2023年高考数学第08章 化归与辡证的思想方法

第08章化归与辩证的思想方法

匈牙利数学家路沙•彼得指出：“数学家往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它

变形，直至把它变成能够得到解决的问题”，讲的就是数学解题中化归的思维方法，其在作品《无

穷的玩艺一数学的探索与旅行》一书中对“化归”作过生动而风趣的描述：“假设在你面前有煤

气灶、水龙头、水显，你想烧开水，该怎样去做?”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再

把水壶放到煤气灶上接着路沙又提出第二个问题：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶

中已有足够多的水，那么你又应当怎样去做?”对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到

煤气灶上.”但路沙认为这并不是最好的回答，因为“只有物理学家才这样做而数学家则会倒

去壶中的水，并且声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了

路沙•彼得的比喻固然有点夸张，但这种思维方式对数学家来说是十分典型的，道出了化归

的根本特征.这就是说,在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是把所要解决

的问题经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过另一个问题的求解，把解得的结果作用

于原问题，从而使原问题得解，这种解决问题的思想，我们称之为化归思想.

所谓“化归”，从字面上看，可以理解为转化和归结的意思。在对问题作细致观察的基础上,

展开丰富的联想，以求唤起对有关旧知识的回忆，开启思维的大门，顺利地借助旧知识、旧经

验来处理面临的新问题，化归思想的实质是通过事物内部的联系和矛盾运动，把所需要解决的

问题转化为已经解决的问题，或容易解决的问题，同原问题相比，化归后的新问题必须是已经

解决或较为熟悉、简单的问题，它是数学中最重要、最基本的思想之一.

利用化归解决问题的过程如图8-1所示.

图8-1利用化归解决问题

解题是数学学习的一个最基本的形式,运用辩证的思想和方法探索问题、分析和研究问题,

解决问题，是培养学生辩证思维，提高数学解题能力的有效途径.将一个非基本的问题通过分

解、变形、代换或平移、旋转、伸缩等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出解

答，这一过程其实也是辩证思维的过程.

数学中充满着矛盾、运动和变化，充分体现了辩证思想，包括如下几个重要方面:对立统一思

想、互变思想、转换思想、一分为二思想等，具体表现在下列方面.

(1)“熟悉”与“陌生”：数学解题过程也就是把陌生的问题通过适当变换、逐步转化为熟悉的

问题,化陌生为熟悉起到推陈出新、化难为易的作用.

(2)“合”与“分”：从辩证思维的角度分析数学解题中的分与合，就是化整为零和聚零为整思

想的应用，即在解题过程中先将原问题进行分解、化归为较易解决的小问题，各个手不易解决,

这时应该从问题的反面去思考，这就是“正难则反”，这样解题会收到意料不

(4)“动”与“静”：有些数学问题往往是“静”在其表，而动在其“里”，动和静是事物状态表

现的两个侧面，可用动态的观点来处理静的形态和数量关系，即以动求静，当然也有用静态的

观点来处理运动过程及其对象，即以静求动.因此，在求解数学题时，要善于利用“变动”的思

想，动中求静，静中思动，培养思维的灵活性.

⑸“进”与“退"：在数学问题的求解过程中既要能“进”，更要能“退”，采用以退求进，进退结

合的方法寻求解题途径.如分析法是由结论向条件退，把空间问题转化为平面问题则是由高维

向低维退，由抽象的数学问题向具体的几何模型退."退”为了“进”，进而解决

⑹“一般"与“特殊”：“一般”概括了“特殊”，“一般”比“特殊”更能反映事物的本质,

命题的一般结论可以从特殊情况中反映出来，而特殊情况往往是更具体化、简单化，从而易于人

手，发现解题规律，数学中的归纳思想,也可以看作是从特殊到一般的转换

(7)“强化”与“弱化”很多较难的数学题，一般可采用“弱化”的方法进行思考，但也有

(8)“抽象”与“具体”：抽象是在对事物进行的由表及里、去粗取精、去伪存真的基础上抽取

提炼出事物的本质属性，舍弃事物的非本质属性，借以形成科学的概念和揭示事物的发展规律的

一种思维,具体就是把抽象的概念、结论和规律表现于直观、简单、清晰明确的对象或问题.而

人们认识发展的具体过程常表现为:感性具体一抽象一综合一理性具体.这就是我们运用具体

与抽象的转换思想解题的路线图.

