多元函数的偏导数和全微分

6．2多元函数的偏导数和全微分6．2．1偏导数的概念与计算1．偏导数定义对于二元函数SKIPIF1<0，如果只有自变量x变化而自变量y固定这时它就是x的一元函数这函数对x的导数就称为二元函数SKIPIF1<0对于x的偏导数。定义：设函数SKIPIF1<0在点(x0y0)的某一邻域内有定义当y固定在y0而x在x0处有增量x时相应地函数有增量SKIPIF1<0如果极限SKIPIF1<0存在则称此极限为函数SKIPIF1<0在点(x0y0)处对x的偏导数记作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。即：SKIPIF1<0类似地，函数SKIPIF1<0在点(x0y0)处对y的偏导数定义为：SKIPIF1<0记作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏导函数：如果函数SKIPIF1<0在区域D内每一点SKIPIF1<0处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、y的函数它就称为函数SKIPIF1<0对自变量SKIPIF1<0的偏导函数记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏导函数的定义式：SKIPIF1<0类似地可定义函数SKIPIF1<0对y的偏导函数记为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏导函数的定义式：SKIPIF1<02．偏导数的计算求SKIPIF1<0时只要把y暂时看作常量而对x求导数；求SKIPIF1<0时只要把x暂时看作常量而对y求导数。讨论：下列求偏导数的方法是否正确？SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为SKIPIF1<0其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1求zx23xyy2在点(12)处的偏导数解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2求zx2sin2y的偏导数。解SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。例3设SKIPIF1<0求证SKIPIF1<0证SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4求SKIPIF1<0的偏导数。解SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)求证SKIPIF1<0证因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商。3．偏导数的几何意义一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率，那么二元函数的偏导在几何上表示什么呢？我们知道，二元函数SKIPIF1<0在空间中表示一曲面，在SKIPIF1<0处对SKIPIF1<0求偏导时把SKIPIF1<0看成常量，这时SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一元函数，所以SKIPIF1<0表示曲面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线在SKIPIF1<0处沿SKIPIF1<0轴正向的切线斜率(如图)．同理，SKIPIF1<0表示曲面在该点处沿SKIPIF1<0轴正向的切线斜率．4．偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如SKIPIF1<0在点(00)有fx(00)0fy(00)0但函数在点(00)并不连续提示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时有SKIPIF1<0当点P(xy)沿直线ykx趋于点(00)时有SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0不存在故函数f(xy)在(00)处不连续6．2．2全微分1．全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有偏增量与偏微分：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数对x的偏增量SKIPIF1<0fx(xy)x为函数对x的偏微分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数)对y的偏增量，SKIPIF1<0为函数对y的偏微分。全增量：SKIPIF1<0计算全增量比较复杂我们希望用x、y的线性函数来近似代替之定义如果函数zf(xy)在点(xy)的全增量SKIPIF1<0可表示为SKIPIF1<0其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关则称函数zf(xy)在点(xy)可微分而称AxBy为函数zf(xy)在点(xy)的全微分记作dz即SKIPIF1<0如果函数在区域D内各点处都可微分那么称这函数在D内可微分2．可微与连续可微必连续但偏导数存在不一定连续这是因为如果zf(xy)在点(xy)可微则zf(xxyy)f(xy)AxByo()于是SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0因此函数zf(xy)在点(xy)处连续3．可微条件定理1(必要条件)如果函数zf(xy)在点(xy)可微分则函数在该点的偏导数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0必定存在且函数zf(xy)在点(xy)的全微分为：SKIPIF1<0。