宁夏青铜峡市宁朔中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

青铜峡市宁朔中学2023-2024学年第一学期高二年级数学学科期中测试卷出卷人：一.单项选题：（每小题5分，共40分）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线方程可得其斜率，结合斜率与倾斜角关系，即可得到结果.【详解】因为直线，即所以，且

所以故选:D.2.直线与直线平行，则它们的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】直线3x+4y﹣3=0即6x+8y﹣6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是故答案为2．3.已知，，且，则实数t的值为（）A. B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】运用空间向量垂直的坐标公式计算即可.【详解】因为，所以，解得.故选：B.4.圆O1：和圆O2：的位置关系是A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．考点：圆与圆的位置关系．5.已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.∵圆的圆心，，圆心到直线：的距离，则．故选A【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．6.当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程.【详解】设，因为的中点为，所以，所以，又因为在圆上，所以，所以的轨迹方程即为，故选：C.7.已知AB是圆内过点的最短弦，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】求圆的标准方程，确定圆心半径，找到最短弦条件，求出最短弦长.【详解】设圆为，其标准方程为，则圆心坐标为，半径为3，过的最短的弦满足为在弦上垂足时，则，则，故选：C.8.曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要求的实数的取值范围即为直线斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值；当直线过点时，由和的坐标求出此时直线的斜率，根据两种情况求出的斜率得出的取值范围．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线过，，又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即，解得：；当直线过点时，直线的斜率为，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为．故选：．二.多项选题：（每小题5分，共20分）9.经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）.A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式并结合经过的点求直线方程.【详解】若截距都为0，则直线为；若截距不为0，令直线为，则，所以直线为；综上，所求直线方程为或.故选：AC10.设直线l过点，且与圆相切，则l的斜率是（）A.－1 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，求直线斜率.【详解】圆的圆心坐标为，半径为1,当直线l斜率不存在时，直线显然与圆不相切.当直线l斜率存在时，设l：，即.又l与圆相切，则圆心到直线距离．解得.故选：BD11.已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为0C.的最大值为 D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，，，，A，B正确；表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，所以最大值为，又，所以的最大值为，C错，因为可化为，故可设，，所以，所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，故选：ABD.12.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A.B.平面C.向量与夹角是60°D.直线与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于，，所以，选项错误；对于，所以，即，，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；对于：向量与的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；对于，所以，，同理，可得，所以，所以选项正确．故选：AC．三.填空题：（每小题5分，共20分）13.已知点，则直线的斜率为2，则______【答案】【解析】分析】根据斜率公式计算即可.【详解】依题意，得，所以.故答案为：14.椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则等于__________【答案】【解析】【分析】利用椭圆的定义可求得的值.【详解】在椭圆中，，由椭圆定义可得.故答案为：.15.若点在圆的内部，则实数的取值范围是______【答案】【解析】【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为点在圆的内部，所以，解得，故答案为：16.已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是__．【答案】【解析】【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，故点M关于直线的对称点的坐标是，故答案为：四.解答题：17.已知直线经过直线与直线的交点.（1）若直线平行于直线，求直线的方程．（2）若直线垂直于直线，求直线的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）联立方程组求出点，由点，且所求直线与直线平行，设所求直线的斜率为，利用点斜式即可求出的方程．（2）由于点，且所求直线与直线垂直，设所求直线的斜率为利用点斜式即可求出的方程．【详解】由，解得，交点的坐标为（1）直线的斜率为又直线l平行于直线，过点的直线的方程为整理得（2）直线、垂直于直线过点的直线的方程为整理得.【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1），，焦点在y轴上；（2）焦距为4，且经过点；（3）经过点，的椭圆标准方程.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出即可求解.（2）分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求解.（3）由题意可以直接得出，且长轴端点在轴上，从而即可求解.【小问1详解】不妨设椭圆的标准方程为，因为，，所以,所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由题意，所以，分以下两种情形来讨论，情形一：若短轴端点为，即，此时焦点在轴上，不妨设椭圆的标准方程为，则，所以椭圆的标准方程为；情形二：若长轴端点为，即，此时焦点在轴上，不妨设椭圆的标准方程为，则，所以椭圆的标准方程为；综上所述，椭圆的标准方程为或.【小问3详解】由题意可得点，分别为椭圆的长轴、短轴端点，所以，所以，且长轴端点在轴上，所以椭圆的标准方程为.19.已知圆过，两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先设圆的一般方程为，结合题意有，解出D，E，F值，代入即可求得圆的一般方程；（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线的斜率不存在时，满足题意；②当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，由点到直线的距离公式求得的值，即可得到直线的方程，再综合在这两种情况即可．【小问1详解】设圆的一般方程为，圆心，根据题意有，解得，故所求圆的一般方程为，【小问2详解】如图所示，，设是线段的中点，则，，又，∴在中，得，当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为．当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，即，由点到直线的距离公式，得，此时直线的方程为．综上，所求直线的方程为或．20.如图所示，平面，点M在以为直径的上，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明和，得证平面，所以平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角余弦值.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又因为为的直径，点M在弧上，所以.因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】如图，以A为原点，所在的直线为y轴，过点A且垂直的直线为x轴，AP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.因为，，所以，，所以是边长为1的等边三角形，所以，又，，，，，设为平面的一个法向量，则，令，得，，.易知是平面的一个法向量，，由图知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21.已知曲线：.（1）当为何值时，曲线表示圆；（2）若曲线与直线交于、两点，且（为坐标原点），求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圆的一般方程所满足的条件列出不等式，解之即可；（2）将转化为，即，然后直线与圆联立，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可.【详解】（1）由，得.（2）设，，由得，即.将直线方程与曲线：联立并消去得，由韦达定理得①，②，又由得；∴.将①、②代入得，满足判别式大于0.22.如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．（1）求点到平面的距离；（2）已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，证明出、、两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；（2）设，，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出