考点21 一次函数与反比例函数5大题型方法归类-解析版VIP

考点21一次函数与反比例函数5大题型方法归类1一次函数与反比例函数图像综合判断的方法根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质。对于同一个字母或者比例系数符号要求要相同或者对于各函数形式中，对应的字母意义分析。2一次函数与反比例函数的图像交点问题反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．3一次函数与反比例函数的实际应用反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识。二元一次方程组的应用。平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．4一次函数与反比例函数的几何综合（1）掌握待定系数法求解函数解析式，一般用点的坐标表示图形面积；．（2）解题时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，同时要注意运用数形结合的思想；（3）涉及到平行四边形性质及应用等，根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题；（4）反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，都是运用的关键；（5）作图要根据步骤做规范作图。5一次函数与反比例函数的其它综合应用考点1一次函数与反比例函数图像综合判断考点2一次函数与反比例函数的图像交点问题考点3一次函数与反比例函数的实际应用考点4一次函数与反比例函数的几何综合考点5一次函数与反比例函数的其它综合应用考点1一次函数与反比例函数图像综合判断1．（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根据一次函数图象经过的象限得出的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】A、由一次函数图象得，所以，所以反比例函数图象应在一、三象限，故本选项符合题意；B、由一次函数图象得，所以，所以反比例函数图象应在二、四象限，故本选项不符合题意；C、由一次函数图象得，所以，所以反比例函数图象应在一、三象限，故本选项不符合题意；D、由一次函数图象得，所以，所以反比例函数图象应在一、三象限，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．2．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）若，则在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由参数值，判断函数图象所在的象限：时，图象在第一，三象限；时，图象在第二，四象限，判断求解．【详解】解：∵，∴在第二，四象限，在第一，三象限．故选：A．【点睛】本题考查正比例函数，反比例函数的图象，掌握函数图象的特征是解题的关键．3．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（

）

A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】B【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意；B、当时，，则此项正确，符合题意；C、当时，，则此项错误，不符合题意；D、当时，，则此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．4．（2023·山东滨州·统考二模）如图，已知二次函数的图象，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据抛物线的图象，判断出c，，的符号，进而判断一次函数、反比例函数的图象的位置即可得出答案．【详解】解：由抛物线的图象可知：横坐标为的点，即在第一象限，因此，所以反比例函数的图象分布在一、三象限；由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，因此，抛物线开口向下，与x轴有两个交点，，因此一次函数经过一、二、三象限；故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象与解析式的系数关系，熟练掌握函数解析式的系数对图像的影响是解题的关键．考点2一次函数与反比例函数的图像交点问题5．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，过点作轴，垂足为，连接，已知四边形是平行四边形，且其面积是．

(1)求点A的坐标及和的值；(2)求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；(3)若直线与四边形和反比例函数图象均无公共点，直接写出的取值范围．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】令，则，解得，得到，根据平行四边形的性质求出，设，再根据平行四边形的面积是，列出方程得到，把分别代入，，即可求出m、k的值；联立直线和双曲线的解析式，求解，即可得到答案；找出邻界点直线经过点时的值，直线与双曲线在第四象限相切时的值，即可得出t的取值范围．【详解】（1）令，则，，，，四边形为平行四边形，，轴，设，平行四边形的面积是，，，，，，点在直线上，，即，，；（2）由知，，直线的解析式为，由知，，反比例函数的解析式为，联立解得，（点的坐标）或，一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为；（3）当直线过点时，，，当直线与第四象限的双曲线相切时，，，，（舍），或，直线与四边形和反比例函数图象均无公共点时，．【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形．熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质，函数与方程的关系，是解决问题的关键．6．（浙江省杭十五中教育集团2022-2023学年九年级下学期5月阶段检测数学试题）已知：一次函数与反比例函数．其中的图象过．(1)求出两个函数图象的交点坐标；(2)根据图象直接回答：取何值时，．【答案】(1)，．(2)或【分析】（1）依据题意，把，代入反比例函数解析式求出再将与联列方程组，进而可以求出交点的坐标；（2）依据题意，根据一次函数图象在反比例函数下方时对应的自变量作答即可．【详解】（1）解：由题意，将代入反比例函数解析式得，，．联立方程组解得：或．两个函数图象的交点坐标为，．（2）由题意，作图如下，，一次函数图象在反比例函数下方时对应的自变量为：或，即满足题意的为：或．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质，数形结合是解题的关键．7．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）已知反比例函数过第二象限内的点，轴于B，面积为3，若直线经过点A，并经过反比例函数的图象上另一点，