证设函数zf(xy)在点P(xy)可微分于是对于点P的某个邻域内的任意一点P(xxyy)有zAxByo()特别当y0时有f(xxy)f(xy)Axo(|x|)上式两边各除以x，再令x0而取极限，就得SKIPIF1<0从而偏导数SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0同理可证偏导数SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0所以：SKIPIF1<0偏导数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0存在是可微分的必要条件但不是充分条件例如，函数SKIPIF1<0在点(00)处虽然有fx(00)0及fy(00)0但函数在(00)不可微分即z[fx(00)xfy(00)y]不是较高阶的无穷小这是因为当(xy)沿直线yx趋于(00)时SKIPIF1<0SKIPIF1<0定理2(充分条件)如果函数zf(xy)的偏导数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在点(xy)连续则函数在该点可微分定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、y分别记作dx、dy并分别称为自变量的微分则函数zf(xy)的全微分可写作SKIPIF1<0二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数例如函数uf(xyz)的全微分为SKIPIF1<0例1计算函数zx2yy2的全微分解因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以dz2xydx(x22y)dy例2计算函数zexy在点(21)处的全微分解因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以dze2dx2e2dy例3计算函数SKIPIF1<0的全微分解因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数zf(xy)在点P(xy)的两个偏导数fx(xy)fy(xy)连续并且|x||y|都较小时有近似等式zdzfx(xy)xfy(xy)y即f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)y我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例4有一圆柱体受压后发生形变它的半径由20cm增大到2005cm高度由100cu减少到99cm求此圆柱体体积变化的近似值解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V则有Vr2h已知r20h100r005h1根据近似公式有VdVVrrVhh2rhrr2h220100005202(1)200(cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了200cm3例5计算(104)202的近似值解设函数f(xy)xy显然要计算的值就是函数在x104y202时的函数值f(104202)取x1y2x004y002由于f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)yxyyxy1xxylnxy所以(104)20212212100412ln1002108例6利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是SKIPIF1<0现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=100±0.1cm、T=2±0.004s.问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？解如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|,则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数SKIPIF1<0的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl||ΔT|都很小因此我们可以用dg来近似地代替Δg这样就得到g的误差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中l与T为l与T的绝对误差把l=100T=2,l=0.1,δT=0.004代入上式得g的绝对误差约为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0从上面的例子可以看到对于一般的二元函数z=f(x,y),如果自变量x、y的绝对误差分别为x、y,即|Δx|x,|Δy|y,则z的误差SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0从而得到z的绝对误差约为SKIPIF1<0z的相对误差约为SKIPIF1<06．2．3方向导数1．方向导数的定义现在我们来讨论函数zf(xy)在一点P沿某一方向的变化率问题设l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线el(coscos)是与l同方向的单位向量射线l的参数方程为xx0tcosyy0tcos(t0)设函数zf(xy)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义P(x0tcosy0tcos)为l上另一点且PU(P0)如果函数增量f(x0tcosy0tcos)f(x0y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值SKIPIF1<0当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在则称此极限为函数f(xy)在点P0沿方向l的方向导数记作SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0从方向导数的定义可知方向导数SKIPIF1<0就是函数f(xy)在点P0(x0y0)处沿方向l的变化率2．方向导数的计算定理如果函数zf(xy)在点P0(x0y0)可微分那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在且有SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中coscos是方向l的方向余弦简要证明设xtcosytcos则f(x0tcosy0tcos)f(x0y0)fx(x0y0)tcosfy(x0y0)tcoso(t)所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0这就证明了方向导数的存在且其值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0提示SKIPIF1<0SKIPIF1<0xtcosytcosSKIPIF1<0讨论函数zf(xy)在点P沿x轴正向和负向沿y轴正向和负向的方向导数如何?