2023年上海市奉贤区致远重点中学高考数学模拟试卷（5月份）

2023年上海市奉贤区致远重点中学高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设xeR,贝IJ—是‘々2+》一2>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.以下能够成为某个随机变量分布的是（）

O

A.1

123

111

C.--

2-48

3.2023年，我市仍试行“3+3”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目

外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮

助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成

雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）

物理

甲同学成绩年级平均分

A.甲的化学成绩领先年级平均分最多

B.甲有2个科目的成绩低于年级平均分

C.甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理

D.对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果

4.己知w>0,函数/'（x）=3s讥（wx+[）-2在区间g,兀]上单调递减，则w的取值范围是（）

A.（0,1]B.（0,2]C.[i|]D.[1,

二、填空题(本大题共12小题，共54.0分)

5.已知集合4=(1,3),集合B=(2,4),则4nB.

6.在复平面内，点4(一2,1)对应的复数z,则|z+l|=.

7.函数y=lg(l+x)-lg(x—1)的定义域是.

8.等差数列｛an｝的前9项和为18,第9项为18,则｛每｝的通项公式为.

9.已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为_.

10.二项展开式(2%-》6的常数项的值为.

11.有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码

1、2、3,从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是.

12.已知X服从正态分布N(2,or2),且P(X>3)=0.1,Ki]P(l<X<2)=.

13.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅

(1470-1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm2.

14.已知直线L丫=2%一10与双曲线右一，=19>0方>0)的一条渐近线平行，且经过

双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为.

15.已知一组成对数据(18,24),(13,34),(10,38),(一1,m)的回归方程为y=-2%+59.5,

则该组数据的相关系数「=(精确到0.001).

16.已知定义在R上的奇函数/(X)满足/(I-x)+/(I+x)=2,当xG[0,1],/(x)=2x—

x2,若/'(x)2x+b对一切x6R恒成立，则实数b的最大值为.

三、解答题(本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题14.0分)

已知函数/'(x)=2y/~^sinxsin(^+x)-2cosxsin(^-x)+1.

(1)求函数/(无)的最值；

(2)设AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若fQ4)=2,b=2,且2sinB+sinC=

CsinA，求△ABC的面积.

18.(本小题14.0分)

如图，将边长为2的正方形ABC。沿对角线BD折蠡，使得平面4BD1平面CBD,AE_L平面力BD,

且4E=

(1)求证：直线EC与平面ABO没有公共点;

(2)求点C到平面BED的距离.

19.(本小题14.0分)

某农科所为了验证蔬菜植株感染红叶螭与植株对枯萎病有抗性之间是否存在关联，随机抽取

88棵植株，获得如下观察数据：33棵植株感染红叶蛾，其中19株无枯萎病(即对枯萎病有抗

性)，14株有枯萎病；55棵植株未感染红叶蛾，其中28株无枯萎病，27株有枯萎病.

(1)以植株“是否感染红叶螭”和“对枯萎病是否有抗性”为分类变量，根据上述数据制作一

张列联表；

(2)根据上述数据，是否有95%的把握认为“植株感染红叶蛾”和“植株对枯萎病有抗性”相

关？说明理由.

n(ad-bc)2

附：X2P(Z2>3.841)x0.05.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

20.(本小题18.0分)

已知椭圆［+1=1的左右焦点为Fi、F2,过M(>n,0)(M不过椭圆的顶点和中心)且斜率为k直

线1交椭圆于P、Q两点，与y轴交于点N,且而=4而，NQ-/zMQ.

(1)若直线，过点尸2，求△国「(?的周长；

(2)若直线1过点?2，求线段PQ的中点R的轨迹方程;

(3)求证：2+〃为定值，并求出此定值.

21.(本小题18.0分)

己知函数/'(x)=Inx—mx+m(meR).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若/(%)<0在xe(0,+8)上恒成立，求实数m的取值范围;

(3)设x>0,求证：(1+；尸<6<(1+；尸+1.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础.