(1)______，______，______；(2)求直线的解析式；(3)在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)，3，4(2)；(3)点坐标分别为：；；；．【分析】（1）根据的几何意义得到，解得或，再根据反比例函数图象的位置得到，则反比例函数的解析式为，然后分别把、代入可计算出、的值；（2）由和，利用待定系数法可确定一次函数的解析式；（3）先利用勾股定理求得，再分、、三种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：面积为3，，解得或，而，，即反比例函数的解析式为，把代入得，解得，把代入得，解得；故答案为：，3，4；（2）解：把和代入得，解得，所以一次函数的解析式为；（3）解：∵，，

当时，∴∴；；当时，作于点D，则，∴，∴；当时，设，∴，解得，∴；答：存在点使为等腰三角形；点坐标分别为：；；；．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．8．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，已知线段，，，现将线段沿y轴方向向下平移得到线段．直线过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线的一条分支上，

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)①直接写出不等式的解集；②若点P是y轴上一点，且的面积为8.5，请直接写出点P的坐标；(3)若点，在双曲线上，试比较和的大小．【答案】(1)y，；(2)①或；②或；(3)当或时，；当时，．【分析】（1）设线段沿y轴方向向下平移t个单位得到线段，则点M、N的坐标分别为、，将点M、N的坐标代入，得：，解得，再将点M、N的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求解；（2）①观察函数图象，结合点M、N的坐标，即可求解；②设直线MN与y轴的交点为C，先求出，再根据，求出的长，即可得到点P的坐标；（3）将点C、D的坐标分别代入反比例函数表达式得：，，则，根据a的取值分情况讨论即可求解．【详解】（1）设线段沿y轴方向向下平移t个单位得到线段，点M、N的坐标分别为、，将点M、N的坐标代入得：，解得：，点M、N的坐标分别为、，，反比例函数的解析式为：y，将点M、N的坐标代入一次函数解析式，得，解得：，一次函数解析式为：；（2）①观察函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象下方部分即为不等式解集，不等式的解集为或；②设直线与y轴的交点为C，令，则，∴如图，当点P在点C上方时，,的面积为8.5，∴解得，；如图，当点在点C下方时，同理可得，，，综上可知，点P的坐标为或；

（3）将点，分别代入反比例函数，得：，，则，当时，即或时，；当时，即时，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的性质等知识点，体现了方程思想，综合性较强，利用数形结合思想解决问题是解题关键．考点3一次函数与反比例函数的实际应用9．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．