(9)“直”与“曲”：直与曲是两种不同的形象，从其几何特征看，前者曲率是零，后者曲率不

是零；从解析表达式看，前者为直线方程，后者是非直线方程，直与曲的对立是极为明显的,但也能

够统一.实际上，曲直转换的思想早在我国古代就产生了，数学家刘徽在为前人著作《九章算

术》加注时，就在论述割圆术时明确指出了曲直转换的方向：“割之弥细，所失弥少，割之又割,

以至于不可割，则与圆合体而无所失矣当然，曲与直互相转换的思想方法是在微积分中才真

正地实现的.立体几何中有关曲面上的问题，直接求解比较困难，往往把它展开成平面图形，使曲

面(或折面)有关问题转化为平面上的问题,使曲线(或折线段)能化为直线段的问题去求解，运用

“曲”向“直”转化能化难为易。

(10)“主”与“次”：一般而言，代数中的含参数问题以及解析几何中的含参数问题都有一定难

度,对这类问题的解决，有时需对参数的意义，特别是对主元与次元进行转换，也就是“变元”，

起到化难为易、化繁为简的作用,具体为①变换主元、次元的位置；②引人参数代替题中的主元;

③消去主元，使次元升为主元，这些都体现了辩证思想的运用.

用辩证思想解题，除了上述十大关系的转换之外，还有整体与局部的转换、有限与无限的转

换、或然与必然的转换、正运算和逆运算的转换、高级运算与低级运算的转换等.另外，互变思

想也是辩证思想的重要组成部分，包括常量与变量的互变，因果关系的互变、质与量的互变等.

化归与辩证的思想使我们感悟到：一切固定差别都消失了，一切都可以用相对或相反的形式

表示出来，而这种从一种形态到另一种相对或相反形态的转换，并不是无聊的游戏，它是数学

科学的最有力的杠杆之一.

第四十八讲纵向化归解题法

纵向化归是把面临的新问题，通过减元、降维等加工手段化归为已知(已解决)的问题，或是化

归为熟悉的，简单的、具体的问题来处理，最后通过对新问题的解决而将原问题圆满解决，比如

解不等式的化归过程是：

超越不等式一代数不等式一有理不等式一一次或二次不等式.

数列问题的化归过程是：

一般数列问题尤其是递推数列问题一等差或等比数列T结合等差或等比数列的性质求解.

解析几何问题的化归过程是：几何问题一函数或方程问题.

立体几何问题的化归过程是：空间问题(通过构造辅助平面)T平面问题

［例1］(1)当实数a取何值时，方程lg(^-l)+lg(3-x)=lg(l-ar)有一个实数解、两

个实数解，没有实数解？

(2)定义区间(m,n)\m,n\,(rn,n\\m,n)的长度为n-m,其中n>m,由不等式组

［工>1,

<1+x的解集构成的各区间长度的和等于6.求实数t的取值范围.

log2x+log2(?x+3z)<2

【解题策略】

第(1)问是一道含参数对数方程的根个数的讨论，属于经典例题，可以运用代数的方法解，也

可以运用数形结合的方法解，但不论是哪种方法，首先都要把超越方程化归为代数方程

(x-l)(3-x)=l-m:(l<x<3),然后再进一步求解.当然若采用数形结合法,关键在于构造

函数，构造的函数不一样，解法也就各异，如方程(x-l)(3-x)=l-办可以变形为

44

a=x+一一4(1<%<3),令y=x+—-4(l<x<3),y=a,探究这两个函数的交点个数问题;

xx

若直接令y=(x-1)(3-x),y=l—以(l<x<3),可得数形结合的另一种解法，读者可以试一

7

试，作个比较，看怎样的解法是最为简捷的.第(2)问，若设不等式—>1的解集为A,不

等式Iog2x+log2(a+3r)<2的解集为B,则易得A=(—l,6),而后一个不等式显然

x>0,要得到不等式组解集的长度为6,易得xe(0,6),log2x+log2(tr+3r)<2应恒成

立，则解题的思路明朗了,当然键在于如何处理log2x+椎珪珏式组再进一步解下去！

【解】

(1)【解法1】原方程可化为：(x—1)(3-x)=l—依(1<%<3).

即X之一(a+4)x+4=0(I<x<3),令/(x)=x2-(<z+4)x+4.

