考点14 直线与圆的位置关系的7大题型方法归类-解析版

考点14直线与圆的位置关系的7大题型方法归类1直线与圆的位置关系的判断方法（1）只有当直线与圆相切时，直线与圆的公共点才称为切点；(2)判断直线和圆的位置关系，可以通过公共点的个数判断，若不知道公共点的个数，就需要转化为比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交2切线的判定定理和辅助线的作法圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。作辅助线判定圆的切线的常用方法：①有交点，连半径，证重直；②无交点，作垂直，证半径。利用圆的切线的判定定理判定切线时，把握两个要素：一是经过半径的外端点，二是垂直于这条半径.这两者缺一不可。3切线的性质定理（1）圆的切线垂直于过切点的半径.（2）切线的主要性质：A切线和圆只有一个公共点；B圆心到切线的距离等于圆的半径；C切线垂直于过切点的半径；D经过圆心垂直于切线的直线必过切点；E经过切点垂直于切线的直线必过圆心切线的性质C、D、E可归纳如下：对于如下三个结论：①过圆心，②过切点，③垂直于切线，若直线满足这三个结论中的任意两个，便可得到第三个结论。注：如果直线上一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这条直线与圆可能相切也可能相交。4切线长定理进行几何计算或证明的方法1.切线长经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。2切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。注：(1)圆的切线一般指的是直线，而切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长度；切线长定理可以通过判定直角三角形全等的判定定理“HL”进行证明。利用切线长定理进行几何计算或证明：先构建切线长定理的基本图形，再利用切线长相等这一性质进行等量转化，或利用切线长定理中所隐含的等腰三角形、垂直平分线等条件来进行计算或证明.5直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系的求法设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,r为其内切圆的半径长，若利用切线长定理推导，则r=(a+b-c)/2;若利用等面积法推导，则r=aba6三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：7圆的综合问题考点1直线与圆的位置关系的判断方法考点2切线的判定定理和辅助线的作法考点3切线的性质定理考点4切线长定理进行几何计算或证明的方法考点5直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系考点6三角形内切圆考点7圆的综合问题考点1直线与圆的位置关系的判断方法1．（2023秋·九年级课时练习）已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为，，则直线和的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【分析】可判断圆心到直线l的距离小于半径，从而得出结果．【详解】解：∵点A到圆心O的距离为，∴圆O到直线的距离，∴，∴直线l和的位置是相交，故选：A．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．2．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（

）

A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能【答案】C【分析】过点P作于点C，根据直角三角形的性质，可得，再由直线与圆的位置，即可求解．【详解】解：如图，过点P作于点C，

∵，，∴，∵以点为圆心的圆的半径为3，∴以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是相切．故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出，再利用面积法求出的长，即可得到答案．【详解】解：如图，中，，，，∴，∵，∴，∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交，故选：D．．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆的位置关系，理解以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离，点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（）A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m【答案】C【分析】根据直线和圆相离，则圆心到直线的距离大于半径，得2d＞m．【详解】解：∵⊙O的直径为m，点O到直线L的距离为d，直线L与⊙O相离，∴d＞，即2d＞m，故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质．5．（2022春·九年级课时练习）已知的半径为5，直线与有交点，则圆心到直线的距离可能为（

）．A．4.5 B．5.5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据直线AB和⊙O有公共点可知：d≤r进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，∴圆心O到直线AB的距离0＜d≤5．故选：A．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．考点2切线的判定定理和辅助线的作法6．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．(1)的周长为______．(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹）【答案】(1)12(2)见解析【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定定理作图即可．【详解】（1）解：由勾股定理得：，则的周长，故答案为：12；（2）延长至，使，连接，取的中点，连接交于点，则点即为所求．【点睛】本题考查的是勾股定理、切线的判定定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．7．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．

【答案】见解析【分析】连接，利用圆周角定理可得，利用角平分线的性质及等量代换可得，利用等边对等角性质可得，进而可得，进而可求证结论．【详解】证明：连接，如图所示：