(1)求的值；(2)当时，求与的函数关系式；(3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？【答案】(1)6(2)(3)8min【分析】（1）依据题意，将代入可以得解；（2）由（1）得坐标，再设反比例函数解析式，从而将代入反比例函数解析式可以得解；（3）依据题意，令，结合函数的性质可得有效时间．【详解】（1）解：由题意，，即为，．（2）解：由（1）可得．设熏蒸完后函数的关系式为：，．熏蒸完后函数的关系式为：．（3）解：药物浓度不低于，当时，，当时，，有效时长为，答：有效杀灭病毒的时间持续．【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型，难度不大．10．（2023春·浙江·八年级专题练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度微克毫升与服药时间小时之间函数关系如图所示当时，与成反比例．(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式．(2)问血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间多少小时？【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为(2)血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时【分析】（1）分别利用待定系数法求出正比例函数以及反比例函数解析式即可；（2）利用分别得出的值，进而得出答案．【详解】（1）解：当时，设直线解析式为：，将代入得：，解得：，故直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，将代入得：，解得：，故反比例函数解析式为：；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为．（2）解：当，则，解得：，当，则，解得：，小时，血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时．【点睛】此题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．11．（2023春·全国·八年级专题练习）某超市在40天内试销一种成本为40元/件的新商品．在前19天，每天的销售单价都是80元/件；后21天改变了销售措施，规定“每天的销售单价（元）由基础价格、浮动价格两部分构成，其中基础价格保持不变，浮动价格与（第天）成反比”．试销完毕后，通过统计整理还发现．试销售期间日销量（件）是天数（天）的一次函数，并且得到了如下表中的数据．第天2530日销量（件）7060日销售单价（元）8577.5(1)求试销售期间日销量（件）与（天）的函数关系式；(2)求后21天每天的销售单价（元）与（天）的函数关系式；(3)设第天的利润为（元），则这40天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)(3)这40天中第1天获得的利润最大；最大利润是多少元【分析】（1）根据题意，设，由表中数据，将代入表达式，解二元一次方程组即可得到试销售期间日销量（件）与（天）的函数关系式；（2）根据题意，设，由表中数据，将代入表达式，解方程组即可得到后21天每天的销售单价（元）与（天）的函数关系式；（3）对于前19天，每件的利润是元；对于后21天，每件的利润是元；再根据试销售期间日销量（件）与（天）的函数关系式为，从而得到第天的利润为（元）的表达式为，根据一次函数及反比例函数的图像与性质求最值即可得到答案．【详解】（1）解：试销售期间日销量（件）是天数（天）的一次函数，设，将代入表达式，则，解得，试销售期间日销量（件）与（天）的函数关系式为；（2）解：后21天改变了销售措施，规定“每天的销售单价（元）由基础价格、浮动价格两部分构成，其中基础价格保持不变，浮动价格与（第天）成反比”，设，将代入表达式，则，解得，后21天每天的销售单价（元）与（天）的函数关系式为；（3）解：根据题意，分两种情况：前19天，每件的利润是元，则；后21天，每件的利润是元，则；综上所述，第天的利润为（元）的表达式为，当时，，由得到随着值的增大而减小，故当时，有最大利润为元；当时，，由得到随着值的增大而减小，故当时，有最大利润为元；，这40天中第1天获得的利润最大；最大利润是多少元．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数解决实际应用题，涉及待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式、一次函数及反比例函数图像与性质求最大利润等，读懂题意，掌握待定系数法求函数表达式，掌握利润单件商品利润销售量是解决问题的关键．12．（2022秋·广东河源·九年级统考期末）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？(2)该疫苗生产企业有个月的月生产数量不超过60万支．【答案】(1)45万支(2)6【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的y的值即可；（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，∵点在该函数图象上，∴，得，∴，当时，，即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；（2）解：设技术改造完成后对应的函数解析式为，∵点，在该函数图象上，∴，解得，∴技术改造完成后对应的函数解析式为，，解得∵x为正整数，∴，3，4，5，6，7，答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．故答案为：6．【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．考点4一次函数与反比例函数的几何综合13．（2022·重庆·校考二模）如图，一次函数的图像交x轴于点，交y轴于点，与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为6(1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图像；(2)请写出反比例函数图象的一条性质：______．(3)在y轴上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)，，图像见解析(2)答案不唯一，见解析(3)存在，或【分析】（1），将点A，C的坐标代入关系式求出解即可，进而求出点A的坐标，再代入反比例函数关系式得出答案，最后画出图象；（2），根据图象的特点写出性质；（3），先求出，再求出交点B的坐标，最后根据求出DM，进而得出答案．【详解】（1）解：将，代入中，得解得：，∴一次函数解析式是．∵，∴，

