考点23 反比例函数实际问题的6大题型归类-解析版

考点23反比例函数实际问题的6大题型归类1几何类反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。2表格类解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．3图形类反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．4探究类反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法．5利润类反比例函数的利润问题，往往和二次函数或者一次函数结合，单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握；同时，一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键；表格类问题的利润一般合理从表格中获取关键信息列式是解题的关键．6新定义问题弄懂新定义的概念和性质是关键。考点1几何类考点2表格类考点3图形类考点4探究类考点5利润类考点6新定义问题考点1几何类1．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）已知学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如下图所示，当和时，函数图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分，BC∥AD∥x轴．(1)求点D坐标；(2)当x满足什么条件时，学生注意力指标不低于30．【答案】(1)（45，20）(2)当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．【分析】（1）求出反比例函数解析式，即可求解；（2）先求出直线AB的解析式，可得y≥30时，x的取值范围，再由反比例函数可得y≥30时，x的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：设当时，反比例函数解析式为，把点C（20，45）代入得：，解得：k=900，∴反比例函数解析式为，∴当x=45时，，∴D（45，20）；（2）解：根据题意得：A（0，20），设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为，当y≥30时，，解得：x≥4，由（1）得反比例函数解析式为，当y≥30时，，解得：x≤30，∴当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．2．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．(1)求密度关于体积V的函数解析式；(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法即可完成；（2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围．【详解】（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系，∴设，∵当时，，∴，∴，∴密度关于体积V的函数解析式为：；（2）解：观察函数图象可知，随V的增大而减小，当时，，当时，，∴当时，即二氧化碳密度的变化范围是．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．3．（2021秋·安徽合肥·九年级校考期中）为了做好新冠肺炎疫情期间开学工作，我区某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟？【答案】（1）；（2）31.5分钟【分析】(1)首先根据题意，已知药物释放过程中，y与x的函数关系式为；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为(，k为常数)，将数据代入用待定系数法可得y与x的函数关系式；(2)将y=8分别代入两个函数解析式，求出x的值，进一步求解可得答案．【详解】（1）当0≤x≤15时，设y=ax（a≠0）；当x>15时，设y=（k≠0）．将（15，20）代入y=ax，20=15a，解得：a=，∴y=x（0≤x≤15）．将（15，20）代入y=，20=，解得：k=300，∴y=（x>15），∴；（2）把y=8代入y=x得，x=6；把y=8代入y=得，x=37.5，37.5-6=31.5（分钟）．答：有效消毒时间是31.5分钟．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，注意分段函数后面要带上相应的自变量范围，正确理解题意，熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．4．（2019秋·安徽安庆·九年级阶段练习）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？【答案】（1）AB：；CD：；（2）有效时间为50分钟.【详解】分析：(1)、利用待定系数法分别求出函数解析式；(2)、将y=40分别代入两个函数解析式分别求出x的值，然后进行做差得出答案．详解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+30，把B（10，50）代入得，k1=2，∴AB解析式为：y1=2x+30（0≤x≤10）．设C、D所在双曲线的解析式为y2=，把C（44，50）代入得，k2=2200，∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥44）；（2）将y=40代入y1=2x+30得：2x+30=40，解得：x=5，将y=40代入y2=得：x=55．