由题意可知，

△=3+4)2-16=0

①原方程有一个解等价于：/(1)/(3),,0或a+4

解上述不等式或不等式组可得：g熟b1或a=O,经检验a=\不符合题意，

所以当<1或«=0时，原方程只有一个解.

A>0,

②原方程有两个解等价于：/(3)>0,解此不等式组可得：0<。<§，

1。+46

1<----<3

2

所以当0<a<g时，原方程有两个解.

③由①②可知，当«<0或a.A时，原方程没有实数解.

【解法2]

4

原方程可化为：(%—1)(3—力=1-ox(lvxv3),即a=x+—4(1<x<3).

4

令y=%+—一4(1<X<3),y=6Z,分别作出上述两个函数的图像.

X

根据图像交点的个数即可得与解法一同样的结论.

7

⑵不等式-->1的解集/I=(-1,6),

设不等式log2x+log2(rA：+3r)<2的解集为B,

x>0,

log2x+log2(tx+3f)<2<tx+3t>0

tx1+3tx-4<0

不等式组的解集为An5,.-.5c(O,+^),Anfic(O,6).

不等式组的解集构成的各区间的和等于6.

/x+3r>0,/、，，、

不等式组《〃斗*在x4°'6)时恒成立，，ACB=(0,6).

IX十JIX——<U

03.工£(0,6)恒成立

t>f〉0,

等价于,2即，€

4'”为°4

t<2+3，工£(0,6)恒成立

【例2】(2018年高考江苏卷第12题)在平面直角坐标系xOy中，A为直线/:y=2x

上在第一象限内的点，5(5,0),以A8为直径的圆。与直线/交于另一个点D.若

ABCD=0,则点4的横坐标为()

【解题策略】

本题把直线与圆，平面向量的数量积等知识汇合在一起，求相关点的坐标，当然可以从解析

几何的角度求解,也可以平面向量为工具求解，解题时的切入点不同,解法也就不同.在同一系统内,

可以从不同的角度思考，巧妙地转化，本题在几何中蕴含代数特征,如果引进某一个角，则可构

造出三角函数用来处理解析几何问题，若借助平面几何相关知识(如垂径定理、圆周角定理、直

径所对圆周角为直角等)，则可构造出用平面几何知识处理圆的相关问题，只要对题中蕴含的

相关知识融会贯通，从中“悟”出的解题方法彳主往都是优美的、赏心悦目的。

【解法1](构造法一：从直线与圆的交点切人)设A(a,〃)(a>0),而5(5,0),则圆心

以AB为直径圆C的方程为(x-a)(x-5)+(y-2a)y=(),与直线

l-.y^lx联立，消去y并整理得：5(x—a)(x—1)=0.

可得x=l或x=a,则0(1,2),

当直线AB斜率不存在时，A（5,10）,C（5,5）,显然不符合要求，由

2aQ2

kAB-kCD=~—--^—•=-1解得a=3或«=-1（不符合条件，舍去）.

a-5£+3_]

2

点A的横坐标为3.

【解法2】（构造法二：从点到直线的距离切入）由于ABCD=O,即AB±CD,而AC=

DC,贝IJZDAC=45.

圆C以AB为直径，.•./ADB=90,

2x5i-

点3（5,0）到直线I的距离为d=\DB\=-j===245.

设A（a,2«）（a>（））,贝IJ=府牙=&0百=2加,解得a=3或

a=-l（舍去点A的横坐标为3.

【解法3】（构造法三以向量法切入油题意可设4（。,2〃）,。（h2））（4>0）,则

AB=（5-a,-2a）,CD=（b-^-,2b-a\BD=（b-5,2b）,OA=（a,2a）

I2）

圆。以A8为直径，则有/AO3=90,.・.O4BO=0,又A3CO=0,

。3-5）+2。.2匕=0,[i-3

（5-a^b--2clpb—a）=0,解得h=—1（负值舍去”

..•点A的横坐标为3.

【解法4】（构造法四:引入三角知识结合斜率公式求解）由ABCD=G即AB_LCO,而

AC=DC,则^DAB=45.

设直线/:y=2x的倾斜角为a,贝IJtana=2,

,▲ncjccAU\(AU\tan45+tana、

tan^fABO=tan(18()-45-a]=-tan(45+a)=------------------------=3

')')1-tan45tana

则直线AB的斜率kAB=-tanZABO=-3.

2〃

设A(a,2a),则由k=------=-3,得a=3.，点A的横坐标为3.