∴，将代入中，得

∴，∴反比例函数的解析式为．反比例函数的图像如图所示．（2）在每个象限内，y随x的增大而减小或该图象位于一，三象限，答案不唯一；故答案为：在每个象限内，y随x的增大而减小或该图象位于一，三象限，答案不唯一；（3）过点A作轴于点N，∵，，∴，，∴．又∵，

解得，

∴∴，

∴．∵，

∴或．【点睛】这是一道反比例函数和一次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数关系式，求两函数图象的交点，反比例函数图像的性质等，将求不规则三角形的面积转化为求规则三角形的面积是解题的关键．14．（2023春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考期末）如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．

(1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形；(2)求直线，曲线的函数表达式；(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．【答案】(1)见解析(2)直线的函数表达式，曲线的函数表达式(3)【分析】（1）根据A的坐标为，点B的坐标为补全平面直角坐标系，根据，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分画图；（2）设线段的解析式为，把，代入，得到k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，即得线段的解析式；再设曲线的解析式为，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲线的解析式；（3）设，根据轴，，点P在上，点Q在上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，得到线段、的长的表达式，根据建立方程，解方程得到m的值，即可求出的长．【详解】（1）根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴，∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，∴，，根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，

（2）设线段的解析式为，把，代入得，，解得，，∴，设曲线的解析式为，把代入得，，，∴；（3）设，则，，∴，，∵∴，∴，∴，或（舍去），∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积，解决问题的关键是熟练掌握依照点的坐标补全平面直角坐标系，画出坐标系中的图形，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数性质，根据点坐标写线段长的表达式，运用矩形面积公式列方程解方程．15．（2023·吉林松原·校联考三模）在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．已知点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交函数于点C．

(1)求，的值；(2)当时，求出线段与的长度；(3)直接写出当时，的面积的最大值﹒【答案】(1)，；(2)，；(3)【分析】（1）把点代入一次函数解析式即可求出m的值，再把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；（2）分别把代入一次函数与反比例函数解析式，求出点B、C的坐标，然后可得线段与的长度；（3）首先求出时，点B、C的坐标，进而可得的值，然后根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可．【详解】（1）解：将代入得：，所以，将代入得：；（2）解：当时，即，把代入，得：，所以，将代入，得：，所以，所以当时，，；（3）解：当时，，，∴，，∵当时，点C在点B上方，∴，∴，∵，∴当时，有最大值．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法以及二次函数的应用，熟练掌握求二次函数最值的方法是解题的关键．16．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为，，．

(1)求反比例函数解析式；(2)若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集；(3)连接、，求的面积．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值；（2）由图象直接可得；（3）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得，再计算，然后利用进行计算即可．【详解】（1）解：由题意知，将点A坐标代入（）中，得：，，双曲线的解析式为（）；（2）由图象可知，点D横坐标为4，则关于x的不等式的解集是或；（3）点坐标为，轴，点坐标为；，，而，．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，反比例函数k的几何意义，熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则图形的面积是解题关键．17．（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点．

(1)求b与m的值；(2)为x轴上一点，连接AP，当的面积为9时，求a的值．【答案】(1)的值为2，的值为6(2)=2或【分析】（1）把代入可得的值，进而可求出一次函数解析式，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例解析式即可求得的值；（2）确定与点的坐标之间的等量关系即可求解．【详解】（1）解：把代入得：解得，∴．把A代入得：解得，∴．把代入得=6．故的值为2，的值为6．（2）解：由（1）可知，．∵为轴上一动点，∴，∴，解得或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题．掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐标表示图形面积是解题关键．18．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知一次函数与反比例函数在第二象限的图象交于、两点．

