2024届鹰潭市重点中学高一上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届鹰潭市重点中学高一上数学期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.y=tanxC.y=lnx D.y=x|x|2．的值为A. B.C. D.3．已知函数，则A.0 B.1C. D.24．，，则p是q的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．角的终边经过点，则的值为（）A. B.C. D.6．如图：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为A. B.C. D.7．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.8．下列函数中与函数是同一个函数的是（）A. B.C. D.9．函数的图像的一个对称中心是A. B.C. D.10．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.11．“”是“函数为偶函数”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．函数的定义域是____________．（用区间表示）14．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.15．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.16．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则一个回归年对应的天数约为______（精确到0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期______．（）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.18．已经函数(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合19．等腰直角三角形中，，为的中点，正方形与三角形所在的平面互相垂直（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求点到平面的距离20．已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合（1）若集合，写出和集合；（2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值21．已知函数，其中（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为，求的值22．已知.（1）化简；（2）若是第二象限角，且，求的值.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.【详解】，不是奇函数，排除AC；定义域为，而在上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；满足，且在R上为增函数，故D正确.故选：D2、B【解析】.故选B.3、B【解析】,选B.4、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为，，所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分条件故选：B5、D【解析】根据三角函数定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选：D6、B【解析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，∵BO=A1B，∴θ1=30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1=BC，且BB1⊥BC，∴θ2=45°故答案选：B7、D【解析】利用是偶函数判定选项A错误；利用判定选项B错误；利用的定义域判定选项C错误；利用奇偶性的定义证明是奇函数，再通过基本函数的单调性判定的单调性，进而判定选项D正确.【详解】对于A：是偶函数，即选项A错误；对于B：是奇函数，但，所以在区间上不单调递增，即选项B错误；对于C：是奇函数，但的定义域为，，即选项C错误；对于D：因为，，有，即奇函数；因为在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，即选项D正确.故选：D.8、B【解析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：B.9、C【解析】令，得，所以函数的图像的对称中心是，然后赋值即可【详解】因为的图像的对称中心为.由，得，所以函数的图像的对称中心是.令，得.【点睛】本题主要考查正切函数的对称性，属基础题10、D【解析】利用函数的奇偶性得到，再解不等式组即得解.【详解】解：由题得.因为在上单调递减，并且，所以，所以或.故选：D11、A【解析】根据充分必要条件定义判断【详解】时，是偶函数，充分性满足，但时，也是偶函数，必要性不满足应是充分不必要条件故选：A12、C【解析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增.而，，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】函数定义域为故答案为.14、①.1②.4【解析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【详解】画出的图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,,故的取值范围是,故的最小值是1.又由图可知,,,故,故.故.又当时,.当时,,故.又在时为减函数,故当时取最大值.故答案为：(1).1(2).4【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.15、【解析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的的大小关系，即可列式求解.【详解】因为分段函数在上单调递减，所以每段都单调递减，即，并且在分界点处需满足，即，解得：.故答案为：16、①.365.25②.四【解析】（1）利用周期公式求出一个回归年对应的天数；（2）先计算出4个回归年经过的天数，再根据周期即可求解.【详解】因为周期，所以一个回归年对应的天数约为365.25；一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为.因为，且该年春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四.故答案为：365.25；四.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）不是，理由见解析；（2）；（3）或.【解析】(1)假定函数是“自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.【小问1详解】假定函数是“自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，所以函数不“自均值函数”.【小问2详解】依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，当时，而，则，若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，于是得，，要在的值域包含，则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，所以的取值范围是.【小问3详解】依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，当时，在单调递增，在的值域是，由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，当时，函数的对称轴为，当，即时，在单调递增，在的值域是，由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，当，即时，，，，，由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；综上得：或，所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.18、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值，对应的x的集合为.【解析】（Ⅰ）由二倍角公式降幂后，用诱导公式化正弦函数，再由图象平移得结论；（Ⅱ）利用两角和的余弦公式化函数为一个角的余弦型函数，利用余弦函数的性质得最值【详解】解：（Ⅰ），所以要得到的图象只需要把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可.（Ⅱ）.当2x+=2k＋时，h（x）取得最小值.取得最小值时，对应的x的集合为.19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）连,交于,连,由中位线定理即可证明平面.（Ⅱ）根据,由等体积法即可求得点到平面的距离.【详解】（Ⅰ）连,设交于,连,如下图所示:因为为的中点,为的中点,则面,不在面内，所以平面（Ⅱ）因为等腰直角三角形中,则,又因为所以平面则设点到平面的距离为.注意到，由,代入可得：，解得.即点到平面的距离为.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于中等题.20、（1），；（2）①有，理由见解析；②的最小值为，所有可能取值是、、、、.【解析】（1）根据题中定义可写出与；（2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论；（ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解.【小问1详解】解：由题中定义可得，.【小问2详解】解：（ⅰ）集合具有性质，理由如下：因为，所以当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；综上可得，集合具有性质；（ⅱ）设集合，不妨设因为为正整数，所以，因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且，所以．所以因为存在使得，所以此时中不能包含元素及、、、且，所以，所以若，则、、，而，所以不存在，使得，所以若，则、、，而，所以不存在，使得，所以同理可知，，若，则，所以当时，若，则取，可知不存在，使得，所以，解得又因为，所以经检验，当、、、、时，集合符合题意所以最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解.21、（1）；（2）