11.1 余弦定理解析版

11.1余弦定理【考点梳理】考点一余弦定理在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC推论cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考点二余弦定理可以用于两类解三角形问题1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.考点三解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【题型归纳】题型一：余弦定理解三角形1．在中，若，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意由余弦定理直接求得答案.【详解】在中，若，，,则,即，即，解得，舍去，故选：A2．在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值.【详解】由余弦定理可得，，故.故选：A.3．在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理即可求解.【详解】解：因为，所以由余弦定理可得，因为，所以，故选：D.题型二：余弦定理边角互化判断三角形的形状4．在中，（分别为角的对边），则一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据二倍角公式将已知条件变形，然后利用余弦定理进行边角转化进行判断.【详解】∵，∴，即，根据余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，为直角三角形.故选：B5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理，转化，结合即得解【详解】由题意，结合余弦定理又故选：B6．在中，角，，的对边分别是，，，已知，则的形状是（

）．A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【分析】已知等式左边利用二倍角余弦公式化简，整理后利用余弦定理表示出，可得，最后利用勾股定理的逆定理即可求解．【详解】解：，，即，又，，整理得，所以为直角三角形．故选：C.题型三：余弦定理的综合应用问题7．在中，已知，，．(1)求的值；(2)若点在边上，且，求的长．【答案】(1)(2)5【分析】（1）利用余弦定理求解即可.（2）首先根据余弦定理得到，再利用余弦定理求解的长即可.【详解】（1）（2）如图所示：因为，，所以.所以8．已知的三内角A,B,C所对的边分别为，且(1)求角C﹔(2)若，,求的值；【答案】(1)(2)【分析】(1)角化边化简可得即可求解;(2)利用余弦定理结合已知条件即可求解.【详解】（1）由得,因为,所以,因为,所以,因为,所以.（2）由余弦定理得，所以，因为，所以，所以，解得.9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，．(1)求的值；(2)若，求b的值．【答案】(1)##0.75(2)【分析】在第1问中，由和对原式化简即可.在第2问中，由面积公式可求，进而根据条件可求出.【详解】（1）在中，由三角形的面积公式得，由余弦定理得：．因为，所以，整理可得．又，所以，故，所以．（2），且，．，，解得．因为，所以．、【双基达标】一、单选题10．中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【分析】利用余弦定理求出的值即可求解.【详解】因为在中，，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以满足条件的三角形的个数有2个，故选：.11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝（）A． B．C．4 D．【答案】A【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】∵A＝60°，b＝2，c＝3，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋9－2×2×3×＝7，∴a＝．故选：A12．在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】因为，所以由余弦定理得，又，则．故选：B.13．在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.【详解】由题知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形状为直角三角形，故选：A14．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由格点构造直角三角形，由圆周角定理以及直角三角形的边角关系可得答案.【详解】连接和，如图所示：∵为直径，，又有点，，，都在圆上，所以，在中，，则，故选：B.15．（1）在中，已知，求的值；（2）在中，已知，解这个三角形．【答案】（1）；（2）答案见解析【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）弦利用余弦定理求出边，再利用余弦定理求出角，从而可得角.【详解】（1）因为，所以，所以；（2）因为，所以，即，解得或，当时，则，所以；当时，由余弦定理得，所以，综上所述，或.16．在中，有.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】（1）解：由题意可得，，故.（2）解：由三角形的面积公式可得.因此，的面积为.【高分突破】一、单选题17．在中，为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】在中，由余弦定理得,在中，由余弦定理得,所以，故选:C.18．△ABC中，若a2=b2+c2+bc，则∠A=（

）A．60° B．45° C．120° D．30°【答案】C【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】根据余弦定理，因为，所以.故选：C19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】利用余弦定理求解.【详解】解：因为，所以，又，所以．故选：B20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形.【详解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴该三角形是直角三角形.故选：A21．在ABC中，，，a，b是方程的两个根，且，则边AB的长为（

