浅谈定积分在生活中的应用

论文题目：浅谈定积分在生活中的应用内容摘要定积分是数学分析中一个非常关键的部分，并且和实际问题的联系非常紧密。定积分作为高等数学中的一个重难点，其应用价值十分广泛，尤其是在关系社会的经济学、管理学、工程制造等方面具有较高的应用频率，所以说我们十分有必要更为深入地了解这部分内容，让数学能够发挥出其价值，让问题能够得到解决。关键词：数学分析、定积分、应用一、引言我们想要研究定积分，首先要知道其历史来历。最早的时候其实之所以提出这样的一个概念是希望能够解决计算图形体积或者面积，特别经典的“穷竭法”和“割圆术”就是最开始的雏形，奠定了定积分思想的由来。不过正式提出是在十七世纪的时候，莱布尼茨和牛顿两位伟大的科学家希望能够通过这样的办法解决科研中的数学问题。而且看到了积分、微分两部分是有联系的，并且是密不可分的，同时还给出计算办法。定积分作为高等数学中的一个重难点，其应用价值十分广泛，尤其是在关系社会的经济学、管理学、工程制造等方面具有较高的应用频率，其价值是不容小觑的。希望我的这篇文章能够对于学习、使用定积分的人有一定的帮助。二、定积分的相关概念（一）发展的历史过程整体来看我们把其历史分成下面的几个阶段，每个阶段都有其典型特征。1.准备阶段：十四世纪之前，其实基本上数学并没有特别突出的表现。等到欧洲出现了资本主义的时候，数学才开始萌芽生长，有更多的人开始投入到这个领域当中。可以看到十六世纪，其实积分思想的发展就是希望能够解决求积问题，第一点是想要求面积，特别是曲面围成的图形；第二点就是希望能够计算静力学当中液体压力和物体重心。2.创立阶段：这是一个非常关键的时期，在十八世纪这段时间当中，大师频出，其思想震铄古今，伯努利、克雷尔、欧拉、马克劳林、拉格朗日、达朗贝尔等等都是数学史上永远不会忘记的数学大家。正是因为这些人努力和工作，所以定积分有了更为广泛地推广和发展，比如说多重积分、微分方程、无穷级数等等都得到了一定的发展。不过这个阶段存在一个非常重要的问题，就是没有找到这一领域的逻辑基础。3.完成阶段：其实1900到1920年这个阶段，我们还是没有彻底解决十八世纪遗留下来的这个问题。比如说没有建立完善微积分概念，什么叫无穷小，什么叫无穷大，什么叫导数，什么叫微分，这些现在我们非常常见的概念当时还没有得到学术界的统一认可。不过在后面几十年的时间中，经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力，基本上建立了微积分领域理论基础，通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义。魏尔斯特拉斯将柯西关于极限的定性描述，改成定量刻画，即“”语言。完成了分析算术化的工作。（二）基本内容定义1设函数f（x）在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<...<xn-1<xn=b把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，[xn-1，xn]，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点（xi-1≤≤xi），作函数值与小区间长度的乘积。并作出和，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数在区间[a,b]上的定积分，记作.即：性质（1）：函数的和（差）得定积分等于它们的定积分的和（差），即：；

性质（2）：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即：

性质（3）：如果在区间[a,b]上，f（x）≤g（x），则≤（a<b）