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】

解：由“|x—2|<1"得1cx<3,

由/+x—2>0得x>1或x<—2,

所以“|x-2|<1"是"％2+工一2>0”的充分不必要条件，

故选A.

2.【答案】B

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,P(X=0)=P(X=1)=1,不满足P(X=0)+P(X=1)=1,不符合题意；

对于8,P(X=-l)+P(X=0)+P(X=1)=1,每个变量的概率都大于0小于1,符合题意；

对于C,P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,不符合题意；

对于0,P(X=1)=-0.5<0,不符合题意.

故选:B.

根据题意，由随机变量分布列的性质依次分析选项是否符合题意，即可得答案.

本题考查随机变量的分布列，注意分布列的特点，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：对于4根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，故A错误；

对于B,甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，故B正确；

对于C,甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，故C正确；

对于D,对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、

政治中优势最明显的两科为化学和地理，

故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即。正确.

故选：A.

根据雷达图，对四个选项逐个分析，可选出答案.

本题主要考查了统计知识，涉及到雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，属

于基础题.

4.【答案】。

【解析［解：由+wx+岸2%+等,k6Z,得西+西+畀，keZ,

242w4ww4w

即函数的单调递减区间为［码+9,西+当,k6Z,

Lw4ww4w」

令k=0,则函数/(x)其中一个的单调递减区间为：［言,篇］,

函数f(x)在区间由网内单调递减，

r

l>兀

57一T

满

足<-得厂国，所以w的取值范围是住

4W工<

)九

-一

l2

4W

故选

根据正弦函数的单调性求出函数“X)的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系

进行求解即可.

本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】(2,3)

【解析】解：因为集合A=(1,3),集合8=(2,4),

则4nB=(2,3).

故答案为：(2,3).

由已知结合集合的交集运算即可求解.

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

6.【答案】＜7

【解析】解：在复平面内，点2(-2,1)对应的复数z,则|z+l|=|-2+i+l|=|-l+i|=

J(-1)2+/=口

故答案为：y/~2.

求出复数z+1,然后求解复数的模.

本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力.

7.【答案】（1,+8）

【解析】解：由题意得ci;7二,

解得x>L

故答案为：（1,+8）

根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目.

8.【答案】an=4n-18

9x8

9%+.d=18,解得e]=-14,

{ar+8d=18Id=4

故册=—14+4（n-1）=4n—18,

故答案为：an=4n-18.

9x8

解之即可.

{9^+—d=18；

a1+8d=18

本题考查等差数列的通项公式及其应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题.

9.【答案】2\1~2

【解析】解：因为ab=a—b+3,解得：/?=喑=1+=，

Q+1a+i

则a+b=a+ld——•>2V2>

a+1

当且仅当a=V"攵—1，b=/2+1时取等号.

故答案为：2口.

利用等式ab=a-b+3求解b,代入a+b计算，结合基本不等式，即可求得a+b的最小值.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

10.【答案】-160

【解析】解：•：(2X—；)6的二项展开式的通项公式为4+1=Cr•(2x)6f(_ar=盘,

26-r(-1)rx6-2r(

令6-2r=0>求得r=3>

则展开式的常数项等于叱23(_I)3=-160,

故答案为：—160.

先求出二项展开式的通项公式7；+1，然后由6-2r=0,求出r,再求出常数项的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.

11.【答案】j

4

【解析】解：反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，

取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是P=吗上=p

1

4-

反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概

率.

本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养,

是基础题.

12.【答案】0.4

【解析】解：随机变量X服从正态分布N(2,O2),

.•.曲线关于X=2对称，

P(1<X<2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3)=0.4.

故答案为:0.4.

随机变量X服从正态分布N(2/2),得到曲线关于X=2对称，根据曲线的对称性得到P(1<X<

2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3),即可得到结果.

本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题.