是的直径，，即，平分，，，，，，，，即，，又是的半径，是的切线．【点睛】本题考查了圆周角定理、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握其基础知识是解题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线．

【答案】见解析【分析】先作，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，进而得出答案.【详解】证明：如图，过O作于C，∵，，∴，在中，，∵的半径为3，∴为的半径，∴是的切线．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，理解切线的定义是解题的关键．9．（2023秋·九年级课时练习）如图，以等边三角形的边为直径画，交于点于点．求证：是的切线．

【答案】见解析【分析】连接，根据等边三角形和等腰三角形的性质证明，推出，进而可得结论．【详解】证明：连接．是等边三角形，．又，，．，，又是的半径，是的切线．

【点睛】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质、圆的切线的判定和平行线的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，．(1)求证：是的切线；(2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，由是的直径得到，进一步得到，再根据已知条件，且即可证明进而求解；（2）证明，再由，得到，进而得到，得到，进而得到为等腰三角形．【详解】（1）证明：连接，，，为圆的直径，，，又，，，又点在圆上，是的切线；（2）证明：，，，，，又，，是等腰三角形．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．考点3切线的性质定理11．（2023春·河北唐山·九年级统考开学考试）如图，点O为线段的中点，点C为线段上一点（不与O，A重合），以点O为圆心，为半径作圆O交线段于点D、，，，连接．

(1)求证：；(2)当与圆O相切时，求的长度．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可证明；（2）由切线的性质得出，求出，由全等三角形的性质可得出，则可求出答案．【详解】（1）证明：∵为的中点，，，∵，，∵，，∴，；（2）解：如图，∵与圆相切，，，∵，，，∵，，，．【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点及运用数形结合思想是解题的关键．12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线，连接，过点O作，垂足为，交于点．

(1)求证：；(2)若点到的距离为，，求直径的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（）先根据切线的性质得到，然后根据等角的余角相等得到结论；（）过点作于点，则，利用得到，在中利用正切的定义可求出，然后利用勾股定理可求出，从而得到的长．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∴；（2）如图，过点作于点，则，

∵，，∴，∴在中，，，∴，∴直径的长为．【点睛】此题考查了切线的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质及其应用．13．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，为的直径，为上一点．有下列三个条件：①直线是的切线；②于点；③平分，请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论构成一个真命题，并给出证明．

【答案】见解析．【分析】连接，证明，即可证明．【详解】题设：①直线是的切线；③平分；结论：②于点，证明：如图，连接，

，，平分，，，∴直线是的切线，，，，．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直及平行线的性质是解题的关键．14．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．【答案】【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到．【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点，∴，，∴，∴．【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期中）如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等弦对等弧，得到弧等于弧，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得证；（2）连接，根据切线的性质可得：，再根据圆内接四边形的外角等于内对角，以及，得到：，进而得到：，即可得证．【详解】（1）证明：∵是的外接圆，点D在上，，∴，∴；（2）证明：连接，则：，∴，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查等弦对等弧，圆周角定理，切线的性质，以及圆内接四边形．熟练掌握等弧所对的圆周角相等，以及圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．考点4切线长定理进行几何计算或证明的方法16．（2018春·九年级单元测试）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CE的长．【答案】AF=4,BD=9,CE=5.【分析】根据切线的性质定理列三元一次方程组可得AF、BD、CF的长.【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AE=AF（设为x），BD=BF（设为y），CD=CE（设为z），又∵AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，∴，由①+②+③得：2（x+y+z）=36，∴x+y+z=18④，由④﹣①得z=5；由④﹣②得x=4；由④﹣③得y=9；∴

AF=4,BD=9,CE=5.【点睛】该命题主要考查了三角形的内切圆及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用切线的性质列方程组求出相关线段长.17．（2022秋·重庆长寿·九年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC=CD；

（2）求证：∠ADE=∠ABD；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴OB⊥BC∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线．又∵CD切⊙O于点D，∴BC=CD；（2）证明：∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°．∴∠ADE+∠CDB=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．由（1）得BC=CD，∴∠CDB=∠CBD∴∠ADE=∠ABD；考点：切线的判定与性质．18．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．

