专题08 比例线段重难点题型专训（6大题型）（解析版）

专题08比例线段重难点题型专训（6大题型）【题型目录】题型一比例的性质题型二线段的比题型三成比例线段题型四由平行判断成比例的线段题型五由平行截线求相关线段的长或比值题型六黄金分割【知识梳理】知识点一、线段的比与成比例线段线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．成比例线段四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段．知识点二、比例的性质基本性质合比的性质等比性质知识点三、黄金分割黄金分割若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为．知识点四、相似图形相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。图形：几何语言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推论平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。图形：几何语言：∵DE∥BC，∴，，【经典例题一比例的性质】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）若，则的值为（

）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【详解】解：由，，，故选：A．【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．2．（2022春·九年级课时练习）如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则可以变形为．分别代入各个选项检验即可得到结论．【详解】解：设，则可以变形为．A、，，该选项正确，故不符合题意；B、，，该选项正确，故不符合题意；C、，，该选项正确，故不符合题意；D、，，该选项错误，故符合题意．故选：D．【点睛】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分求值．3．（2022春·江苏·九年级专题练习）如果，那么＝．【答案】【分析】设，然后根据比例的性质解三元一次方程组，最后将a、b的值代入所求解答即可．【详解】设，则，解得，∴．【点睛】本题集中考查了比例的基本性质、代数式求值及三元一次方程组的解法．4．（2021·上海·九年级专题练习）已知，，则．【答案】【分析】根据比例的性质（两内项之积等于两外项之积）可设a=2t、b=3t、c=5t．然后，将其代入a：b：c求值即可．【详解】∵a：b=2：3，b：c=3：5，∴设a=2t、b=3t、c=5t．∴a：b：c=2t：3t：5t=2：3：5．故答案为2：3：5．【点睛】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．解答此题时，利用了比例的性质设a=2t、b=3t、c=5t，然后将其代入所求的比例式，消去未知数t．5．（2022春·九年级课时练习）已知：a：b：c＝3：4：5（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【答案】（1）；（2）a=3，b=4，c=5【分析】（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；（2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值．【详解】（1）∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），则；（2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：9k-4k+5k=10，解得k=1．则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．【经典例题二线段的比】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．【详解】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，又S△AMC=MN•AC=AM•MC，∴MN==．故选A．【点睛】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．【详解】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，第二次裁剪所得矩形的长为，宽为，第三次裁剪所得矩形的长为，宽为，第四次裁剪所得矩形的长为，宽为，第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，，．故选：A．【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键．3．（2022秋·九年级单元测试）已知是线段上一点，且，则．【答案】【分析】设AP=2x，那么PB=5x，则AB＝7x,从而求得其比值.【详解】设AP=2x，那么PB=5x，∴AB=AP+PB=7x，∴.故答案是：.【点睛】运用线段的和、差、倍、分来转化线段之间的数量关系是解题的关键．4．（2022·福建宁德·一模）在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．若点P是线段MN的黄金分割点，当MN=1时，PM的长是．【答案】【分析】设PM=x，根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【详解】设PM=x，则PN=1-x，由得，，化简得：x2+x-1=0，解得：x1＝，x2＝（负值舍去），所以PM的长为．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 5．（2022春·九年级课时练习）（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据线段比例中项的定义即可得；（2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得．【详解】（1）由题意得：，即，将代入得：，解得；（2）由得：，整理得：，即，解得．【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键．【经典例题三成比例线段】1．（2022春·江苏·九年级专题练习）下列各组中的四条线段不是成比例线段的是（）A．a=1，b=1，c=1，d=1 B．a=1，b=2，c=2，d=4C．a=1，b=3，c=2，d=4 D．a=2，b=1，c=8，d=4【答案】C【分析】如果两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，我们就说这四条线段叫做成比例线段．【详解】∵1×1=3×2，故选项A中的四条线段成比例，∵1×4=2×2，故选项B中的四条线段成比例，∵1×4≠2×3，故选项C中的四条线段不成比例，∵2×4=1×8，故选项D中的四条线段不成比例，故选C．【点睛】本题考查的知识点是比例线段的概念，解题关键是注意相乘的时候，让最大的和最小的相乘，剩下的两条再相乘，看它们的积是否相等．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）若线段x是3和6的比例中项，则x的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据线段比例中项的概念，可得x2=3×6=18，依此即可求解．【详解】∵线段的长x是3和6的比例中项，∴x2=3×6=18，∵线段是正数，∴x=3．故选A．【点睛】此题考查了比例中项的定义．此题比较简单，注意掌握比例中项的定义是解此题的关键．3．（2022秋·河南郑州·九年级统考期中）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为【答案】【详解】解：由题意，，，，∵矩形∽矩形，∴，∴，解得，【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，于点D，点E在线段上，连接并延长交于点F，设．（1）若E为的中点，则；（2）若，则．（用含m、n的代数式表示）【答案】【分析】过点D作交于M，利用平行线分线段成比例解题即可．【详解】解：（1）过点D作交于M，∵，∴，∴，∵E为的中点，，∴，∴，（2）过点D作交于M，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案为：，．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，作辅助线构造平行线是解题的关键．5．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题：(1)四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段．(2)已知，那么成立吗？请说明理由．(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)如果，那么成立，详见解析(3)或【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可．（2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可．（3）分和两种情况求解．【详解】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段．故答案为：．（2）解法1：如果，那么成立．理由：，，∴，．解法2：如果，那么成立．理由：，，即，．（3）①当时，，，，为其中任何一个比值，即；②时，．所以或．【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键．【经典例题四由平行判断成比例的线段】1．（2023秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）如图，直线，直线、分别与直线、、相交于点、、和点、、，若，，，则（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出，进而求出．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、，由平行线分线段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，，故该选项正确，不符合题意；B、，，，，，为的中点，，，故该选项正确，不符合题意；C、，由平行线分线段成比例定理可得，，，由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，，故该选项正确，不符合题意；D、，由平行线分线段成比例定理可得，，由平行线分线段成比例定理可得，只有当为中点时，即时，由于题中并未给出相关条件，故该选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查线段成比例，涉及平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、中点的定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．3．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则．