ABa-5

【解法5](构造法五:运用平面几何知识求解)由ABCD=0,:.AB1CD,而AC=DC.

则/D4C=45,而圆C以AB为直径，则ZADB=90,

设OD=m(m>Q),由于直径I的斜率为2,可知tan/AOB=^=2,故DB=2m.

在RtODB中，加2+(2m)2=OB2=25,解得m=s/5.

在RtADB中，可得AD=DB=2G由三角形的等面积法可得

^xOAxDB=^xOBxyA,解得力=6,代人直线/:y=2x,可得乙=3,

点A的横坐标为3.

【例3］如图8-2所示在斜三棱柱ABC-AB£中，侧面与侧面ACC,A,成

60角，且两个侧面的面积之比为SABB向：SACGA=8:5,若这个棱柱的侧面积为60兆m2,

体积为15百cnr）且.已知斜三棱柱的体积等于直截面面积与侧棱长之积，求侧棱长/.

【解题策略】

有关斜棱柱侧面积和体积的计算直接求解是困难的，可以通过斜棱柱的直截面这个辅助平面求

解，斜棱柱的直截面就是与各条侧棱垂直且相交的截面，于是有S辞棱柱侧=直截面周长

*侧棱；。梭柱=直截面面积*侧棱，因此，构造斜棱柱的直截面能方便快捷地求解斜棱柱

的侧面积和体积（实质上已化归为平面问题）.

【解】

作直截面DEF,如图8-3所示.则/EDF=60,

：S*CGA=（A4°E）：（4\DF^=8:5,DE:DF—8:5.

设DE=Sx,DF=5x,由余弦定理得

EF=J（8x）2+（5x，-2.8%.5元.cos60=”

c

图8-3

（8x+5x+7x）/=60

由<1厂得/=6（cm）.

—•8x-5x-sin60-I=15v3

[2

x2y2

【例4]⑴设片,区是椭圆可+,=1的左右焦点，弦A3过点F?,求ABK的面积

的最大值；

x2y~

（2）过椭圆—+^-=1的左焦点月作一直线交椭圆于P,Q两点，A为椭圆的右顶点,

求..PAQ面积的最大值.

【解题策略】

本例两小题都是求与椭圆相关的三角形面积的最大值，由于两小题都涉及动直线问题，引进参

变量显得很重要.第（1）问，设动直线A8的倾斜角为参数，则可扣住椭圆定义结合余弦定理获

得一种巧妙的解法，其解题过程是把解析几何问题化归为三角函数问题，并通过换元化归为耐

克函数性质的研究.第（2）问，以动直线PQ的斜率左为参数,则要分类讨论斜率不存在的

情况，而且要求三角形面积的最值，由于解析式较为复杂，解题的技巧性很强，且方法也多，如可以

通过变形化归为代数函数求最值,或通过去分母并换元化归为二次方程用判别式法求最值，还可

通过三角换元与代数换元化归为“耐克函数”求最值.

【解】

图8-4

(1)如图8-4所示，设/俎3=2(()<2V4),[247^=〃2,忸用=".由椭圆的定义知

|A娟=26一〃2,忸制=26一〃，忻闾=2o

在⑥人入耳和BF?F\中，应用余弦定理得

(2退一相了=4+m2-4mcosa,

<__

(2>/3-n)2=4+A?+4〃cosa,

22

m=—j=------,n——j=------

>J3-cosaj3+cosa

•二SQA6=g|K8||力一力|二gx2x(m+〃)sina

,22).4Gsina

=—j=---------+-T=------sin<7=----z—

<>/3-cosaV3+cosaJ2+sin~a

令sina=r,g(f)=^^y(O<&1)

■z^O,.-.g(z)=-一在(0,1]上是增函数，

一+1

t

14r~

当t=\即a=-时，g(/)niax=-.故A电的面积的最大值为-V3.

(2)耳(一1,0),4(2,0),且当直线PQ的斜率不存在时，|凹一%|=3.

13Q

5%0=5|弘一对|百山=习乂一%|=1当直线尸。的斜率存在时，设直线P。的方程为

y=k(x+l)(Z：HO),P(X|X),。(々%)

y=k(x+l),

联立方程组y2_消去X并整理得(3+4F)y2-6ky-9k2=0,显然A>0,

143

6k9k2

X+%=3+4*X〉L3+4公,

4+

小7=h+%)-^=13+4^]3+4^36k2+36公(3+4产)

-v(3+4㈠2

42

•q挤-y2MAi=18二、2,设/(%)=18

一PAQ

(3+4左2)

下面用多种方法求/小）的最大值.