55﹣5=50．所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．点睛：本题主要考查的就是函数图像的基本应用问题，属于基础题型．求函数解析式的时候我们用的就是待定系数法，在设函数关系式的时候一定要正确．5．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考阶段练习）某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题：(1)当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式；(2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据图像经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）当，根据图像经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式，依题意列出方程即可求解．【详解】（1）解：当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数．设这个反比例函数表达式为，因为图像经过点，所以．解得．所以眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为．（2）当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为，因为图像经过点和，所以解得，所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是．某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，，,依题意：,解得：或（舍去）．∴．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式．考点2表格类6．（2023·安徽·校联考一模）如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．桌面所受压强100200400800受力面积210.50.25(1)根据以上数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式；(2)现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体相同重量的长方体按如右图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．【答案】(1)(2)不安全，理由见解析【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式即可；（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，设，将代入得：，∴；（2）这种摆放方式不安全，理由如下：由图可知，∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，∵，∴这种摆放方式不安全．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．7．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表：第1天第2天第3天第4天售价x（元/双）150200250300销售量y（双）40302420（1）表中数据x、y满足什么函数关系式？请求出这个函数关系式；（2）若每天销售利润为3000元，则单价应定为多少元？【答案】（1）y＝；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．【分析】（1）根据表中的数据可以判断x与y的函数关系，本题即可解决；（2）根据题意列出方程进行求解即可得到答案.【详解】解：（1）由表中数据得：xy＝6000，∴y＝，∴y是x的反比例函数，y与x之间的函数关系式为y＝；（2）由题意得，（x﹣120）•＝3000，∴解得，x＝240；经检验，x＝240是原方程的根，∴单价应定为240元.答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.8．（2020秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）某医药研究所研发了一种新药，试验药效时发现：1.5小时内，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的关系可近似地用二次函数y＝ax2+bx表示；1.5小时后（包括1.5小时），y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）表示，部分实验数据如表：时间x（小时）0.211.8…含药量y（微克）7.22012.5…（1）求a、b及k的值；（2）服药后几小时血液中的含药量达到最大值？最大值为多少？（3）如果每毫升血液中含药量不少于10微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间．（≈1.41，精确到0.1小时）【答案】（1）a＝﹣20，b＝40，k＝22.5；（2）服药后1小时血液中的含药量达到最大值，最大值为20微克；（3）成人按规定剂量服用该药一次后能维持2.0小时的有效时间．【分析】（1）根据表格信息代入数值列方程组求解即可；（2）由（1）得到y＝﹣20x2+40x，化为顶点式即可得到结果；（3）令y=10求出x的值就是所求的结果；【详解】（1）设1.5小时内，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的关系为y＝ax2+bx，根据表格得：，解得：a＝﹣20，b＝40，1.5小时后（包括1.5小时），y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0），根据表格得：k＝1.8×12.5＝22.5，∴a＝﹣20，b＝40，k＝22.5；（2）由（1）知y＝﹣20x2+40x，∴y＝﹣20（x﹣1）2+20，∴服药后1小时血液中的含药量达到最大值，最大值为20微克；（3）当y＝10时，10＝﹣20x2+40x，或10＝，解得：x＝1﹣或x＝1+（x＞1.5，不合题意舍去），x＝2.25，∴成人按规定剂量服用该药一次后能维持2.25﹣（1﹣）≈2.0小时的有效时间．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确求解二次函数的解析式及一般式与顶点式的互化是解题的关键．9．