2023年黑龙江省鸡西市成考专升本高等数学二自考测试卷(含答案带解析)

2023年黑龙江省鸡西市成考专升本高等数

学二自考测试卷(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

A.A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

［皿乏“o

设函数/(x)=,工’在仙0处连续,则a=().

2.a.x=oA.-lB.1C.2D.3

3.从10名理事中选出3名常务理事，共有可能的人选()。

A.120组B.240组C.600组D.720组

4.设事件A,B相互独立，A,B发生的概率分别为06,0.9,则A,B都不

发生的概率为()。

A.0.54B.0.04C.0.1D,0.4

I

1・x-l

lime=

5.1

A.A.OB.lC.+ooD.不存在且不是+oo

6.

若下列各极限都存在，其中不成立的是

A.lim…八°)=八。)

jf*O工

B.lim/(X)-^(Jo)=/(xo)

L与X-Xo

C.lim/G。+/一八工。)=/(工。)

D.1加义工。)_《0°_4力=/(工。)

LOAZ

设函数w=sin(jV).则得等于

A・QCGNIJ')

B.-jrycost2:^)

C.^J^COSCJ'J2)

7D.y2cas(.ry)

R设函数z=cos(*+y?),则罂■等于()•

0.dxdV

A.-2ycos(x+y2)

B.-2ysin(x+y2)

C.2ycos(x+y2)

D.2ysin(x+y2)

9.

函数y=Lln(H+2)的定义域是

X

儿工工0且1，-2Rx>0

C-z>-2D.z>—2且zKO

10.

函数/(X)在［Q,切上连续是/(X)在该区间上可积的

A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件

C.充分必要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件

设z=e'y,则套=

11.耐()O

A2x(l+x2y)exZy

口2x(1+x2)ex2y

D.

2Jt2y

r2jcy(l+jr)e

2?v

Dxy(l+x)e

［，设u(x)是可导函数，且“(x)M,贝11|即1?(幻］'=

JL/・

u9

A.u

/

u

R萨

15.

2u

C.u

D.W

13.

已知田旺"■则/号)等于(),

A.-2B.-1C.—

9

14.

对于函数y=3，下列结论正确的是

A.x=0是极小值点

B.z=0是极大值点

C.(0,0)是曲线拐点

D.(0,0)不是曲线拐点

以下结论正确的是()

A・函数/⑺的导的不数作的点.•定不是八，)的极傩点

B.若小为函数/⑺的驻点.则上.必为—的极例点

C.若函数八」)在点X,处一极值川J'5)存在,则必仃?Cr“=Q

15.n若函数/C)在点，处连续.则广(工>一定存在

16.函数y=ax2+c在(0,+oo)上单调增加，则a,c应满足【】

A.a<c且c=0B.a>0且c是任意常数C.a<0且c#0D.a<0且c是任

意常数

]7设函数z=tan(xy),则g：=().

一,

A.CO8：(X/)

.

B.co/(xy)

♦

C.cos，(xy)

___Z_

D.cos2(xr)

18.下列结论正确的是

A.A.若A+B=。，则A,B互为对立事件

B.若A,B为互不相容事件，则A,B互为对立事件

若A,B为互不相容事件，则A,B也互不相容

D.若A.B为互不相容事件，则A-B=A

19.设F-2(x)=e2x+i,则f"(x)|x=O=O

A.A.4eB.2eC.eD.l

20.设f(x)=xe2(x」)，则在X=1处的切线方程是()。

A.3x-y+4=0B.3x+y+4=0C.3x+y-4=0D.3x-y-2=0

21.

下列极限值等于e的是

A.lim(l+—)xB.lim(l+x)x

x-*0JCr-*0

C.lim(l+—)xD.lim(l+x)^

Xa—•«»

设函数z=x”ny,则注=

22.砂

A.A.7

xJ

y2

B.

xJ+l

C.y

23.

设/（*）在4及其邻域内可导，且当X<猫时广（X）>0.当X>x_时/（x）<0.则必f

/'（与）（）.