【解法1】设A=tan6,其中0,|u71,

2

2

(tan^+l)tan^sec仇an6jkecOtanq

则/(%)=g(e)I，S^e=18X4sec^-l

(3+4tan2^)23+4tan2<9

S，n]

18x-l^^18x,设r=|sin^|,/G((),l).

3+side扁+M喇

3Q

则〃«）=/+：在re（0,1）上是减函数，二./2，）＞/2（l）=4,/.Sw=18力⑺＜5；

jrQ9

当e=5时，sPAQ..综上，_PA。面积的最大值为

解法21

/+公5（m+3f4（叱+3）-21

3

〃?(％)

(3+4左2/(叱+3)2168(4公+3)16(4二+3)2

八1，八1

令t=―——，贝(I0<r<-,

4F+33

1

+21t+~

3

又函数g⑺在（（）,；）上是减函数，..*（；）＜g（/）＜g（（））,即0＜gQ）＜《.当

TT9

时，由解法一得s?股=3,

9

综上，..PAQ面积的最大值为

k4+k211

【解法3］加（%）=--------------=------------<---

16/+24二+9入8/+916

16+—：---z-

9

综上，PAQ的面积的最大值为-

第四十九讲横向化归解题法

横向化归就是通过对命题的有关量进行转换，各学科知识间的转换，等价变换命题，运用

同构变换等手段将生疏、复杂、困难的问题转化为熟悉、简单的问题来处理.

【例1】设a,b^R且方程x4+axJ+bx2+ax+l=O至少有一个实数解，试求/+〃的

最小值

【解题策略】本例是一个有实数解的高次方程，求方程系数构成的代数式a2+b2的最小值.

从方程角度去解是困难的，但是我们分析方程系数的特点,发现其具有对称性，且又都是一次

的，如果把它看成是a,b的方程，显然是一条直线的方程;如果设片+〃=产,可看成点（区为

在圆上，则原命题等价变换成直线与圆的位置关系问题，即求直线与圆至少有一个公共点时，半径

平方的最小值.这就是运用同构变换等手段将复杂的高次方程问题化归为熟悉、容易处理的直

线与圆的位置关系问题.

【解】因方程至少有一个实数解，不妨设为m^O,代人得加2+4m+6+@+_\=0

mnr

设a2+/?2=r2,构造直线+—a+b+［m2+^-=0.圆。:/十尸二产.则两者

kmJV3J

之间必有公共点（。/），因此圆心到直线的距离小于或等于半径，

444

所以r2...-,即a2+b2的最小值为y,当且仅当m=+\时a2+b2取得最小值不

［例2］如图8-5所示NM0N=6G,边长为a的正三角形ABP在NMON内滑

动（不能翻转），使得A点始终在OM上，B点始终在ON上，求P点的轨迹方程.

AM

图8-5

【解题策略】

本例中A点在射线OM上移动，B点在射线ON上移动，求正三角形另一个顶点P

的轨迹方程,常用的求轨迹方程的基本方法如直接法、转移法、参数法很难用上,定义法则根本

不相关.对于这类与旋转有关的轨迹问题，采用复数方法来处理具有方便、直观,简捷的优点,

因为复数的向量表示把代数与几何融为一体，复数的乘法运算反映在几何上正好是向量的旋

转.这种横向化归命题实质上也是同构变换.

【解:】

图8-6

如图8-6所示，以O为原点，OM所在直线为x轴建立复平面.

设AB,P3点对应的复数分别为ZA=m,ZB=H4-V3ni,Zp=x+yi,

则ZftA=Z*_Zp=,

又BP可由BA逆时针旋转60而得到.

m+2nV3(m-2n).

ZBp=ZBA-(cos60+isin60)=(加一〃一

(2222

加+4〃V3.

•7—74.7+——m\.

..乙一乙乙BP：-----

P8T22

加+4〃2卦①

x=------

2

=>V

6

y=——m②

22>/3

又KJ=。，即(m-n)2+(A/3H)2=a2,

将①②R人，整理得：3£+7/-4方孙-3/=0,

故P点的轨迹方程为3X2+7/-4V3A>'-3«2=0在NMON内的部分.