（2019秋·安徽·九年级校联考阶段练习）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数（度）是镜片焦距（厘米）（）的反比例函数，调查数据如下表：眼镜片度数（度）…镜片焦距（厘米）…（1）求与的函数表达式；（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距．【答案】（1），；（2）该镜片的焦距为．【分析】（1）根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数，因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系，即可求解；（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．【详解】（1）根据题意，设与的函数表达式为把，代入中，得∴与的函数表达式为．（2）当时，答：该镜片的焦距为．【点睛】考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点，两个变量的乘积是常数，是解决本题的关键．10．（2020·安徽·九年级专题练习）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表销售价格x（元/个）销售量y（万个）30≤x≤60x+860＜x≤80（1）求出当销售量为2.5万个时，销售价格为多少？（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润w（万元）与销售价格x（元个）的函数关系式；（3）销售价格定为多少元时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）当销售量等于2.5万个时，销售价格等于55元/个；（2）当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200；当60＜x≤80时，w＝80；（3）销售价格定为50或80元/件时，获得的利润最大，最大利润是50万元．【分析】（1）根据销售量的代数式等于2.5，求出符合题意的解；（2）根据x的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；（3）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．【详解】解：（1）由题意得，x+8＝2.5，解得，x＝55，答：当销售量等于2.5万个时，销售价格等于55元/个；（2）当30≤x≤60时，w＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；当60＜x≤80时，w＝（x﹣20）•4080；（3）当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1（x﹣50）2+50，∴当x＝50时，w取得最大值50（万元）；当60＜x≤80时，w80，∵﹣2400＜0，∴w随x的增大而增大，当x＝80时，w最大＝50万元，∴销售价格定为50或80元/件时，获得的利润最大，最大利润是50万元．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．考点3图形类11．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）某校园艺社计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、．①求y关于x的函数表达式；②当时，求x的取值范围；(2)洋洋说篱笆的长可以为．你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说明理由．【答案】(1)①，②当时，(2)洋洋的说法对，矩形园子的长为，宽为，理由见解析【分析】（1）①利用矩形的面积计算公式，找出y关于x的函数表达式，结合墙长为10m，即可得出x的取值范围；②代入y≥4，可求出x≤3，结合x≥，即可求出x的取值范围；（2）洋洋的说法对，设垂直于墙的一边长为am，则平行于墙的一边长为（14-2a）m，根据矩形园子的面积为12m2，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合墙长10m，即可得出：洋洋的说法对，此时矩形园子的长为6m，宽为2m．【详解】（1）解：①∵围成矩形园子的面积为12m2，∴xy=12，∴y=．又∵0＜y≤10，∴x≥，∴y关于x的函数表达式为y=（x≥）．②∵y≥4，即≥4，∴x≤3．又∵x≥，∴≤x≤3．（2）解：洋洋的说法对，理由如下：设垂直于墙的一边长为am，则平行于墙的一边长为（14-2a）m，依题意得：a（14-2a）=12，整理得：a2-7a+6=0，解得：a1=1，a2=6，当a=1时，14-2a=14-2×1=12＞10，不合题意，舍去；当a=6时，14-2a=14-2×6=2＜10，符合题意．∴洋洋的说法对，此时矩形园子的长为6m，宽为2m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）①根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数表达式；②利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出x的取值范围；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．12．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，李老师准备用篱笆围建一个面积为60m2的矩形花圃ABCD，其中一边AB靠墙．（1）设AD的长为x米，DC的长为y米，求y与x之间的函数关系式；（2）当矩形花圃ABCD的相邻两边之比是0.6时（接近黄金分割），花圃最美观．若围成矩形花圃ABCD的三边篱笆总长不超过24m，且为了美观，求此时篱笆AD的长．【答案】（1）；（2）6米【分析】（1）根据长方形面积公式列出面积等式，再变形即可；（2）根据相邻两边之比是0.6分类考虑，列出方程与不等式组，根据不等式取舍即可【详解】解：（1）由题意得，S矩形ABCD=AD×DC=xy，∴；（2）由题意得，，解得：，∴AD=6米；或，解得：，，此种情况不成立舍去．综合当篱笆AD的长为6米时，花圃最美观．【点睛】本题考查反比例函数在生活中的运用，长方形面积，一元二次方程的解法，根据方程与不等式组混合运用确定花圃最美观是解题关键．13．（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆圈成一个一边靠墙，面积为的矩形花园，其中墙长为，现在可用的篱笆总长为．

