2023年辽宁省辽阳市第九高级中学高三数学理联考试题含解析

2023年辽宁省辽阳市第九高级中学高三数学理联考试

题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.若复数2=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值为

A.-3B.一3或1C.3或一1D.I

参考答案：

A

略

2.设M={X|X<9},N={X|X'<9},则

A.MGNB.NGMC.MG’AND.削

参考答案：

B

略

3.设曲线y=2Q14e犷)在点(1,2014)处的切线与X轴的交点的横坐标为X”,令

%Toga”、，则的+与+…+。加13的值为()

A.2014B.2013c.1D.

-1

参考答案：

D

略

4.已知正三角形ABC的顶点A(l,l),B(l,3),顶点C在第一象限，若点(x,y)

在AABC内部，则z=-x+y的取值范围是

(A)(1-,2)(B)(0,2)(C)(-1,2)(D)(0,1+)

参考答案：

A

5.等差数列m.中，叼+4・8,则a,=

(A)2(B)4(C)

8(D)16

参考答案：

B

略

6.若点户是&的的外心，且四+而+4正=i,ZC=12O°,则实数4的值为

2_2

A.2B.2C.-1D.1

参考答案：

C

取AB中点D,则用+丽=2而，则P,D,C三点共线，用几何性质得D为PC中点

故选C

7.已知某几何体的三视图如图(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出数据，这个几

何体的体积是()

QB

:------6------J

iE视图侧视图

佛视图

A.2M+36XB.c.2M+72XD.触+痴

参考答案：

A

8.已知冽、国表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为

(1)@口尸=也”ua,”_L肛则aJ■力

(2)«-LY=m,fiC\y=n,^\nlm

(3)次，冬加_L广,则a〃万

(4)加_La?i_L£,用_L%则dl夕

A.(1)、(2)B.(3)、(4)C.(2)、

(3)D.(2)、(4)

参考答案：

B

略

9.执行如图所示的程序框图，输出的太的值为

(A)4(B)5(c)6(D)7

A

第一次循环得？=0+20=］竟=1；第二次循环得2=1+2、3%=2；第三次循环得

5=3+23=114=3,第四次循环得S=11+2U=2059%=4,但此时S<100,不满足条

件，输出土=4,所以选A.

【解析】略

10.已知集合Af=(x|-lMKMLxwg,"="|0Wx42),则MflN为

A.0)B,(0.12)c.aiOGGD.(0.11

参考答案：

D

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.在瓦43c中，乙4=60%-45=2,且&BC的面积为2,则BC的长为

参考答案：

【知识点】余弦定理.C8

S/x94csm6(T，x2x

5c=4解析：由.2222，所以4c=1,所以

BuMa+Q-z3/Ccos6O*=3,所以5C=招.

【思路点拨】本题主要考查了余弦定理的应用.对于已知两边和一角求三角形第三边的问

题常用余弦定理来解决.

12.观察下列不等式

照此规律，第五个不等式为

参考答案：

,1111,111

1+十三+/+于+目<不,

通过观察易知第五个不等式为“牙+#+7+宁+0”T

3X-Z-

------二2

13.若x,y满足条件14X42Xy<4,且y,则z的最大值

为.

参考答案：

7

x^1

X-jr>0

2/一L44,画出可行域为如图4的（；区域，

=攵1-且当在处时，故答案为

22yy°,p4-2）J=7,7.

14.已知tanQ,tanB分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根，则tan(a+B)

参考答案:

1

【考点】两角和与差的正切函数.

【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tana+tanB和tana?tanB的

值，从而求得tan(a+B)的值.

【解答】解：由题意lg(6X2-5X+2)=0,

可得6x‘-5x+l=0,tana,tanB分别是lg(6x'-5x+2)=0的两个实根，

_51

.".tana+tan3=6,tana?tanP=6,

5_

6~

tana+tanB

.'.tan(a+0)=1-tanQ-tanp=6=1.

故答案为：1.

15.实数ae[0,3],bG[0,2],则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是.

参考答案：

2

3

考几何概型.

点：

专概率与统计.

题：

分首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a22b2.本题是一个几何概型，试验的全

析：部结束所构成的区域为{(a,b)|0<a<3,0<b<2),满足条件的构成事件A的区域为

{(a,b)|0<a<3,0<b<2,a>b},根据概率等于面积之比,得到概率.

解解:方程有实根时，△=(2a)2-4b2>0,即a22b2.记方程x2+2ax+b2=0有实根的事

答：件为A.

设点M的坐标为(a,b),由于ae[0,3],be[0,2],所以，所有的点M对构成坐

标平面上一个区域(如图中的矩形OABC),即所有的基本事件构成坐标平面上的

区域OABC,其面积为2x3=6.

由于a在［0,3］上随机抽取，b在［0,2］上随机抽取,

所以，组成区域OABC的所有基本事件是等可能性的.

又由于满足条件0443,且0SbS2,且a22b2,即aNb的平面区域如图中阴影部分所

2

示，其面积为2x(1+3)x2=4,

42

所以，事件A组成平面区域的面积为4,所以P(A)=6=3.

2

所以，方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为百.