【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：直线，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是．

【答案】6【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 5．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在正方形中，点G在对角线上，不与点B，D重合，连接并延长交于点E，连接并延长交于点M，过点D作交于点P，交于N，垂足为F．

(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长．（用含a的式子表示）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）证明，得出即可；（2）先证明，，得出，即可得出，根据，得出，，即可证明结论；（3）证明，得出，得出，根据，得出，即，求出，得出，根据，得出．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴；（2）证明：∵四边形为正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（3）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练三角形全等的判定，得出，．【经典例题五由平行截线求相关线段的长或比值】1．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期中）如图，三条直线，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可得，从而得到，再由，可得，最后再由可得，进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点是解题的关键．2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得．【详解】解：过点F作交AC于点G,∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．设，则，∴∴．∴．∴．∴．故选：A【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键．3．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则．

【答案】【分析】首先过点M作，交分别于K，N，由M是的中点与、为的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，然后根据比例的性质，即可求解．【详解】解：过点M作，交分别于K，N，

∵M是的中点，∴，∵、为的三等分点，∴，∴，∵，，∴，，设，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．（2021秋·山西太原·九年级校考阶段练习）如图，中，，，求的值为．

【答案】【分析】过点作交于，由平行线分线段成比例得到，，则，，得到，即可得到的值．【详解】解：过点作交于，

∵，，∴，，∴，，∴，∴．故答案为：【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，作是解题的关键．5．（2023秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，已知直线、、分别截直线于点A、、，截直线于点、、，且．

(1)如果，，，求的长；(2)如果，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；（2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长．【详解】（1）解：如图，