Y

［例3］在平面直角坐标系xOy中，设P（x,y）是椭圆y+/=1上的一个动点，求

S=x+y的最大值.

【解题策略】

本例思考方法不同导致形成求解过程的多样性，可以横向化归转化为由方程组有解求S

的最大值，可以利用椭圆的参数方程横向化归为求三角函数的最大值，也可以纵向化归,通过坐

标变换讨论圆与直线有公共点时求S的最大值.

X2T

【解法1】由方程组T+y='消去x后整理得方程4y2—2Sy+S2—3=0①方程①

x+y=S

有实根，则判别式A=4S2-16（S2-3）=48-1252..0,解得-2掰2.

：.S=x+y的最大值为2.

【解法2】椭圆—+/=1的参数方程为7,。为参数，代入S=x+y

3［y=sin。

Q1

得S=Gcos6+sine=2sin（e+60）,当6=30,即x=—,y=—时，

S=x+y的最大值为2.

【解法3］对椭圆和直线方程进行如下坐标变换：

令卜'=不,则卜=3’’则椭圆和直线方程分别变成F+^=1,②

,［fs="y,③

。一），

此时圆方程②和直线③仍有公共点，

_|-5|

则圆②的圆心（7（0,0）到直线^3x'+y'-S=0的距离d=-\=J=„i,

V3+1

解得—2效JS2,故S=J§x'+y'=x+y的最大值为2.

第五十讲同向化归解题法

同向化归就是把面临的新问题进行命题分割或命题分解，化归为某一（或几）个可简捷处理的子

问题，解决了这一（或几）个子问题，从而也就解决了所有子问题，或在推演中，进行同理推导同解

变形化简等，这种化归是在同一层次上“平行”转化.

［例1］已知数列M，｛bn｝都是公差为1的等差数歹上其首项分别为4，白，且

4+4=5,q,4eN*,设求数列｛c„｝的前10项和.

【解题策略】当我们接触的问题存在着大量可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逡辑方

法排除时，我们只能对每一种可能的情况逐个加以讨论，解决了这些子问题，原来的命题也就完

全解决了，本例中由条件可知4,&的取值有多种情况,必须对每种情况进行研究，才能得到原

问题的最后结果.

解：由题设4+4=5,q,4@N*,可将适合条件的可能情况一一列举出来,一共有4种

=1,q=2,1%=3,q=4,

情况：《下面逐一求解

4-4,瓦=4,4=3,〔4=1,

子问题(1)：当q=l,4=4时，an=n,bn=n+3,cn=arl+3.

10(a+.3)

4=

S]0=q+++CJQ=+Cl^++。]3=---------85.

子问题(2):当。］=2,4=3时，an=n+\,hn=n+2,cn=an+2.

10(%+al2)

S］o=G+Q++Go=%+%+…+《2=-----------=85.

子问题(3):当%=3也=2时，4=〃+2也=〃+l,c〃=a〃+l.

10(〃2+%1)c

S］。=q+c,++C|Q=々2+03++41=------------85.

子问题⑷：当q=4,4=1时,an=n+3,bn=n,cn=an.

K)(a+a0)

Si。=c'|+c,++C|Q=q+a,++q。=-----------=85.

因此，无论哪种情况均得到数列｛cn｝的前10项和为85.

【例2］设/(6=%2一天+左，若log2/(«)=2,/(log2a)=k(a1,a>0),求使得

/(logx)>/(l)

,22)成立的x的取值范围.

【解题策略】

本题结构较为复杂，初看似乎难以下手去做，若根据同向化归解题法，把原问题分解为几个基本

的子问题，然后逐个解决，所有的子问题全部解决了，整个大问题也就获解了.由题意，原问题可

以分解为如下4个子问题：

子问题1：由方程/(log2«)=A:,求a的值；

子问题2:由方程log2/(a)=2,求k的值；

子问题3:求/(1)的值；

子问题4:解不等式组求x的取值范围.

［解］

按上述子问题的顺序逐一解答.

子问题1：由/(log2«)=A:=>logjtz-log2<7+k-k=>log2fz(log2«-1)=().

,a#0,ar1,log2a*0,log2a-1=0log2a=1=a=2.

子问题2:由Iog2.f(a)=2nk)g2(a2—a+%)=2.

2

a-a+k=4,把a=2代人得：k=2.

子问题3:/(l)=F-l+左=2.