(1)若设，．请写出关于的函数表达式；(2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由；(3)假设围成矩形花园的三边材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案．【答案】(1)(2)能，长为，宽为(3)，【分析】（1）由矩形的面积得，即可求解；（2）设，则，由题意围成的面积为的花园，列出一元二次方程，解方程即可；（3）由（1）可知，的取值1，3，5，15，再由，，得时，，即可得出结论．【详解】（1）解：依题意，，即，关于的函数表达式为．（2）能理由：设，则依题意，，解得，即长为，宽为．（3）由，且，都为正整数，∴可取1，3，5，15．∵，，∴符合条件的有：时，．∴满足条件的所有围建方案：，．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形花圃．设的长为，的长为．

(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．(2)边和的长都是整数，若围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过，试求出满足条件且用料最省的方案．【答案】(1)(2)，．【分析】（1）利用矩形面积公式，得到y关于x的函数表达式，再利用已知墙长，即可求出自变量x的取值范围；（2）先根据边和的长都是整数，得出可能的取值，再结合三边篱笆的总长不超过，确定的值，分别计算即可得到满足条件且用料最省的方案．【详解】（1）解：由题意得：，，已有的一面墙长为，，，y关于x的函数表达式为，（2）解：边和的长都是整数，且，的值可以为4、5、10、20，围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过，，的值可以为4、5，当时，，则，当时，，则，满足条件且用料最省的方案为，．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用以及解不等式，正确理解题意，得出函数关系式，并确定自变量的取值范围是解题关键．15．（2022·全国·九年级专题练习）某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米．（1）求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）；（2）能否建造米的活动场地？请说明理由；（3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用）【答案】（1）；（2）不能，见解析；（3）10或6.4【分析】（1）根据矩形的面积是64平方米，即可得到，即；（2）把代入反比例解析式求出y，然后计算周长是否超过45即可得到答案；（3）根据题意列出总费用关于x的方程求解，然后检验周长是否超过45即可得到答案.【详解】解：（1）∵矩形体育场占地面积为64平方米，∴．（2）不能．理由：把代入，得．周长为．∴不能建造米的活动场地．（3）活动场地造价为．整理得，解得，．经检验，，均为原分式方程的解，且符合题意．当时，总周长为；当时，总周长为．综上可得，的值为10或6.4．【点睛】本题主要考查了反比例函数和分式方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.考点4探究类16．（2023·河南驻马店·统考三模）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图1：

某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图2，小明取一根质地均匀的木杆长，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个质量为的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化，在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图3所示的函数图象．已知重力与质量之间的关系式为：，为物体的重力（单位：），为物体的质量（单位），．

(1)图3中函数的解析式为__________，自变量的取值范围是__________．(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体的质量的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？【答案】(1)，(2)弹簧测力计的示数最小可以是【分析】（1）根据图象设函数解析式，将图中点的坐标代入即可求解，根据题意点是木杆的中点，木杆全长，即可求得自变量的取值范围；（2）根据函数图象的增减性，可知当时，取得最小值，代入函数解析式求解即可．【详解】（1）根据图象设函数解析式为∵图象过点代入求得∴函数的解析式为：∵点是木杆的中点，木杆全长∴可知弹簧测力计到中点的距离最长为∴故答案为：，．（2）由（1），可知．∵∴当时，随的增大而减小．又∵∴当时，取得最小值，最小值为．∴弹簧测力计的示数最小可以是．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数图象的性质等，解题的关键是根据题意求得自变量的取值范围．17．（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如下表：10152025303020151210(1)把上表中的各组对应值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；(3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．【答案】(1)画图见解析(2)(3)活动托盘B与点O的距离是厘米．(4)活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加砝码．【分析】（1）先描点，再利用平滑的曲线连接即可；（2）由给定的点的横纵坐标的积为常数，可得是的反比例函数，再求解解析式即可；（3）把代入，求解的值即可得到答案；（4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大．．