∵，∴，∵，，，∴，即的长为；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键．【经典例题六黄金分割】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即；如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入沿直线行走，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割点的定义列式判断即可．【详解】解：∵满足，则称点是的黄金分割点，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，即，∴．故选：C．【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，代入并整理得：，求出x的值，再舍去不合题意的值，最后计算比值即可．【详解】设，则，∵，∴，整理，得：，解得：，经检验，是原分式方程的解．∵，∴，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查黄金分割，解可化为一元二次方程的分式方程．理解黄金分割的定义是解题关键．3．（2023秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，C，D是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，则的长为米．（结果保留根号）

【答案】【分析】设，，根据C，D是线段的黄金分割点列式求解即可得到答案；【详解】解：设，，∵C，D是线段的黄金分割点，，∴，，解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），∴，故答案为：；【点睛】本题考查黄金分割比例的运用，解一元二次方程，解题的关键是根据黄金分割比例列式．4．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为10cm，则的长为cm．（结果保留根号）

【答案】【分析】根据黄金分割的定义，得，构建方程计算求解．【详解】解：根据题意，；∴∴故舍去；∴故答案为：

【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接；操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平；操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．

根据以上操作，直接写出图3中的值：______；(2)【问题解决】请判断图3中四边形的形状，并说明理由．(3)【拓展应用】我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长．【答案】(1)(2)四边形是菱形，理由见解析(3)或．【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可；（2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论；（3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长即可．【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知，∴，∵在矩形中，，∴，∴，故答案为：；（2）四边形是菱形，理由：如图3，由折叠可知：，，∵在矩形中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；（3）解：∵，∴由（1）可知，，，∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∵点M是线段的黄金分割点，∴或，即或，∴或，∴或，即的长为或．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键．【重难点训练】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，若直线，且，，则（

）

A．5 B．6C．9 D．10【答案】C【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】解：直线，且，，又，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．2．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，若，则长为（

）

A．1.8 B．2.7 C．3.6 D．4.5【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：，，又∵，∴∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列四条线段中，不能成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、，能成比例，故此选项不符合题意；B、，能成比例，故此选项不符合题意；C、，不能成比例，故此选项不符合题意；D、，能成比例，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．4．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】取的中点M，连接，根据三角形中位线定理得，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案．【解答】解：如图，取的中点M，连接，∵D是边上的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选:B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．5．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，正方形顶点E、F在边上，点M在边上，点N在内部，连接并延长交于点D，若，，则长为（

）

A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.5【答案】B【分析】根据正方形的性质可得，进而可得．在和中，设正方形的边长为x，根据平行线分线段成比例定理的推论分别列出方程，即可求解．【详解】解：正方形顶点E、F在边上，点M在边上，，又，．设正方形的边长为x，在中，，，即，解得，，在中，，，即，解得，故选B．【点睛】本题考查正方形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．6．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知，则．【答案】【分析】根据等式的性质，可用表示，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：由，得．，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键．7．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，在正方形中，，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为．【答案】2【分析】以为对称轴作的对称点，连接并延长交于，连，依据，可得当，，三点共线时，取等于号，再求得，即可得出，，再根据为等腰直角三角形，即可得到．【详解】解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连，根据轴对称性质可知，，，当，，三点共线时，正方形边长为，，为中点，，为中点，，，，，，，，，，为等腰直角三角形，，即的最大值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为．

【答案】【分析】作交于点，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．【详解】解：作交于点，

，．是的中点，，，．，．平分，．，在与中，，，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．9．（2023·四川成都·校考三模）已知点为线段的黄金分割点，．若，则的长为．【答案】/【分析】利用黄金比例列出方程解答即可．【详解】解：点为线段的黄金分割点，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键．10．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则．

【答案】//【分析】设、交于点，结合可得；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知，可得，即可获得答案．【详解】解：如下图，设、交于点，

∵，平分线段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．11．（2023秋·八年级课时练习）已知，求的值．【答案】【分析】根据，设每份为k，则，，．再代入分式计算即可．【详解】解：∵，设每份为k，则，，．∴．【点睛】本题考查了比例的性质，分式化简求值，设每份为k，得出，，是解题的关键．12．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，已知，；，，．求的长．

【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∵，∴，即，解得：．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点