(1)求、的值；(2)根据图象回答：在第二象限内，当取何值时，一次函数大于反比例函数的值？(3)的面积是多少？【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数解析式求得的值；然后将点的坐标代入反比例函数解析式，列出关于的方程，解方程求出的值；（2）在第二象限内，一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分对应的的取值范围即为所求；（3）过、分别作轴于，轴于，根据图形计算即可．【详解】（1）解∶∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数，又∵反比例函数的图象经过点，∴，解得；（2）解：∵，，∴，∵一次函数与反比例函数在第二象限的图象交于、两点，∴当时，一次函数大于反比例函数的值；（3）解：过、分别作轴于，轴于，

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时，利用了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式．同时要注意运用数形结合的思想．19．（2023·湖南岳阳·统考一模）如右图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的关系式：(2)设直线AB交轴于点，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，，点在点的上方，且，求点的坐标．【答案】(1)反比例函数关系式为，一次函数的关系式为(2)，或，【分析】（1）把代入可得，即得反比例函数关系式为，从而，将，代入即可得一次函数的关系式为；（2）在中得，设，，而，由、中点重合列方程组可得，或，．【详解】（1）解：把代入得：，，反比例函数关系式为；把代入得：，，将，代入得：，解得，一次函数的关系式为；∴反比例函数关系式为，一次函数的关系式为；（2）解：在中，令得，，设，，而，，且，四边形是平行四边形，、为对角线，它们的中点重合，，解得或，，或，；【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．20．（2023·上海长宁·统考二模）已知点在双曲线上，将点A向右平移5个单位得到点B．(1)当点B在直线上时，求直线的表达式；(2)当线段被直线分成两部分，且这两部分长度的比为时，求b的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据点在双曲线上，求出点A坐标，根据点平移得到点B的坐标，将点B的坐标代入直线解析式即可得到答案；（2）根据，，得到，根据线段被分得的两段的长度比为，得到分割点坐标分类讨论即可得到答案.【详解】（1）解：∵点在双曲线上，∴，即，又∵将点A向右平移5个单位得到点B，∴，当点B在直线上时，有，解得，∴直线的表达式为；（2）解：∵，，∴，∵线段被分得的两段的长度比为，故分割点为或，当分割点为时，，得，当分割点为时，，得，综上，或；【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合题，解题的关键是根据反比例函数求出点的坐标，代入直线解出直线解析式．考点5一次函数与反比例函数的其它综合应用21．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图反比例函数的图象经过点、点P是一次函数的图象与该反比例函数图象的一个公共点．

(1)求反比例函数的解析式；(2)当点P的纵坐标为1时，①求的面积：②方程的解为______；当x满足______：(3)对于一次函数．当y随x的增大而增大时，则点P横坐标a的取值范围为______．【答案】(1)(2)①；②，(3)【分析】（1）把代入即可得到，从而可确定反比例函数的解析式；（2）过点作平行于轴，交轴于点，过点作平行于轴，交轴于点和交于点，利用割补法即可得出面积；再根据图像可得出②；（3）设点的横坐标为，由于一次函数过点，并且随的增大而增大时，则点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由得到，于是得到的取值范围．【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，∴∴．∴反比例函数的解析式为（2）当时，，，∴，①过点作平行于轴，交轴于点，过点作平行于轴，交轴于点和交于点

∴∴，，∴．②∵点P是反比例函数的图象与一次函数的图象的一个公共点，∴方程的解为，由图可知当时，故答案为：，（3）当时，，即一次函数一定经过，设点的横坐标为，一次函数过点，并且随的增大而增大时，，点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，，，解得：，则的范围为．【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；掌握一次函数的增减性．22．（2023·云南西双版纳·统考一模）已知点、是反比例函数图象上的两个点，且，，．(1)求证：；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【答案】(1)见解析(2)1(3)8【分析】（1）根据题意将点点、代入反比例函数，整理即可得出得出．（2）勾股定理表示出，由（1）知．得出，进而即可求解．（3）点、根据得出直线的解析式为：，则，，根据已知条件即可得出的值【详解】（1）证明：点、是反比例函数图象上的两个点；，