【详解】（1）解：如图，画图如下：（2）由横纵坐标的积为：，∴设，则，∴函数解析式为：；（3）当时，则，即活动托盘B与点O的距离是厘米．（4）∵，当时，随的减小而增大，∴活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加砝码．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．18．（2023·陕西西安·统考三模）小聪在学习过程中遇到了一个函数，小聪根据学习反比例函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点．(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；(2)该函数图像可以看成是由的图像平移得到的，其平移方式为；(3)直接写出不等式的解集为．【答案】(1)见详解(2)向下平移2个单位长度(3)或【分析】（1）根据画函数图像的步骤画出图像即可；（2）根据反比例函数的性质解答即可；（3）根据反比例函数的图像与性质，结合画出的函数图像即可得出结论．【详解】（1）解：画出函数图像如下：（2）解：该函数图像可以看成是由的图像平移得到的，其平移方式为向下平移2个单位长度．故答案为：向下平移2个单位长度；（3）解：由图像可得，不等式的解集为或．故答案为：或．【点睛】本题只要考查了反比例函数的知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．19．（2023春·江苏·八年级专题练习）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．哪种混合方式的什锦糖的单价更低？(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程；(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：结论1：若，则；若，则；若，则；结论2：反比例函数的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；结论3：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为．小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：①利用结论1求解；②利用结论2、结论3求解．【答案】(1)，，过程见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）根据单价的公式即可得到两种不同方式的单价；（2）①让两种不同方式的单价作差法比较即可；②设A、B是反比例函数（）的图像上两点，是线段的中点，由结论2，得点A、B的横坐标分别为、，由结论3，得点C的坐标为，由结论2，得点E的坐标为，可得，即可得答案．【详解】（1）解：采用方式1混合的什锦糖的单价为，采用方式2混合的什锦糖的单价为；（2）①∵，，，∴，，∴，由结论1，得，∴采用方式2混合的什锦糖的单价更低；②如图，设A、B是反比例函数（）的图像上两点，是线段的中点，令点A、B的纵坐标分别为a、b，不妨设，过点C作轴，垂足为D，CD与此函数图像交于点E，由结论2，得点A、B的横坐标分别为、，由结论3，得点C的坐标为，∵点C与点E的横坐标相等，∴点E的横坐标为，由结论2，得点E的坐标为，∵E是线段CD上一点，∴，∴，∴采用方式2混合的什锦糖的单价更低．【点睛】本题考查了代数式的大小比较,反比例函数的实际应用,中点坐标公式等知识,解题的关键是将实际问题转化为函数模型．20．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．

第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．第二步，整理数据．…3691215……31.510.750.7…第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．任务：

(1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______；(2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；(3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．【答案】(1)0.7，(2)见解析(3)当P大于6W，R的取值范围为【分析】（1）根据P与R是反比例函数求解即可；（2）利用描点法画出图象即可；（3）观察图象，直接写出答案即可．【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数，其中，数据错误；设P与R的函数解析式为，把代入得，，解得，，P与R的函数解析式为，故答案为：，．（2）解：P关于R的函数图象如图：

（3）解：当，结合图象，P大于6W时R的取值范围是．【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式．考点5利润类21．（2021·广西南宁·南宁市天桃实验学校校考三模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业企业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为元/吨，销售结束后，经过统计得到了如下信息：信息1：设次线上销售水果（吨），已知是的一次函数，且第次线上销售水果为吨，然后每一次总比前一次销售量减少吨；信息2：该水果的销售单价（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为万元/吨，第至次线上销售的浮动价与销售场次成正比；第至次线上销售的浮动价与销售场次成反比；信息3：如下表格：（次）（万元/吨）（1）求与之间的函数关系式；（2）若（万元/吨），求的值；（3）在这次线上销售中，那一次线上销售获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2），；（3）第次，万．【分析】（1）设，把时，，时，分别代入运算即可；（2）确定函数解析式，代入和的值运算即可；（3）分类讨论前十次和后十次的销售最大利润是多少，再比较大小即可．