数学分析对中学数学指导作用

榆林学院本科毕业论文PAGEIIPAGEIII分类号O171单位代码密级学号学生毕业论文题目数学分析对中学数学的指导作用作者院(系)数学系专业数学与应用数学指导教师答辩日期2014年5月4日摘要数学是研究空间形式和数量关系的科学．随着数学改革的不断进行与发展，中学数学所涉及的数学分析方面的知识在高考中所占得比例越来越大．本文通过探讨数学分析与中学数学的关系，着重论述数学分析在中学数学函数、几何、代数等方面的应用，以大量详实的习题、范例为依据，分析不同方法的解题效果，从而说明数学分析对中学数学的指导意义和作用．关键词：数学分析；中学数学；数学思想；数学方法ABSTRCTMathematicsisthestudyofspaceformandquantityrelationship．Withtheongoingdevelopmentofmathematicsreform，theproportionofthemathematicalanalysisknowledgeincludedmiddleschoolmathintheuniversityentranceexamisbecomingincreasinglarger．Bydiscussingtherelationshipbetweenmathematicalanalysiswiththemiddleschoolmathematics，thisthesisfocusesontheapplicationofmathematicalanalysisinfunctions，geometry，algebrainmiddleschoolmathematics．Atthesametimewithalargenumberofdetailedexamples，asthebasisandanalysisofeffectofdifferentmethodsofproblemsolving，theguidingsignificanceandfunctionofmathematicalanalysistomiddleschoolmathematicsisillustrated．Keywords:Mathematicalanalysis;Middleschoolmathematics;Mathematicalthinking;Mathematicalmethods目录摘要 IABSTRCT II目录 III1引言 12中学数学与数学分析的关系 22.1中学数学 22.2数学分析 22.3中学数学与数学分析的关系 22.4数学分析在中学数学中的指导作用 33数学分析在中学数学中的应用 43.1函数方面应用 43.1.1函数单调性和极限 43.1.2解三角函数 53.1.3函数极值和最值 73.2几何方面应用 83.2.1曲边图形的面积、体积、弧长 83.2.2切线方程和相交问题 103.3代数方面的应用 123.3.1证明代数式 123.3.2解不等式 143.3.3解方程和证明恒等式 164高考中有关问题的解决 185小结 22参考文献 23致谢 24数学分析对中学数学的指导作用榆林学院本科毕业论文PAGE2PAGE231引言数学分析在中学数学解题中所发挥的重大作用，越来越受到老师和学生的关注．通过大学数学分析的学习与深入，我们了解到数学分析在中学数学中具有非常重要的指导意义．在数学高速发展时期，数学分析的思想方法在中学数学的教与学的过程中占有举足轻重的地位．因此，本文通过具体实例说明数学分析对中学数学具有切实的指导意义和指导作用．从而为学生找到一种简便易行的方法去解决中学数学的一些问题，让大家更加深入的了解数学分析的重要作用．2中学数学与数学分析的关系2.1中学数学中学时期我们所学的数学主要是常量数学，其次也包括变量数学的一些初步知识．中学数学一般可以分为两个层次：表层知识和深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指的是数学思想和数学方法．它的教学内容大致可分为代数、几何、微积分、概率统计、算法等几个部分．中学数学的学习方法，除了有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象、概括等理论方法外，还有逻辑推理、证明方法、以及化归、递推、等价转化、推广与限定等数学思想方法．2.2数学分析数学分析主要是以变量及变量之间的函数依赖关系作为研究对象的，并以微积分学和无穷级数为主要内容，是一个较为完整的数学学科．数学分析除了体现其严密的逻辑体系外，也反映了现代代数学的发展趋势，它吸收和采用现代数学的思想观点与处理方法，提高学生的数学修养，培养学生的数学能力．数学分析的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续、可微及可积等各种特性．了解这些特性，有助于我们对物理世界的研究及对自然界规律的发现，从而更好的去改造我们的生活，也为未来的发展奠定基础．2.3中学数学与数学分析的关系数学分析是初等数学发展到一定阶段的必然产物，数学分析的形成扎根于初等数学基础之上．它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等都是在初等数学有关问题的基础上发展而来的．