性质（4）：设M及m分别是函数f（x）在区间[a,b]上的最大值及最小值，则m（b-a）≤≤M（b-a）三、定积分在生活中的简单应用（一）定积分在经济管理中的应用1.利用定积分求消费者剩余与生产者剩余消费者剩余是指消费者消费一定数量的某种商品愿意支付的最高价格与这些商品的实际市场价格之间的差额。一般认为，消费者剩余达到最大的条件是边际效用等于边际支出。生产者剩余（producersurplus）等于厂商生产一种产品的总利润加上补偿给要素所有者超出或低于他们所要求的最小收益的数量。从几何的角度看，它等于供给曲线之上和市场价格之下的那块三角形面积。计算公式如下：消费者剩余=买者愿意支付的最高价格一买者的实际支付价格；生产者剩余=卖者得到的收入一卖者的实际成本。基本上市场规律告诉我们，比较低价的东西通常会有更多需求，而价格相对比较高的东西会有比较少的需求量。所以说需求量是随着价格的增加而减少的。用Q=f（P）表示。而且市场规律告诉我们，因为某些东西相对来说是低价的，因为缺乏赚钱的空间，那么生产量其实就会减少，这样的话其实市场上这种东西就会减少供给量。如果说一个东西的价格相对来说是高的，那么就表示存在盈利空间，所以会有更多的厂家在这部分投入资金，导致产出更多东西。所以说供给量是随着价格的增加而增加的。用Q=g（P）表示。由于两个函数其实都是单调函数，所以说P=和P=存在。假设消费者以较高价格P=购买某商品并情愿支付，Q*为均衡商品量，则在[Q,Q+]内消费者消费量近似为,故消费者的总消费量为,它是需求曲线P=在与Q*之间的曲边梯形OQ*的面积，如图要是说商品售价是P*，也就是说均衡价格的haul，其实能够看到销售量应该是P*Q*。所以我们能够知道消费者剩余应该表示为它是曲边三角形的面积。要是说生产者想要的售价是P*，不是的话，我们把多赚的钱叫做生产者剩余。同理分析可知：其实生产者的收入是P*Q*，是计划收入，所以说我们也能够通过下面的式子表示生产者剩余。它是曲边三角形的面积。2.利用定积分由变化率求总量问题傲视我们想要计算某范围里面一个函数的变化量，其实也能够通过定积分的办法。我们现在知道一个产品产量变化率能够表示为（件/天），请你计算出这样东西第五天到第十天产量是多少。解所求的总产量为（件）3.利用定积分求经济函数的最大值和最小值首先我们简单了解一个最大值和最小值。其实顾名思义也很容易理解，这两个就是说明确限定条件的时候能够取到的最大值和最小值。现在我们有一个函数，C=100+2x表示的是生产产品x个的时候要花费的边际成本是多少这里面元是固定成本，单价是500元。请问要是说只要产品生产出来了就能够卖出去，那么请你计算利润最大的时候的生产量?，并求出最大利润。解：总成本函数为=总收益函数为R（x）=500x总利润函数为L（x）=R（x）-C（x）==400-2x令=0，得x=200因为（200）<0所以，我们能够知道生产量为200单位时，我们能够让利润最大。而且这个时候最大利润为L（200）=400200--1000=39000（元）。4.利用定积分计算资本现值首先我们简单了解一下什么是现值，其实这个是在说资金折算后是多少。比较通俗的说法是不同年份，等值的钱价值是不一样的，比如十年前的一百元和现在的一百元其购买力绝对不等价。为了能够表示这种不等价，并且进行细致刻画，所以我们提出了贴现值的概念。这个的计算发其实和利率很相似。比如我们简单来看一个例子，5%的贴现率，现在一个人手中有100块钱，那么过了一年后想要和这100块钱等价的话必须要105元。现在我们手里有95.24元的话，其实这95.24元的购买力和一年后的100元是一样的。例1：要是说某次交易收入率是f（t），连续收益利率是r，这样的话我们就知道总的钱数是y=。我们投资企业一定量的钱，比如说是A,那么预测其T年时间里面每年的收入是a元，并且这个时间段内每年收入一样，要是r是年利润的话，请你计算：（1）该投资的纯收入贴现值；（2）收回该笔投资的时间为多少?解：（1）求投资纯收入的贴现值：由于我们知道收入率其实就是a,而且r是年利润,那么我们就知道进行T年投资，我们能够拿到的总的钱数是Y=从而投资所获得的纯收入的贴现值为（2）求收回投资的时间：这个就是说收入和投资是相等的。因为，所以我们有T=。即收回投资的时间为T=例如，若对某企业投资A=800（万元），年利率为5%，设在20年中的均匀收入率为a=200（万元/年），则有投资回收期为=（年）由此可知，该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元，投资回收期约为4.46年。