子问题4:由上述所求各值，原不等式可化为：

log^x-log2x+2>2(log2x(log2x-l)>0,J］睢M(1域2x)

log,2—2)<2%2—x+2<4x~-x—2<0

0<x<l或x>2,

\=0<x<l,此即为x的取值范围.

-l<x<2

［例3］一个小于400的3位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数还是平方数,

其个位数也是一个平方数,求这个3位数.

【解题策略】

可采用同向化归解题法和枚举与笑选并用的策略，即依据题中限定的三个条件步步深入，面对

枚举出的情况逐步排除不符合条件的三位数确定满足条件的三位数.

【解】

本题共提出3个条件：

(1)一个小于400的三位数是平方数；

(2)这个三位数的前两位数字组成的两位数还是平方数；

⑶这个三位数的个位数也是一个平方数.

先找出满足第一个条件的三位数：

100,121,144,169,196,225,256,289,324,361

再考虑第二个条件，从中选出符合条件者：169,256,361.

最后考虑第三个条件，排除不符合条件的256，于是找到答案是169和361.

【例4】设集合A={x[l<x<3},又设集合B是关于x的不等式组

x2-2x+a,,0,①

2，、的解集，且试确定a,b的取值范围.

x2-2bx+5„0,②

【解题策略】

若设集合B]是不等式⑴的解集，集合B2是不等式⑵的解集，则B=BQBZ,由于

两个不等式都含参数，求5,n52并非易事,既要分类讨论又极易出错，如果运用同向化归，则

简捷多了！根据题设AuBoAqBi且层.两个参数“分而治之"，清清楚楚！

【解】

2

若记/(x)=x-2x+«,fi,为不等式①的解集；记g(x)=炉-2bx+5,B2为不等式②的

,⑴，，。，曰

解集，则B=国.于是AcBoAcB,且A^B.结合图像易得

2/⑶，，0

g⑴,,0,

=-3且b..3.

g⑶,,0

第五十一讲逆向化归解题法

人们在处理问题时，常常按照习惯的思维途径去进行思考，运用习惯的化归方式方法去转化解决

问题,但按照这种思考方式或化归方式在很多时候也会出现较繁或较难人手的情形，或出现一些

逻辑上的困惑，这时，从辩证思维的观念出发，从问题或其中的某个方面的另一面人手进行思考,

例如针对常规处理方法,针对问题条件、结论、求解程序、推理步骤进行逆向化归，采取顺繁则逆、

正难则反的适时化归措施，这就是所谓的逆向化归思想，逆向化归的形式，常有升格(升维、升次、

增项、增元、扩域等),倒推、反求、反证、举反例等.

【例1】已知sin%+cos%=1,求sin«+cosa的值.

【解题策略】若直接从条件出发通过变形求sina+cosa的值，其运算肯定繁杂，顺繁则逆，如

果从sine+cosa这个所求式出发却易得siir'a+cos%；,故逆向化归求解本题较为方便.

【解】

设sinc+cosa=A,两边平方，得：sinacosa=-------.

2

由已知条件可得sin3cz+cos3ez=(sinor+cosa)fsin2«-sincifcostz+cos2a)=1.

代换后得女{1—=1.即女3—3左+2=0,亦即(公―1)—3伙—1)=0,亦即

("1)(公+女—2)=0,.•.仅一Ip仕+2)=0,解得k=l或k=-2(不合题意，舍去).

故知sincr+coscr=l.

［例2］解方程：&-10x+26-4+10x+26=6.

【解题策略】

若直接解此无理方程，运算量相当大，由根式联想到两点间的距离并通过升维化归为一个

动点到两个定点距离之差，进而联想到双曲线方程,这是一种妙思巧解.

［解］__________________

原方程可化为“r7y+l-7(%+5)2+1=6.令1=/，得：

{(x-Sy+y2-J(x+57+丁=6.；

上式表示动点P(x,y)到大(一5,0),与(5,0)的距离之差为6的点的轨迹.

22

显然是双曲线的左支，其标准方程为：--匚=1(%,-3),

916

当/=1时，x=—?J万，故原方程的解为x=万.

44

［例3］若a3+b3^2,求证：a+b„2.

【解题策略】

不论是综合法还是分析法证明此题都很困难，运用反证法即假设结论a+b„2的反面即

a+b>2成立，结合条件a3+Z?3=2推出与假设予盾，反证法也是逆向化归解题法的一种.

［证明］

(1V3

彳度设a+b>2,a"—ab+b~=a—hH—h"..0.