）A．10 B． C． D．5【答案】B【分析】由题意，，结合余弦定理和韦达定理，可得解【详解】由题意得∵，∴，∴.故选：B二、多选题(共0分)22．已知中，内角所对的边分别为，且，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答.【详解】在中，，由余弦定理得：，即，解得或，所以的值可能是1或2.故选：AD23．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（

）A．在中，若，则C是锐角B．在中，若，则C．在中，若，则一定是直角三角形D．任何三角形的三边之比不可能是【答案】ACD【分析】根据余弦定理，通过判别角余弦的正负，可得选项A，B的正误，根据三角形的内角的取值范围和余弦值，可得C的正误，根据三角形的三边关系，可得D的正误.【详解】对于A，由及余弦定理可得，又，所以，所以C是锐角，故A正确；对于B，由及余弦定理可得，又，所以，所以A是锐角，所以，故B错误；对于C，因为，所以，所以，则，所以一定是直角三角形，故C正确；对于D，若三角形三边之比是，不妨设三边分别为，则两短边之和为，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是，故D正确．故选：ACD．24．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或，故选：BD.25．在中，、、分别为角、、的对边，已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求出的值，可判断AB选项的正误；利用三角形面积公式可判断C选项的正误；利用余弦定理可判断D选项的正误.【详解】由及正弦定理可得，即，、，则，故，所以，，由可知且，即且，，则，由余弦定理可得，故，由，解得或，显然满足且，所以，ACD选项正确，B选项错误.故选：ACD.26．如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（

）．A． B．C． D．与夹角的余弦值为【答案】AC【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B，根据三点共线的性质，结合可得，进而得到判断即可；对C，根据余弦定理可得，再根据B中两边平方化简求解即可；对D，在中根据余弦定理求解即可【详解】对A，，故A正确；对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确；对D，在中，，，故，故D错误；故选：AC三、填空题(共0分)27．在中，角所对边分别为．若，则______．【答案】【分析】利用余弦定理求解.【详解】由余弦定理得，解得故答案为:.28．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．【答案】【分析】利用余弦定理列方程求解.【详解】由余弦定理得即，解得（舍），故答案为:.29．任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：的三边是，它们所对的角分别是，则有，，．请利用上述知识解答下面的题：在中，若，则______．【答案】【分析】由题可得，计算即可.【详解】由题得，，由第一余弦定理知，所以，所以，又C为三角形的内角解得，故答案为：30．在中，角，，所对的边为，，，且，，，则的值等于__________．【答案】【分析】利用数量积的定义和余弦定理结合已知条件可求得结果.【详解】因为，，，所以，故答案为：.31．已知是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是_________．（结果用区间表示）【答案】（5，7）【分析】由题意可得为钝角，由余弦定理结合即可求解.【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因为，所以，所以最大边的取值范围是：，故答案为：.32．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.设，则ABC三边a，b，c的长度分别为___________.【答案】1，，2或2，，1【分析】由数量积的定义结合可得，再由余弦定理可得，分析即得解【详解】由得∴，故.由得，将代入，得，∴，或，，∴三边a，b，c的长度分别为1，，2或2，，1.故答案为：1，，2或2，，1四、解答题(共0分)33．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)8(2)【分析】（1）根据数量积的定义得到，即可求出、，再由余弦定理计算可得；（2）由余弦定理求出，即可求出，再由两角差的正弦公式计算可得.【详解】（1）解：∵，，∴，由，解得或（舍去），∴，∴.（2）解：由余弦定理可得，∴，∴.34．在中，角、、的对边分别为、、．已知的周长为，且．(1)求的长；(2)若的面积为，求角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的周长公式以及已知条件可得出关于的等式，即可解得的值；（2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值.【详解】（1）解：由已知可得，解得.（2）解：因为，所以，从而，因为，因此，.35．已知锐角的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求；(2)若，求AD的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，求得边长，进而求得答案；（