【详解】解：（1）∵是的一次函数，则由第次线上销售水果为吨可得：时，，由每一次总比前一次销售量减少吨可得：时，分别代入可得：解得：∴与之间的函数关系式为：（2）设第至次时与的函数关系式为：，第至次时与的函数关系式为：；由题意可得：，解得：，∴第至次时与的函数关系式为：，第至次时与的函数关系式为：；把代入可得：把代入可得：∴的值为和（3）设利润当时，∴时，最大利润为万当时，∴时，最大利润为万∵∴第次销售获得的利润最大，最大利润是万答：第次销售获得的利润最大，最大利润是万．【点睛】本题主要考查了函数的应用，其中涉及到了一次函数，反比例函数，二次函数等知识点，合理从表格中获取关键信息列式是解题的关键．22．（2021秋·全国·九年级专题练习）近年来，随着盲盒经济的崛起，潮玩市场备受关注，盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．某公司生产一种盲盒，在自动售卖机销售，已知这种盲盒的成本是每盒40元，物价局规定，这种盲盒的市场销售单价不得高于60元，不得低于45元．经市场调查发现，销售单价不高于50元时，每月销售量与销售单价成反比例函数关系；高于50元时，每月销售量与销售单价成一次函数关系，下表是部分市场调查数据：销售单价/元4550545860月销售量/盒600540500460440（1）设月销售量为盒，销售单价为元，求与之间的函数关系式；（2）当这种盲盒的销售单价为多少元时，月销售利润最大？月最大销售利润是多少元？【答案】（1）；（2）当销售单价为60元时，月销售利润最大，月最大销售利润是8800元．【分析】（1）根据题意分情况讨论即可求解函数；（2）根据题意分情况列出反比例函数与二次函数，根据题意并结合函数的性质即可求解最值．【详解】解：（1）由题意得，当时，，当时，，把和代入得：，解得：，∴，∴与之间的函数关系式为：；（2）设这种盲盒的销售单价为元，月销售利润为元，则，①当时，，∵随的增大而增大，∴当时，的最大值（元）；②当时，，∵，∴当时，随的增大而增大，∴当时，的最大值（元），∵，∴当销售单价为60元时，月销售利润最大，月最大销售利润是8800元．【点睛】此题主要考查函数的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出函数关系式求解．23．（2021·江苏连云港·统考二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为，且当时，；当时，．请根据以上信息，解决下列问题．（1）与之间的函数表达式为；（2）若（万元/吨），求的值；（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）4；（3）第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．【分析】（1）根据“第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨”即可列出与之间的函数表达式为；（2）根据当时，；当时，即可求出k1、k2的值，进而得到p与x的函数关系式为，再把代入分段函数，分别求出x=4，x=40，舍去不合题意的x的值，问题得解，（3）设每场获得的利润为（万元），分和两种情况，求出w与x的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解．【详解】解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，∴与之间的函数表达式为；（2）当时，，所以有，解之得，．当时，，所以有，解之得，．∴，当时，，解之得，当时，，解得．，所以舍去．∴的值为4；（3）设每场获得的利润为（万元），则有当时，，∴当时，最大，且最大值为万元．当时，，∴当时，最大，且最大值为万元．∴第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元．【点睛】本题为一次函数、二次函数、反比例函数的综合应用，考查了列一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键，注意当时，函数不是反比例函数，但注意借鉴反比例函数性质即可求解．24．（2021·河北唐山·统考一模）某公司生产一种产品，月销售量为吨（），每吨售价为7万元，每吨的成本（万元）由两部分组成，一部分是原材料费用固定不变，另一部分人力等费用，与月销售量成反比，市场部研究发现月销售量吨与月份（为1~12的正整数）符合关系式（为常数），参考下面给出的数据解决问题．月份（月）12成本（万元/吨）55.6销售量为（吨/月）120100（1）求与的函数关系式；（2）求的值；（3）在这一年12个月中，①求月最大利润；②若第个月和第个月的利润相差最大，直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）①240，②或11【分析】（1）设，将表中相关数据代入可求得a、b，由此可求得函数关系式；（2）将n＝1、x＝120代入x＝2n2﹣26n+k2可求得k的值；（3）第m个月的利润W，第（m+1）个月的利润为，分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得．【详解】解：（1）由题意，设，由表中数据可得：，解得：∴与的函数关系式为；（2）将，代入，得，解得，∴，将，代入也符合，∴；（3）①设第个月的利润为，则，∴对称轴为，∴当或12时，取得最大值为240，②设第m个月的利润为W，第（m+1）个月的利润为，则第（m+1）个月的利润＝10[（m+1）2﹣13（m+1）+36]＝10（m2﹣11m+24），若W≥，W﹣＝20（6﹣m），m取最小1，W﹣取得最大值100；若W＜，﹣W＝20（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，﹣W取得最大值100；∴m＝1或11．【点睛】本题主要考查反比例函数和二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键．25．