I2J4

而取等号的条件为a=b=0,显然不可能，所以a2-ab+b2>0.

贝ija。+"=(a+8),(4—ab+b~>2(a~—ah-\-b~,而+b'=2,故a?—ab+

h2<1.

所以1+。。>。2+匕2..2。。，从而ab<l,所以a1+b2<\+ab<2.

所以(a+6)2=。2+/+2。匕<2+2。人<4,所以a+b<2

这与假设矛盾，故a+b„2.

【例4】已知集合71=1x|1g(x2-2ax+a2+1)<lg2},B={x|(2x-a)(x-4)>0),

若Ac3w0,求实数a的取值范围.

【解题策略】

易求得集合A={xla—l<x<a+l},而集合B中对应方程(2x-a>(x—4)=()的

a

两个根为-和4.若要确定集合B,则需要对。的取值分类讨论，同时为使

2

Ac5#0成立,还要对最或4与或a+l的大小关系进行分类讨论.两重讨论甚

为烦琐，按照正难则反的解题原则，从的反面AnB=0方向去思考，适时采取

逆向化归措施，正如德国数学家雅可比(C.G.J.Jacobi,1804-1851)所言，“运用逆向思维要

经常反向思考问题”，常常可找到简捷的解法.

【解】

易得A={x|a_l<x<a+l},设函数/(%)=(2x-«)(%-4).

当=0时，由于抛物线开口向上，则

/(a-1)=[2(a-1-4)”0,

解得2黜3.

/(a+l)=[2(a+l)-a](a+l-4),,0,

故要使Ac8w0,只须a<2或a>3.

第五十二讲互变思想在解题中的运用

矛盾着的东西往往也都互相联系着，不但可以在一定条件下共处于一个统一体中，而且可以

在一定条件下互相转变，如“熟悉"与“陌生"，"合”与“分"，"正"与“逆"，"动"与

“静”，“进”与退”，“一般”与特殊”，“强化”与“弱化”，“抽象”与“具体“，"直”与

“曲"，“主"与‘次‘，“整体"与“部分”，“有限”与“无限”，"或然"与“必然’等.-

个事物矛盾的两个方面，既是对立又是统一的，更是可以相互转换的，从哲学上讲既是“一分

为二”，又是“合二为一”，互变是化归的一种手段，但比化归更深刻，哲学的意味更浓，当今学

术界倡导的批判性思维,在数学上的体现就是“互变”，就是对立又统一的辩证思想.

关于互变思想在解题中的运用，本书各章都有涉及，在“转化与变换的思想”这一章中已有

多个专题进行论述.本章及本专题对此稍加拓展，可以这样来表述:互变思想是指在处理、解决

数学问题的过程中有意识地考虑对问题进行相互变化，从彼此相反的状态、形式中寻找相互变

化的途径.

【例1】在实数集内解方程：一出d一为衿一g=0

【解题策略】

本题是一个四次方程，且系数含无理数，用通常的方法不易求解，但如果把省视为主元，把

X视为参数，由衿=(次)2,可得以班为主元的二次方程，解之就简单了，这种题中元素

之间角色的互换为某些看似难以解答的问题开辟了一条通道.

【解】

原方程变为(次)2-(/+*+1)次+(/+/)=0

解上述关于痴的二次方程得：出=9,次=x+l.

于是,%=不,&=昭-1.

【例2】在坐标平面xOy上有一运动着的梯形48。。,4。//8。,2。=45,/4=90,

AB=AD=2y/3,梯形在04+03=4的条件下运动，求原点0到直线CD的最短距离.

【解题策略】

相对于原点。，梯形是在运动的，直线CD是动直线很难表示，若“动”与“静”互换角

式，将梯形看作是静止的，则原点。是运动的，A,B就成为两个定点，则。的轨迹可求,

CO也就成为定直线了，解题思路在角色的“动”“静”互变中产生了.

［解］

因为梯形是运动的，所以动直线的方程难以表示，即使求得，也必含参数且比较复杂.若将梯

形看作静止而原点。是运动的，则由OA+OB=4,AB=26可知，动点。的轨迹是

以A8为焦点的椭圆.建立以AB中点。'为“原点”，AB中垂线为V轴的新坐标

'2

交x'0'y',则直线CD的方程为：x'+y'-3百=0,动点。的轨迹方程为x2+^-=l

设。在新坐