提示：沿x轴正向时coscos0SKIPIF1<0沿x轴负向时cos1cos0SKIPIF1<0例1求函数zxe2y在点P(10)沿从点P(10)到点Q(21)的方向的方向导数解这里方向l即向量SKIPIF1<0的方向与l同向的单位向量为SKIPIF1<0因为函数可微分且SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以所求方向导数为SKIPIF1<0对于三元函数f(xyz)来说它在空间一点P0(x0y0z0)沿el(coscoscos)的方向导数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0如果函数f(xyz)在点(x0y0z0)可微分则函数在该点沿着方向el(coscoscos的方向导数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2求f(xyz)xyyzzx在点(112)沿方向l的方向导数其中l的方向角分别为604560解与l同向的单位向量为el(cos60cos45cos60SKIPIF1<0因为函数可微分且fx(112)(yz)|(112)3fy(112)(xz)|(112)3fz(112)(yx)|(112)2所以SKIPIF1<03．梯度设函数zf(xy)在平面区域D内具有一阶连续偏导数则对于每一点P0(x0y0)D都可确定一个向量fx(x0y0)ify(x0y0)j这向量称为函数f(xy)在点P0(x0y0)的梯度记作gradf(x0y0)即gradf(x0y0)fx(x0y0)ify(x0y0)j梯度与方向导数如果函数f(xy)在点P0(x0y0)可微分el(coscos)是与方向l同方向的单位向量则SKIPIF1<0SKIPIF1<0gradf(x0y0)el|gradf(x0y0)|cos(gradf(x0y0)^el)这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系特别当向量el与gradf(x0y0)的夹角0即沿梯度方向时方向导数SKIPIF1<0取得最大值这个最大值就是梯度的模|gradf(x0y0)|这就是说函数在一点的梯度是个向量它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向它的模就等于方向导数的最大值讨论SKIPIF1<0的最大值结论函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值4．等值线我们知道一般说来二元函数zf(xy)在几何上表示一个曲面这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为SKIPIF1<0这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L*它在xOy平面上的方程为f(xy)c对于曲线L*上的一切点已给函数的函数值都是c所以我们称平面曲线L*为函数zf(xy)的等值线若fxfy不同时为零则等值线f(xy)c上任一点P0(x0y0)处的一个单位法向量为SKIPIF1<0这表明梯度gradf(x0y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同而沿这个方向的方向导数SKIPIF1<0就等于|gradf(x0y0)|于是SKIPIF1<0这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系这就是说函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数梯度概念可以推广到三元函数的情形设函数f(xyz)在空间区域G内具有一阶连续偏导数则对于每一点P0(x0y0z0)G都可定出一个向量fx(x0y0z0)ify(x0y0z0)jfz(x0y0z0)k这向量称为函数f(xyz)在点P0(x0y0z0)的梯度记为gradf(x0y0z0)即gradf(x0y0z0)fx(x0y0z0)ify(x0y0z0)jfz(x0y0z0)k结论三元函数的梯度也是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值如果引进曲面f(xyz)c为函数的等量面的概念则可得函数f(xyz)在点P0(x0y0z0)的梯度的方向与过点P0的等量面f(xyz)c在这点的法线的一个方向相同且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数例3求SKIPIF1<0解这里SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4设f(xyz)x2y2z2求gradf(112)解gradf(fxfyfz)(2x2y2z)于是gradf(112)(224)*5。数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M都有一个确定的数量f(M)则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定如果与点M相对应的是一个向量F(M)则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等)一个向量场可用一个向量函数SKIPIF1<0(M)来确定而F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k其中P(M)Q(M)R(M)是点M的数量函数利用场的概念我们可以说向量函数gradf(M)确定了一个向量场——梯度场它是由数量场f(M)产生的通常称函数f(M)为这个向量场的势而这个向量场又称为势场必须注意任意一个向量场不一定是势场因为它不一定是某个数量函数的梯度场例5试求数量场SKIPIF1<0所产生的梯度场其中常数m>0SKIPIF1<0为原点O与点M(xyz)间的距离解SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0记SKIPIF1<0它是与SKIPIF1<0同方向的单位向量则SKIPIF1<0上式右端在力学上可解释为位于原点O而质量为m质点对位于点M而质量为l的质点的引力这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比这引力的方向由点M指向原点因此数量场SKIPIF1<0的势场即梯度场gradSKIPIF1<0称为引力场而函数SKIPIF1<0称为引力势6．2．4高阶偏导数设函数zf(xy)在区域D内具有偏导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0那么在D内fx(xy)、fy(xy)都是xy的函数如果这两个函数的偏导数也存在则称它们是函数zf(x