（2023·山东淄博·统考一模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨2万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息：信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨；信息2：该水果的销售单价（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次成反比；信息3：（次）2824（万元）2.22.83请根据以上信息，解决下列问题．（1）求与之间的函数关系式；（2）若（万元/吨），求的值；（3）在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）第15次，利润最大为36万元【分析】（1）设第x次线上销售水果y(吨),根据“第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨”列出函数关系式即可；（2）确定函数解析式，代入p值求解即可；（3）首先分类讨论，求出①当1≤x≤15时，②当16<x≤30时，该超市销售这种商品所获的利润是多少，然后比较大小，判断出销售这种商品第几天的利润最大，最大利润是多少即可．【详解】（1）设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨；∴与之间的函数关系式：；（2）设第1场~第15场时与的函数关系式为；第16场~第30场时与的函数关系式为；依题意得，解得，，∴又当时，有，解之得，，∴当时，，解之得，，当时，，解之得，，（3）设每场获得的利润为（万元），则有：当时，所以当时，最大，最大为37.5万元；当时，当时，最大，最大为36万元∴在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万元．【点睛】此题主要考查了二次函数及反比例函数的应用，考查了单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握．考点6新定义问题26．（2023·四川达州·统考二模）【知识迁移】我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为．【理解应用】函数的图像可以由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______．【灵活运用】如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据所画图像直接写出，当x在什么范围内变化时，？

【实际应用】某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？【答案】理解应用：3，2，；灵活运用：；实际应用：【分析】理解应用：根据平移的特点进行解答即可；灵活应用：先根据函数关系式，得出函数的图像可以由函数的图像向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为，画出函数图像，根据图像得出x的取值范围即可；实际应用：求出当时进行第一次复习，复习后的记忆留存量变为1，得出点在函数的图象上，求出，求出当时，，即可得出结果．【详解】解：理解应用：函数的图像可以由函数的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，其对称中心坐标为，故答案为：3，2，；灵活运用：函数的图像可以由函数的图像向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为，画出函数图像，如图所示：

根据函数图像可知，当时，；实际应用：解当时，，解得时进行第一次复习，复习后的记忆留存量变为1，∴点在函数的图象上，则，∴，当时，解得，∴时，是他第二次复习的“最佳时机点”．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，函数图像的平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握函数图像的平移特点，数形结合．27．（2023·江苏南通·校考三模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．(1)函数①；②；③中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；(3)求函数图象的“3倍平点”的坐标．【答案】(1)②(2)(3)或【分析】（1）根据函数图象的“n倍平点”的定义逐个进行判断即可；（2）设，则，把代入得，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出，即可求出答案；（3）当时，，当时，，分两种情况，根据函数图象的“n倍平点”的定义分别计算即可得出结论．【详解】（1）当时，①设，则，当时，，∴点不在的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．②设，则，当时，，∴点在的图象上．∴该函数图象存在“2倍平点”．③设，则，当时，，∴点不在的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．故答案是②；（2）设，则，把代入得，，即，∵图象恰有1个“n倍平点”，∴．∴．∵，∴．（3）当时，，设，则，把代入得，，解得：，∴，．∴，．当时，，设，则，把代入得，，解得：，∴，．∴，．综上所述，函数图象的“3倍平点”的坐标是或．【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n倍平点”是解题的关键．28．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．x…11.5234.569…y…107.56.566.57.510…列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示.(1)观察所描出点的分布，用一条光滑的曲线将点顺次连接起来，作出函数图象．(2)已知点(x₁，y₁)、(x₂，y₂)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题(填“>”“=”或“<”)：①若，则；②若，

则；③若，则(3)某农户要用一些围栏建造一个的长方形鸡圈，设鸡圈的一边长为，所需围栏长度为．①请直接写出y与x之间的函数关系式；②若围栏的单价为50元/m，且该农户买围栏的预算不超过750元，在不考虑其他影响因素的情况下，鸡圈的一边长x应控制在什么范围内?【答案】(1)图象见解析(