(1)求证：点是的中点；(2)若，的半径为，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明是的切线．根据是的切线，可得，进而证明，等量代换可得，即可得证；（2）根据，可得四边形是正方形，则是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：连接．为的直径，．，是的切线．是的切线，，．，，，，，点是的中点．

（2）解：若，由()得，四边形是正方形，是等腰直角三角形．半径为，，，．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．19．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）已知：为的直径，，弦，直线与相交于点C，弦在上运动且保持长度不变，的切线交于点F．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断与是否相等，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)相等，理由见解析【分析】（1）如图1，连接，证得是等边三角形，进一步证得即可证得结论；（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接，∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴和是等边三角形，∴，∴，∴是等边三角形，∵是的切线，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：与相等，理由如下：如图2，点E运动至与点B重合时，是的切线，∵的切线交于点F，∴，∴，∵是直径，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质．作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．20．（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．(1)求证：AD平分；(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据切线长定理得到GA＝GD，则∠GAD＝∠GDA，根据圆周角定理推出AC∥DE，则∠CAD＝∠GDA，进而得到∠GAD＝∠CAD，据此即可得解；（2）连接OD，交AC于点H，根据切线的性质、平行线的性质推出OH是△ABC的中位线，AH＝CH＝AC，则OH＝BC，设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，解直角三角形得到AH＝，根据矩形的性质即可得解．【详解】（1）证明：∵GA、GD是⊙O的切线，∴GA＝GD，∴∠GAD＝∠GDA，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BE，∵DE⊥BE，∴AC∥DE，∴∠CAD＝∠GDA，∴∠GAD＝∠CAD，∴AD平分∠GAC；（2）解：连接OD，交AC于点H，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，由（1）知，AC∥DE，∴OD⊥AC，∴AH＝CH＝AC，∠AHD＝∠CHD＝90°，∵OA＝OB，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝BC，∵AB＝9，∴OD＝，设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，∴，∴，∴，∵，AD＝5，∴，∴x＝，∴AH＝，∵∠HCE＝180°−∠ACB＝90°＝∠ODE＝∠CHD，∴四边形CHDE是矩形，∴DE＝CH＝AH＝．【点睛】此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．考点5直角三角形周长、面积与三角形内切圆的关系21．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，．(1)若，，则

；(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据等面积法即可得出结论；（2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系．【详解】（1）连接、、，∵∴在中，∵，，∴又∵，代入①得：（2）∵，代入①得，∴，，之间数量关系为【点睛】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r．【答案】r＝【分析】连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，然后结合三角形面积进行分析求解．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝AB·r＋BC·r＋AC·r＝r(AB＋BC＋AC)＝r(a＋b＋c)．又∵S△ABC＝·AC·BC＝ab，∴r·(a＋b＋c)＝ab，∴r＝【点睛】此题考查了内切圆的性质、以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．23．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．求证：为定值．【答案】见解析【分析】连接，，由题意得：是内心，进而得到平分、平分，然后由三角形内角和定理即可证明结论．【详解】证明：连接，，由题意得：是内心，平分，平分，，，，，∵中，，所在圆是个定圆，弦和半径都是定值，为定值，为定值．【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握三角形内切圆的定义是解题的关键．24．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、．

(1)若，，求的度数；(2)若，，，求的长．【答案】(1)∠BOC=117.5°(2)AF＝6【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，利用三角形内角和可求度数；（2）设，，，根据切线长定理，构建方程组解决问题即可．【详解】（1）解：（1）的内切圆与、、分别相切于点、、，，，∵，，；（2）是的内切圆，，，，设，，，又，，，，解得，；【点睛】本题考查三角形的内切圆，三角形内角和定理，切线的性质，解三元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知内接于，且是的直径，

(1)实践与操作：请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)推理与计算：连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）因为的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可；（2）根据是的直径，，，得，然后根据勾股定理求出，再根据角的等量代换得，即可求的长．【详解】（1）解：如图1，点I为所求，

