逆命题和逆定理八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题逆命题和逆定理姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021春•揭阳期中〕以下说法正确的选项是〔〕A．相等的角是对顶角B．同位角相等C．同角或等角的补角相等D．平行于同一条直线的两条直线不一定平行【分析】根据对顶角的定义、平行线和补角的性质，分析、判断各选项的正确与否，再作选择．【解答】解：A、如两直线平行线，同位角相等，但不是对顶角，应选项错误；B、同位角不一定相等，应选项错误C、同角或等角的补角相等，应选项正确；D、平行于同一条直线的两条直线不一定平行，应选项错误．应选：C．2．〔2021春•武城县期末〕以下命题中，是假命题的是〔〕A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；C、直角的补角仍然是直角，是真命题；D、垂线段最短，是真命题；应选：B．3．〔2021秋•襄汾县校级月考〕以下命题的逆命题成立的是〔〕A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等C．等腰三角形两底角相等D．如果两数相等，那么它们的绝对值相等【分析】分别写出原命题的逆命题后即可判断是否成立．【解答】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，不成立，不符合题意；B、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，不成立，不符合题意；C、逆命题为：两角相等的三角形是等腰三角形，正确，成立，符合题意；D、逆命题为：绝对值相等的两个数相等，错误，不成立，不符合题意；应选：C．4．〔2021春•道外区期末〕以下命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有〔〕个A．1B．2C．3D．4【分析】根据全等三角形的性质和判定进行判断即可．【解答】解：①形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，原命题是假命题；②在两个全等的三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，原命题是假命题；③全等三角形的对应边相等，是真命题；④全等三角形对应边上的高相等，是真命题；应选：B．5．〔2021春•西安期末〕命题“假设a＞b，那么a2＞b2〞的逆命题是〔〕A．假设a＞b，那么a2＜b2B．假设a＜b，那么a2＞b2C．假设a2＞b2，那么a＞bD．假设a2＞b2，那么a＜b【分析】把一个命题的条件和结论互换即可得到其逆命题．【解答】解：“假设a＞b，那么a2＞b2〞的条件是“a＞b〞，结论是“a2＞b2〞，其逆命题是假设a2＞b2那么a＞b．应选：C．6．〔2021春•江宁区校级月考〕以下命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用平行线的判定、互余的定义、直角的定义及对顶角的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意；②等角的余角相等的逆命题为余角相等的两个角相等，正确，是真命题，符合题意；③直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题，不符合题意；④相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，符合题意，真命题有3个，应选：C．7．〔2021春•锦江区校级期中〕以下命题：①四边形是多边形；②对顶角相等；③两直线平行，内错角相等；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；那么原命题和逆命题均为真命题的个数为〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据多边形的概念、对顶角的概念、平行线的判定和性质、有理数的乘法法那么判断即可．【解答】解：①四边形是多边形的逆命题是多边形是四边形，原命题是真命题，逆命题是假命题；②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，原命题是真命题，逆命题是假命题；③两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，原命题是真命题，逆命题是真命题；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0的逆命题是如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，原命题是假命题，逆命题是真命题；应选：A．8．〔2021春•中山市期末〕以下命题中，是假命题的是〔〕A．对顶角相等B．同位角相等C．两点确定一条直线D．垂线段最短【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线公理对C进行判断；根据垂线段公理对D进行判断．【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；B、两直线平行，同位角相等，所以B选项为假命题；C、两点确定一条直线，所以C选项为真命题；D、垂线段最短，所以D选项为真命题．应选：B．9．〔2021春•丹阳市期末〕以下命题中真命题的有〔〕①同旁内角互补，两直线平行；②假设|a|＝|b|，那么a＝b；③多边形的外角和为360°；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据平行线的判断方法对①④进行判断；根据绝对值的意义对②进行判断；根据多边形的外角定理对③进行判断．【解答】解：同旁内角互补，两直线平行，所以①为真命题；假设|a|＝|b|，那么a＝±b，所以②为假命题；多边形的外角和为360°，所以③为真命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以④为真命题．应选：D．10．〔2021春•吴中区期末〕如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，CD、BE交于点F，现给出下面两个命题：①当CD、BE是△ABC的中线时，S三角形BFC＝S四边形ADFE；②当CD、BE是△ABC的角平分线时，∠BFC＝90°+12∠AA．①是真命题②是假命题B．①是假命题②是真命题C．①是假命题②是假命题D．①是真命题②是真命题【分析】由CD、BE是△ABC的中线，得出F是△ABC的重心，根据三角形重心的性质以及三角形的面积公式可判定①是真命题；根据角平分线定义以及三角形内角和定理可判定②是真命题．【解答】解：①∵CD、BE是△ABC的中线，∴F是△ABC的重心，∴S三角形BFC=13S三角形ABCS三角形EFC=13S三角形BEC=16SS三角形BDF=13S三角形BDC=16S∴S四边形ADFE＝S三角形ABC﹣S三角形BFC﹣S三角形EFC﹣S三角形BDF＝S三角形ABC-13S三角形ABC-16S三角形ABC-=13S三角形ABC∴S三角形BFC＝S四边形ADFE，故命题①正确；②∵CD、BE是△ABC的角平分线，∴∠BCF=12∠BCA，∠FBC=12∴∠BFC＝180°﹣〔∠BCF+∠FBC〕＝180°-12〔∠BCA+∠ABC＝180°-12〔180°﹣∠A＝90°+12∠A，故命题②应选：D．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021春•清江浦区期末〕“内错角相等〞的逆命题是相等的角为内错角．【分析】交换原命题的题设与结论得到它的逆命题．【解答】解：“内错角相等〞的逆命题是“相等的角为内错角〞．故答案为相等的角为内错角．12．〔2021•瑶海区二模〕命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b〞的逆命题是：真命题〔填“真命题〞或“假命题〞〕．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．【解答】解：“如果|a|＝|b|，那么a＝b〞的逆命题是“如果a＝b，那么|a|＝|b|〞，为真命题，故答案为：真命题．13．〔2021秋•三明期末〕写出“全等三角形的面积相等〞的逆命题面积相等的三角形全等．