导数是在用代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展成为用极限方法求曲线上某点的切线斜率而形成的，积分是在用代数运算求直线所围成的平面图形面积的基础上发展成为用极限方法求曲线所围成的面积而形成的，无穷级数求和则是在用代数运算求有限项之和的基础上发展成为求无限项之和而形成的．从这些新概念的发展过程看都是为了解决初等代数、初等几何不能解决的问题，由此可以看出，数学分析是在实践中为了解决初等数学不能解决的问题而长期逐步发展起来的，从数学分析和中学数学的内容来看二者也是紧密联系的．2.4数学分析在中学数学中的指导作用数学分析讲求的是一种严密的数学逻辑性思维，解题具有很强的技巧性与灵活性．数学分析思想对于提高个人的判断和处事能力有很好的帮助，它是对数学及其研究对象以及各种数学概念、定理、法则、范例、数学方法等的根本性认识．数学分析对于中学数学的教学和学习有着很好的指导作用．在中学数学教学中，数学分析思想方法有以下几个指导作用：首先，可以有效地帮助学生形成正确的数学观念和优秀的数学精神，是落实素质教育的有效途径；其次，可以提高教师的教学质量和教学水平，恰当地把握中学数学教学要求的程度；最后，数学分析中的知识和方法可以用来检验学习初等数学所犯的某些错误，对学生的发展也有很大的帮助．3数学分析在中学数学中的应用3.1函数方面应用函数是中学数学很重要的教学内容，求函数的极值、极限、最值等很多知识都要用到数学分析方面的知识．3.1.1函数单调性和极限例1已知，求函数的单调性．解，=，所以，当时，此时函数在上单调递减；当时，此时函数在和上单调递增．例2已知函数在上是减函数，求的取值范围．解，因为在上是减函数，所以在上恒成立，所以且，即且．所以．例3已知数列，都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且，．设，为数列的前n项和，求极限．解，下面分两种情况讨论求值:（1）当时，由已知得，，故．则（2）当时，由已知得．则．3.1.2解三角函数例1已知函数，求的值．解因为对，有，所以（为常数）为了确定的值，令，有．即．例2已知函数．求：（1）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；（2）函数单调递增区间．解（1）方法一因为，所以当，即时，取得最大值．因此取得最大值的自变量的集合是．方法二因为=所以当，即时，取得最大值，因此取得最大值的自变量的集合是．（2）方法一，由题意得即那么函数单调递增区间为．方法二，故求函数单调递增区间，即只需，故有，则有因此函数单调递增区间为．3.1.3函数极值和最值例1已知在时取得极值，且．（1）试求常数、、的值；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解（1），因为是函数的极值点，所以是方程，即的根，即有将上面三式联立求得．（2）因为，所以．而又当时，；当时，．所以函数在和上是增函数，在上是减数．所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值．注1利用导数这一工具，我们很容易解决了一元三次函数的极值问题．例2已知函数，，求函数在的上的最小值．解，．（1）当时，在上恒成立，那么在上单调递增．所以的最小值为．（2）当时，若，;若恒成立．因为在上单调递增，所以在时，取得最小值．（3）当时，令，得，且在上，；在上，．因为在上单调递减，在上单调递增．所以在处取得最小值，且．综上所述，当时，在上的最小值为;当时，在上的最小值为．3.2几何方面应用中学数学课本只是简单的给出了我们一些基本的几何公式、定理，而没有给出具体的证明过程，数学分析为此提供了理论依据和证明方法，能让学生对这些知识更加深入的理解和记忆．3.2.1曲边图形的面积、体积、弧长1由连续曲线，以及直线和轴所围曲边梯形的面积为：，如果在上不都是非负的，则．2由两条连续曲线与以及两直线与所围成图形的面积为：．3设是上的连续函数，是由平面图形绕轴一周所得旋转体，易知截面面积函数为．则旋转体的体积为：．4设平面曲线由参数方程，构成，若为一光滑曲线且可求长，则的弧长为．5设平面光滑曲线的方程为，（不妨设）．则这段曲线绕旋转一周得到旋转曲面的面积为：．例1求由椭球面所围立体（椭球）的体积．解以平面截椭球面，得椭圆（它在平面上的正投影）：所以截面面积函数为：于是求得椭球体积为：．于是显然当时，这时等于球的体积．例2已知函数，求两函数在区间上所围成的不规则图形的面积．解如果用不规则图形算还要进行分割求和很麻烦，但我们可以用积分的形算就很快得出结论：．例3求与所围成的图形的面积．解先求其交点的横坐标，解方程组，得，，在内由，所以．例4求曲线由到的弧长．解用公式，且曲线关于轴对称，故有曲线在区间内的弧长为：．例5求曲线绕轴旋转所得曲面的面积．解用公式，所以．3.2.2切线方程和相交问题例1求双曲线的渐近线方程．解双曲线方程可化为，渐近线的斜率为：，在轴上的截距：，故所求渐进线方程为．例2已知曲线：及点，求过点的曲线的切线方程．