例2：现在有一个项目需要投资，这个项目总投资需要是10000万人民币，投资年利率能够达到5%的程度，这样我们知道每年大概收入能够达到2000万人民币，请你计算如果说投资时长不限的话，纯收入贴现值是多少？解：我们通过上面的题目能够看到收入能够达到a=2000万人民币，年利率能够达到r=5%的程度，所以我们可以通过下面的步骤来进行计算。=====40000（万元）这样的话我们就得到了我们想要的答案，也就是说如果投资没有时间限制，可以看作是无限时，那么纯收入最后为R=y-A，也就是3亿人民币。例3：现在有很多的夫妇为孩子储备教育基金，现阶段银行存利率能够达到5%的程度，我们的计算方法选择的是连续复利法，那么要是这对夫妇想要能够在十年后拿到5万人民币的话，请问他们每年要存多少钱，我们假设他们每年存入的钱数都是一样的。解：设他们每年要存的钱数是A元，他们每年存入的钱数都是一样的。这对夫妇想要能够在十年后拿到5万人民币，这样的话我们就有又得（元）。也就是说他们每年都应该像银行存人民币4517元，这样的话他们才能够在十年后拿到5万人民币的教育基金。（二）定积分在物理中的应用1.求物体的转动惯量定义：质量为m的质点关于轴的转动惯量为设均匀圆盘，质量是M，半径是R。（1）请你计算圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量。（2）请你计算圆盘对直径所在轴的转动惯量。解：（1）完成上图中坐标系的构造，圆盘单位面积质量是.对应于小圆环对轴的转动惯量为分割：求和：（2）我们把轴作为是旋转轴，完成上图中坐标系的构建。细条的关于轴转动惯量为故圆盘对轴的转动惯量为2.交流电的平均功率例：设交流电，其中是电流最大值，周期为，电阻为，求交流电的平均功率。解：3.求弹簧的弹性势能我们首先来看“弹性势能”到底是什么。其实就是说那些物体如果有弹性形变不同部分因为存在弹力，所以会导致相互作用，从而能够通过这些作用产生势能。可以看到要是说弹性势能是会因为形变程度的加深而变大的。当距离平和位置为时，弹性恢复力.任取一小区间，回复力在上面做的功所以从平衡位置到位置，回复力所做的功回复力属于内力，由机械能守恒得弹性势能（三）定积分在桥梁工程计量中的应用1.定积分测算土木工程实例中的不规则构造物：我们想要在某一个高速公路出改一个盖板通道进口八字墙。盖板和线路的夹角是45度的，材料选择的是M7.5浆砌片石。那么我们想要能够更好地通过微积分去进行工程量计算的话，我们把墙身进行适当分割。计算A部分工程量：过点同时和轴垂直的截面其实也是梯形，我们能够通过下面的式子完成面积计算。可以看到A部分能够在0米到0.4米这样的范围内变化其高度。A部分工程量为：计算B部分工程量：我们希望能够尽可能减少运算量，所以说改变一下坐标系位置，把处变成坐标原点。那么过点同时和轴垂直的截面其实也是梯形，我们能够通过下面的式子完成面积计算。可以看到B部分能够在0米到4.39米这样的范围内变化其高度。B部分工程量为：2.定积分测算桥墩我们现在来看一个具体的例子就是青岛高铁，铁路桥墩当中，圆端型的是比较重用的。这种类型的桥墩截面是矩形两端各接一个半圆，同时从下到上存在坡度。轴过点且垂直于轴的截面就是矩形，各接一个半圆，其面积为：可以看到桥墩能够在0米到12米这样的范围内变化其高顿，具体来看工程量的话，我们可以通过下面的式子得出。四、总结我的这篇文章是希望能够结合例子展示定积分的应用。定积分是以极限作为基础的重要的计算方法，它能较好地发展学生的数学能力，培养学生严谨的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。所以我们非常有必要深入研究这部分内容。首先我先简要叙述了一些概念和理论知识，特别是简要阐述了一下定积分的发展历史，这样的话我们能够对于定积分有更多的认识。然后进一步分析了实际生活中里面到底有哪些地方能够应用定积分。再展示了一些实际的例子，比如说桥梁，比如说经济问题等，从而让我们有更为深刻地理解。定积分作为高等数学中的一个重难点，其应用价值十分广泛，尤其是在关系社会的经济学、管理学、工程制造等方面具有较高的应用频率，其价值是不容小觑的。希望通过这篇文章能够让更多的人对于定积分这部分内容有所认识，有所了解。参考文献：[1]英鹏程，徐松岩.定积分在桥梁工程计量中的应用