2

故答案为：3.

点古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和

评：发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，概率的值是通过长度、面积、和体

积的比值得到.

16.已知函数/(x)=卜.力＜.，若/(3a-1)N8/(a),则实数“的取值范围为.

参考答案：

(。，白U［l,+8)

5

【分析】根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性即可.

X3x>0,

f(x)=

3

【解答】解:_xx<C0,

.-.f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数，在［0,+oo)上为增函数,

则不等式f(3a-1)>8f(a),等价为f(|3a-1|)>f(2|a|),

(g,+8)

•••|3a-*2|a|,解得a€5

(。，物U[l,+8)

故答案为.5

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的

关键.综合考查函数的性质.

加=叵

17.AABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c.O是8c边的中点，且2,

甑S9=3痂£,m~4,则AA5C面积为.

参考答案:

I解：在△ABE，禽.4,8.C所产0分别为a,b.e.。是BC边的中裔,

目目D=VI。,8<j"，nJJ=3,15。»co#A=­-7•

24

9i:・tnA=W^.

所以:B^inA^inB^:3y/Ti^inCt

麻雀:2b=".

ift:A=",ulr.a=2,

在A4BC中.利用余龙龙理：e〃=4=4，t9H.

42・2*-3・

解博:,=2"・

在AXBD中,利用余弦定理：4r»=4x2+l?-2.2z.—eo»ZBDA,

42

在△4CZ)中,利用余党定理：9r2=4z2+--2.2z-^eo«ZADC.

42

所以：13**=8**+5,

解博:I二1・

所以：5=3・。=2.

故：SMBC=；・2・3冲』等

Z44

故骞案为：一3V-T-5

4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到

这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方

图如下:

分组频数频率

[10,15)100.25频率阳距

[15,20)25n

[20.25)mP

[25,30)20.05

U-；「21~3bfiJST

合计M1

(I)求出表中M”及图中a的值；

(II)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一

人参加社区服务次数在区间［20:5）内的概率.

参考答案：

37

（I）A/-40,p=40,«=0.125.（n）10.

%25

解析：（I）由分组U0J5）内的频数是10,频率是025知，版-

所以"・40.................2分

因为频数之和为40,所以10+25+靠+2・40,w-3,0■而.而......4分

因为a是对应分组05.2。）的频率与组距的商，所以"一砺.....6分

（II）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人，

设在区间［.25）内的人为｛Q.｝,在区间［25.30）内的人为｛4A）.

则任选2人共有玛吗乂4用也

10种情

况，........8分

而两人都在1625）内共有（q左）,（可吗）依,幻3种，.....10分

至多一人参加社区服务次数在区间（加，25）内的概率'一"To-io.........12分

略

19.（本小题满分12分）

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.甲一次种植

了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各

株沙柳成活与否是相互独立的.

（I）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值;

（H）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳.如果参加

种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种

植沙柳，才能保证有效防止风沙危害.

参考答案：

解：（I）设成活沙柳的株数为X,则Y="L2,3,4,且有

RX=无）=Cf/a-p）=0.12,3.4）_____________________________4分

=2

据题意，P=3,所以株数X的分布列为

X01234

1816

P81

8181'''81

彳~到4.二），，EX=-

可知3,所以X的期望值3------------------------------------

—7分

（II）设参加种植沙柳且具有甲的种植水平的人数为x,则这当中的每一个人都种

8

植了4株沙柳。据（I）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳百株，因此，

8

-X

共种植成活的沙柳3株。

------------------------------10分

8

据题意，需51之24000,解得x29000。

所以，估计至少需要具有甲的种植水平的9000人来参加种植沙柳，才能保证有效

防止风沙危害。

20.（本小题满分12分）

已知等差数列｛aj满足a2=0,a6+a8=-10

（I）求数列｛aj的通项公式；

（II）求数列｛aQ。」｝的前n项和.

参考答案：

।%+d—0

（I）设等差数列｛an｝的公差为d,由已知条件可得+】加=-1°

『1=1

解得t"=-l

故数列｛a0｝的通项公式为an=2-n............5分

（II）设数列｛anS11-）的前n项和为S”，即

2n

Sn=l•30+0•3'-1•3-•••+(3-n)3"-'+(2-n)3

23nn+1

3Sn=1•3'+0•3-1•3-•••+(3-n)3+(2-n)3

nn

所以2sli=3°+3432-•••+3-'+(2-n)3

综上，数列｛斯■'4

12分

21.（本小题满分12分）已知函数/a）=Csm2x+0C82K.xeK.

（1）求/①）的最大值和最小正周期;

（2）若、［50.12,。是第二象限的角，求Sin2a.

参考答案：

A4九■八/F八

/(x)=2coszx=2cos-sin2x+$in—cos2x

12244

(1)v

=2sm(2x+g

4分

7="=”

•••/（X）的最大值为2,……5分，最小正周期为-2

6分

/(x)=2sinf2x+^

(2)由(1)知,

/2sina=sina=—

所以2,即48分

⑸'V13

cosa=-5/l-smJa=-11-I=—“I

44

又z是第二象限的角，所以*J10分

sin2a=2sinacosa==一工^

44