解设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜又，所以①因为点在曲线上，所以②将②代入①得化简得所以或．若则过点的切线方程为；若则，过点的切线方程为．例3双曲线与抛物线，相交，求的取值范围．解与相交等价于方程组有实数解，联立可得，解出，将视为的函数，利用导数易知当时，此函数为增函数，故，由此可受到启发，寻求到该题的初等解法，即通过配方法，易见时此函数为增函数，故所以的取值范围为．3.3代数方面的应用代数是中学数学的基础，学好数学首先要学好代数，数学分析为中学代数中的一些问题提供了解题方法和思路，中学代数方面的问题用数学分析的知识往往会使解题更加简单明了．3.3.1证明代数式例1设，都是正数，且，判断代数式的正负．解判断．由知:=．由施瓦兹不等式知:==9．故而，因此为正．例2已知其中．求证：，并指出与的大小关系．证明法一=．令，则，故当时，因此函数在定义域内为单调递增函数．则有，因此有，因此．法二=．ABCDMN当时恒大于零，故，因此ABCDMN例3已知矩形纸片中，，，将矩形P纸片的右下角折起，使该角的顶点落在矩形的边上，且折痕P的两端点，、分别位于边、上，设．（1）试将表示成的函数；（2）求的最小值．解（1）如图所示，则=，．由题设得+=6，从而得．（2）设，则有，即，．，令，得．当时，；当时，．所以当时，．那么．3.3.2解不等式例1解不等式．解原不等式的定义域为，令，那么的两个根为．由此可分为三个区间：，，取，可得：，从而原不等式的解集为．这是一个解不等式的问题，若采用中学数学的常规方法，就是两边同时开方，当这样做很可能导致开平方后，要进行讨论，所以比较复杂．而上述先把不等式转化成方程，然后构造一个函数，再利用数学分析中介质性定理来确定区间，就很容易解决了．例2设，并且．为常数．求证：．证明因为，所以，即．上述两边令，根据重要极限，则．例3已知，求证．证明令，．由在上满足拉格朗日中值定理，故使，即．由知，那么．再由知．得证．例4如果都是正数，那么．证明设则，令，在内，求得驻点．所以当函数在处有极小值，极小值是．由于在区间内的连续函数只有一个极值点，因此极小值就是它的最小值，于是对于上的任何值恒有，取，得．所以．3.3.3解方程和证明恒等式例1解方程．分析此题若按三次方程的求解相当困难，若将“”看做“未知数”，看作常数，则是一个关于“”的“一元二次方程”．解原方程整理为，判别式，故方程有两个根．根据二次方程解得求根公式，故原方程的解为．若将本题中的换成字母则可将方程看作由与两个“变量”所确定的隐函数，求是将表示为的函数，自然也可将表示为的函数从而很容易解决本题这是非常好的一种解题思路从中学数学的角度看，本题可以看作是函数与反函数的应用．例2证明：．证明法一令．=．即为一个常数．取特值令，则．故有，即．法二======．则得证．例3已知，求证．证明当是，由知（待定常数）．令，则，．4高考中有关问题的解决例1（2006陕西卷）设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的极小值大于，求的取值范围．解（1）函数，故当时，导函数为，所以的单调增区间为；单调减区间为．当时，．令，解得或．当变化时，的变化情况如下表：0+0-0+增函数极大值减函数极小值增函数所以函数的单调增区间为，；单调减区间为．（2）当时，函数不存在极小值；当时，由上题知在取极小值，即，由条件，所以的取值范围为．例2设，点是函数和的图像的一个公共点，两函数的图像在点处有相同的切线．（1）用表示；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围．解（1）因为函数和的图像都经过，所以，，即，，因为，所以，．又因为函数和的在处有相同的切线，所以．而，所以．将代入上式得，因此有故．(2)，．因为函数在（-1，3）上单调递减，且是开口向上的抛物线，所以即解得或．所以的取值范围是．例3（2006年福建文）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间的最大值是12．(1)求的解析式；(2)是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实根？若存在，求出所有的值；若不存在说明理由．解（1）因为是二次函数，且的解集是，可设而函数在区间的最大值是．由已知得故．所以．（2）方程等价于方程，设，则．当时，是减函数；当时，是增函数．因为，所以方程在区间内分别有唯一实根，而在区间，内没有实数根．所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个实数根．例4（2007福建卷）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要、求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米．(1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．解（1）设米，，则．因为，所以，又因为．故有，即．则得到．故或．（2）．当且仅当时等号成立．（3）因为．令