【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．【解答】解：“全等三角形的面积相等〞的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．故答案是：面积相等的三角形全等．14．〔2021秋•慈溪市期末〕为说明命题：“对于任意实数x，都有x2＞0〞是假命题，请举一个反例：x＝0．【分析】找到一个实数使得x2＝0即可．【解答】解：当x＝0时，x2＝0，所以“对于任意实数x，都有x2＞0〞是假命题，故答案为：x＝0．15．〔2021春•龙山县期末〕分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应角相等．写出成立的逆命题：内错角相等，两直线平行．【分析】根据实数的乘法、平行线的性质和全等三角形的性质判断即可．【解答】解：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数，逆命题是如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数，是假命题；②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；③全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题；故答案为：内错角相等，两直线平行．16．〔2021秋•三水区期末〕命题“如果a3＝b3，那么a＝b〞是真命题.〔填“真命题〞或“假命题〞〕【分析】根据实数的性质继续判断即可．【解答】解：“如果a3＝b3，那么a＝b〞是真命题；故答案为：真命题．17．〔2021•梁溪区校级二模〕命题“如果a、b互为相反数，那么a+b＝0〞的逆命题是真命题〔填“真命题〞或“假命题〞〕．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．【解答】解：命题“如果a、b互为相反数，那么a+b＝0〞的逆命题是：如果a+b＝0，那么a、b互为相反数，这个逆命题是真命题．故答案为：真命题．18．〔2021春•玄武区期末〕对于以下命题：①假设a＞b，那么a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2﹣2x+2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°．其中，真命题的是②③④．〔填所有真命题的序号〕【分析】根据不等式的性质、三角形的性质以及代数式的最值解答即可．【解答】解：①假设a＞b，当a＝﹣1，b＝﹣2时，那么a2＜b2；原命题是假命题；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角，是真命题；③无论x取什么值，代数式x2﹣2x+2＝〔x﹣1〕2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题．故答案为：②③④．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021春•三元区校级月考〕如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．条件为：①②④〔填序号〕．结论为：③〔填序号〕．【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明△AFD≌△CEB即可．【解答】解：条件为：①②④，结论为：③；〔答案不唯一〕：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：DF＝BE．证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∴在△AFD和△CEB中，AD=CB∴△AFD≌△CEB〔SAS〕，∴DF＝BE．故答案为：①②④；③20．〔2021•袁州区校级开学〕如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．〔1〕由上述条件可得哪几个真命题？请按“⊗⊗⇒⊗〞的形式一一书写出来；〔2〕请根据〔1〕中的真命题，选择一个进行证明．【分析】〔1〕根据题意，结合平行线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．〔2〕任选一个命题，根据平行线的性质或角平分线的定义进行证明．【解答】解：〔1〕上述问题有三种正确命题，分别是：命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①．〔2〕解：选择命题2：①③⇒②．证明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．∴∠A＝∠B．21．〔2021春•博兴县期末〕如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．〔1〕假设CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．〔2〕除〔1〕外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．【分析】〔1〕根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACD，根据平行线的性质定理证明结论；〔2〕根据题意写出一个真命题，仿照〔1〕的证明过程证明结论．【解答】〔1〕证明：∵CD平分∠BCA，∴∠BCD＝∠ACD，∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．〔2〕解：如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．证明：∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠DEF，∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠BCA．22．〔2021春•姜堰区期末〕〔1〕：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B+∠F＝180°．〔2〕你在〔1〕的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．【分析】〔1〕利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，那么利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；〔2〕利用了平行线的判定与性质定理求解．【解答】〔1〕证明：∵∠B+∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B+∠F＝180°；〔2〕解：在〔1〕的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．23．〔2021春•松江区期末〕如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在线段BE上截取ED＝EC，AD的延长线交BC于点P，联结DC．〔1〕请说明AD＝BC的理由；〔2〕请说明BP＝PC的理由．【分析】〔1〕根据题意利用边角边定理推出△BCE≌△ADE，从而证明AD＝BC；〔2〕根据题意及等腰直角三角形的性质推出BD＝CD，从而得出PD是线段BC的垂直平分线，即可证明BP＝PC．【解答】解：〔1〕∵BE⊥AC，，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，∴BE＝AE，在△BCE和△ADE中，BE=AE∴△BCE≌△ADE〔SAS〕，∴AD＝BC．〔2〕∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE⊥AC，BE＝AE，EC＝ED，∴∠DCE＝∠CDE＝∠EBA＝∠BAE＝45°，∴∠ABC﹣∠EBA＝∠ACB﹣∠DCE，即∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD，∴PD为线段BC的垂直平分线，∴BP＝PC．24．〔2021春•松江区期末〕如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD〔1〕当点E、F分别在边BC、CD上时