，是关于r

和t

的线性偏微分方程。其中，V=V(r,t)是粒子的势能。35

粒子在稳定力场中运动，势能V

、能量E

不随时间变化，粒子处于定态，波函数写为定态薛定谔方程若粒子在一维空间运动，则36

在微观粒子的各种定态问题中，将势能函数V(r)

的具体形式如，氢原子中的电子一维线性谐振子

代入薛定谔方程,可以求得定态波函数,同时也就确定了概率密度的分布以及能量和角动量等。37讨论波函数的合理解应满足条件：38三、一维无限深势阱中的粒子设粒子沿x

轴作一维运动，势能函数为oaxV(x)∞∞势能曲线

束缚于金属内的自由电子只能在金属内运动，而不能逃逸出金属表面，可以近似地认为金属内的自由电子在一维无限深势阱内运动。39薛定谔方程令则方程通解利用边界条件x=0，,则