13.【答案】704

【解析】解：如图，设乙4。8=0,OA=OB=r,

=rd

由题意可得:

=(r+16)。'

解得：r=g,

所以，S扇面=S扇形OCD-S扇的AB=IX64x(y4-16)-ix

48

24Xy=704cmo2.

故答案为：704.

24=rd

设乙4OB=9,OA=OB=r,由题意可得:解得r，进而根据扇形的面积公式

,64=(r+16)。'

即可求解.

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题.

14.【答案】［一（=1

【解析】解：双曲线盘一\=1（。>0,6>0）的渐近线方程为'=±如，

由y=2x—10,取y=0,得久=5,

•••直线2：'=2尤一10与双曲线W一\=19>03>0）的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个

焦点,

-=2a=y/~522

a

,=2口，二双曲线的标准方程为言—1=1・

C=5/

。24-fa2=C2{c=5

故答案为：

由题意可得关于a，b,c的方程组，求解a与b的值，则答案可求.

本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，是中档题.

15.【答案】-0.998

—1—i

【解析】解：由条件可得,x="x(18+13+10-1)=10,y=ax(24+34+38+m)=96+巾,

（£分一定在回归方程y=-2x+59.5上，代入解得m=62,

故y=？

2

=1192,Sf=1Xj=594,£f=i%2=7O20,

r=葭】芋;由2,-0.998

J(第闻-4丁乂第］*_石2

故答案为：—0.998.

一组成对数据的平均值G3)一定在回归方程上，可求得zn,再利用相关系数r的计算公式算出即

可.

本题考查相关系数的应用，属于中档题.

16.【答案】一:

【解析】解:因为f(l+x)+〃l-x)=2,

所以f(x)的图象关于(1,1)中心对称,

当xe［—1,0］时，/(x)=—/(—x)=x2+2x,

故/(X)的图象如图所示：

结合图象，可知只需当xe时，f(x)=/+2》2》+8即可，

即bW(x+")2_/,故

所以b的最大值为一；.

4

故答案为：—

4

根据题设条件画出函数的图象，结合可知只需当xe［-1,0］时，/(无)=X2+2%2％+8即可，然

后求出实数b的最大值.

本题考查了函数的奇偶性和不等式的恒成立问题，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为/"(X)=Zl5sinxsinG+x)-2cosxs〃G-x)+1

=2>J~3sinxcosx—2cos2x4-1=\T~3sin2x—cos2x

=2sin(2x—1),

所以/(%)的最大值为2,最小值为-2.

(2)结合(1)可知f(A)=2s讥(2/一看)=2,所以sin(2A=1.

因为46所以24—6(―

ooo

^riti2cAA--7T=-7T,A=~7.T

OZ3

由余弦定理得cosA=="七包=1,

2bc4c2

化简得层=c2-2c4-4①.

又2sinB+sinC=yT~7sinA^

由正弦定理可得2b+c=/7a，即4+c=「a②,

结合①②得a=「,c=3或&=亨,c=|.

当c=3时，SA.BC=bcsinA=3'：

当c=|时，SMBC=\bcsinA=?.

综上，△ABC的面积为厚或空.

23

【解析】(1)把/(X)化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为X,再用二倍角公式把二

次项化为一次项，同时把角化为2X,最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；

(2)先求出角4,由余弦定理得到关于a,c的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含Q,c的方

程，联立方程组即可解出a,c的值，再代入三角形的面积公式即可.

本题主要考查三角形中的几何计算，属于中档题.

18.【答案】解：(1)•，取DB中点。，连接40,C0.

■：^ABD,△。。8都是以。8为斜边的解三角形，二2。，。8,

CO1DB,

又平面4BD_L平面CBC,平面4BDn平面CBD=DB,•••C。J_面ZBD,A。_L平面CBD.

■.■AE，平面ABD,AE//CO,AE=CO=V-2-四边形40CE为平行四边形，

:.AO]ICE,CEC面ADB,40u面ADB,

CE〃面ADB.