（2）解：如图2，连接，，，

∵是的直径，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，在中，，，∴，∵，，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查的是的内心I以及圆的基本性质、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识内容，正确掌握的内心I是角平分线的交点以及圆的基本性质是解题的关键．考点6三角形内切圆26．（2023·江苏·九年级假期作业）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．

(1)求证：是的切线；(2)求的直径；(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是．【答案】(1)见解析(2)6(3)【分析】（1）分别求出，，即可得，从而证明是的切线；（2）由（1）可知，，则，即可求圆的直径是6；（3）设的内切圆圆心为，连接，，，根据内心的性质可得，因此可知点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，作的外接圆，连接、，再由，可知点在圆上，连接，可得是等边三角形，则，当点与点重合时，，所以内心的运动路线长．【详解】（1）解：证明：连接，，

是圆的直径，，，，，是等边三角形，，，，，，，点在圆上，是的切线；（2）由（1）可知，，，，，，，，圆的直径是6；（3）设的内切圆圆心为，连接，，，

，，是的平分线，是的平分线，，，由（2）可知，，点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，作的外接圆，连接、，，，，点在圆上，连接，，，是等边三角形，，当点与点重合时，，内心的运动路线长，故答案为：．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，切线的判定及性质，三角形内切圆的性质，四点共圆的判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，圆的弧长公式是解题的关键．27．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；（2）连接，证出即可得证；（3）连接，，，证出即可得证．【详解】（1）证明：点I是的内心，平分，，，，．（2）证明：如图，连接，点I是的内心，平分，平分，，又，，，，，．（3）证明：如图，连接，，，，．，∴点D是的外心．【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.28．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为．(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由于三角形是等腰三角形，过作于，根据勾股定理得到，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在上，分别连接，然后利用三角形的面积公式即可求解；(2)由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理即可求解(3)根据(1)和(2)再利用线段之间的等量关系即可求得．【详解】（1）解：如图，过作于∵根据等腰三角形和圆的对称性可得：A、O、D三点共线∴，∴设最大圆半径为，则，∴解得：；（2）设覆盖圆的半径为，圆心为，∵是等腰三角形，过作于，∴，∴在直线上，连接，在中，由，∴；若以长为半径为，也可以覆盖，∴最小为．（3）如图，即为内心与外心的距离．，，故这个等腰三角形的内心与外心的距离为．【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．29．（2022春·四川广安·九年级专题练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC；（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF＝2，AF＝5，求BD长．【答案】（1）见解析；（2）DB＝.【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM＝∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED＝∠EBD，即可得出DB＝DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2＝DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线；（2），∴∠DBF＝∠DAB，又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴=，即DB2＝DF•DA，∵DF＝2，AF＝5∴DA＝DF+AF＝7∴DB2＝DF•DA＝14∴DB＝．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．30．（2021·九年级课时练习）已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．【答案】BC、AC的长分别是10cm、cm.【分析】先根据O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，得出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC．【详解】解：∵圆O内切于△ABC，∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠BCO=×90°=45°，∵∠BOC=105°，∴∠CBO=180°−45°−105°=30°，∴∠ABC=2∠CBO=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB=×20=10cm，∴AC=∴BC、AC的长分别是10cm、cm.【点睛】本题考查的知识点是三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练的掌握三角形的内切圆与内心.考点7圆的综合问题31．（2022·天津·统考中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；（2）证明四边形为矩形，FD=CE=CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．【详解】（1）∵为的直径，∴，由C为的中点，得，∴，得，在中，，∴；根据勾股定理，有，又，得，∴；（2）∵是的切线，∴，即，∵，垂足为E，∴，同（1）可得，有，∴，∴四边形为矩形，∴，于是，在中，由，得，∴．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．32．（2022·安徽·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长；（2）根据切线的性质可得OCCD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．【详解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30∴CD=2⋅OC=2∴∴（2）证明：∵DC与⊙O相切∴OCCD即∠ACD+∠OCA=90∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∵∠ACD=∠ACE∴∠OAC+∠ACE=90∴∠AEC=90∴CEAB【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．33．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于