；.直线EC与平面ZBD没有公共点；

(2)由(1)可得EC1面CDB,

22

在ABDE中,BE=DE=VAE+AB=<6-BD=2「，二SABDE=：BD-E0=2<7.

V&C-BDE~V&E-BDC，：,3x2\/~2-d=--2-V~2,d=1.

.••点C到平面BED的距离为1.

【解析】(1)取DB中点。，连接4。，C。.可证明四边形40CE为平行四边形，可得CE〃面40B.即直

线EC与平面4BD没有公共点；

(2)VAC-8°E=〃E-BDC，7x2yl~2-d=1-2-可得点C到平面BED的距离•

本题考查空间点、线、面位置关系，线面间的距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能

力、空间想象能力，考查化归与转

19.【答案】解:(1)见下表:

感奥红叶螭未感染红叶螭总计

对枯萎病有抗性192847

对枯萎病无抗性142741

总计335588

(2)①提出原假设为：植株感染红叶蝌与植株对枯萎病有抗性无关，

②确定显著性水平a=0.05,

2

③计算22的值.将列联表的数据代入户的计算公式得了2=88x(19xj7-28xl4)°0368，

33x55x47x41

④统计决断：由P(7223.841)a0.05,而0.368<3.841,小概率事件没有发生，故不能否定原

假设，

因此，植株感染红叶蛾与植株对枯萎病有抗性无关.

【解析】(1)数据分析填写列联表；

(2)在(1)的基础上，计算卡方，与3.841比较后得到答案.

本题考查了独立性检验，属于中档题.

20.【答案】解(1)由题意椭圆[+4=1的长轴长2a=4.

42

&PQ的周长为|F】P|+\PQ\+IBQI

=1尸/|+|尸2「1+1尸2<21+1尸1(21

=4+4=8.

(2)由题意直线匕y=k(x-。).

由得(1+2k2)x2一4V_2/C2X+&2-4=0,

由题意△>0恒成立.

设P(X21)，Q(x2,y2),R(x,y),

4D必

则X]+x

21+2必'

xi+x2>T2k2,2'厂求'f

•••x=\2=------,yk(------r-V2)=-

2l+2k2T'1+2/1+2必

2吃必

X=7"

即《1+2/L,(k为参数).

V2k

丫二一,

消去k得点R的轨迹方程为/+2y2一—X=0(%H。).

证明：(3)由沛=a9，得(%1，丫1-VN)=4(%1—血，为)，

•••A=-"1一•同理〃=-".

1

Xi~m)H「x2—m

由题意直线/的方程为y=k(x+m),

代入3+y=1得：(1+2/c2)x2-4mk2x+2k2m2-4=0,

由题意△=(—4mk2)2—4((14-2k2)(2k2m2—4)

=8(4/c2+2-fc2m2)>0.

227

由韦达定理得的+血=——%1%2=——-2~，

liZrvJ.TZ/V

Xi%2

・•"+〃=------------1------------

x1-mx2—m

11

=2+m(------------1------------)

—mx2—m

x1+x2—2m

=2+m----------------；-----------；-------不

%1%2—皿％1+%2)+加

2m

2+心^_1±2^--------------

2km2-4_m._4km^+m2

l+2kz1+2kz

—2m2

24--------------------------------------------------

2k2m2-4—4k27n2+m2(l+2/c2)

—2m28

24_________=_______

=—4+m24—m2

综上可知;l+〃为定值屋%.

【解析】本题考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值

的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用.

(1)根据椭圆的定义可得△&PQ的周长，

(2)由题意直线［；y=k(x-C),根据韦达定理，和中点坐标公式，消去参数即可求出线段PQ的

中点R的轨迹方程；

(3)根据向量的运算可得4+〃=鼻+匕，再题意直线［的方程为y=k(x+m),代入=+4=

1,由此利用韦达定理结合己知条件能证明

21.【答案】解：(1)/(©的定义域为(0,+8),f(x)=A-m,

当mW0时，f(x)>0,f(x)在(0,+8)上单调递增,

当m>0时，在区