A•小于°B.等于0C.大于0D.不确定

下列命题肯定正确的是

A.若hm"）存在.hm不存在+必不存在

若lim，（工）与limgCr）都不存在，JOJlim［/（x）4-gCr）］必不存在

B.•I

若lim/Q）存在•lim*（工）不存在•则•8（工）］必不存在

C,-

若lim/J）不存在.剜lim=|/（"|必不存在

24.D,

25.若r(X)<0(a<x/b)且f(b)>0,则在(a,b)内必有

A.A./W>0

c/(x)=0

D./（x）符号不定

26.若点（1，3）是曲线的拐点，则

aTT

A.A.22

B.一32,M6=—22

_3._9

3

D.2

27.

设函数/（工）=反二到，则1而穴工）是

X—bX—5

A.0B.-1

C.1D.不存在

28.下列广义积分收敛的是()o

Inrdx

A.J।

「3dz

B.J,R

•一1

In|x|dx

C.J-8

•+oo

eTdx

DJ

设/(x)=翌"，WJlf/(x)dxr=

29.x」()o

cosx

X

A.

sinx

B.x

—+C

C.X

sinx八

------+C

D.x

30.5人排成一列，甲、乙必须排在首尾的概率P=

A.A.2/5B.3/5C.l/10D.3/10

二、填空题(30题)

3J.禽?叱

若z=ln(_r+ny),则占=dz

3乙・

33.

若广卢也收敛,则％应满足的条件是

设y=/(“-*)，且/可导，则y'=.

34.

tSz=ulnv»rfn«=cosx,v=e4.则业=

35.dx

36.

Y4-/

设y(r)=lim«---V，则/(/)=

X*XT

37.

设y=sin(Inx),则y[l)=

38.若r占山=?则。=—•

设z=,则dz=_______________.

39.㈠

40.

设z=arcsin(xy),则/告=_____________.

axoy

函数石在区间卜1,1］上的量大值是.

Q■・

42.已知y=xe”',则y"=

43.设事件A与B相互独立,且P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,则P(B)=

44.

设y'=2x,且*=1时，y=2,则y=.

45.

(x)(4)

设函数/(x)在x=4处连续且可导，且/'(4)=2,则|im/-/=______________

x-4

46.

如果b>0,且J：lnxdx=l,则6=.

47.设z=x2y+y2,贝!Jdz=_.

48.

设尸(x)=[arcsin/dr.则尸'(0)=

，

49.J

50.

若。(w)dx=ax+log/+C,则/(x)

51.

设J2华工收敛.则&的取值范圉是

52.

函数f(±)=(coszH在x=0点处连续,则定义/(0)=

rxdx

53.G

设/(x)=x2,g(x)=e'，M—{g(/(x)])".

54.心

55.fsinxcos2xdx=

56.

已知/(x)=InX,则j：/z(ex)dx=

57.

函数二=2xy-3x2-3/+20在其定义域上

A.有极大值,无极小值B.无极大值,有极小值

C.有极大值,有极小值D.无极大值，无极小值

58.

不定积分jxV'dz=.

60.

设，(2t—Ddt=6,则H=.

三、计算题(30题)

6］设土HMV+sin/,而u=e1.v=co"•求$・

62求不定积分［［产+ln(l+Qj&n

ix=alt-sin/):求必修

巳知参数方程Y

63y=a(\-cosZ)

64设函数N=(2工+山”〃.求也

“计算定积分|cos^sinxdj.

65.九

求不定积分

66.

67.该面数«=V+"(*.>>)•其中/<x.>)为可it函数.求dt.

68.计算定利:ln(Vx+l)dr.

69.求函数z=arctan(x^)的全微分.

70.求檄分方脸+合J的通解.

求广义皿

7L底…

x>0.

设函数/(X)求定枳分

*V0.

72.

(arctanf)2d.r

求极限lim乩一

73.Vxl4-1

74.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为

12m,为使窗户的面积A达到最大，矩形的宽1应为多少？

计算定积分「71-eudx.

75.Jo

76.设函数y=由方程y=（iu）'•工》确定，求/.

计算］|（6+，_q）ckrd.v.其中D为?+>2《］

求定积分「ln（l+G）&.

78.J。

［/sin—.zX0.

求函数八力={工的导数.

79.人工=。

80.求函数f（x）=x3-3x+l的单调区间和极值.

设下述积分在全平面上与路径无关:

I+^(x)-y^ydy.

81.其中函数61）具有连续导数•并且6D=1.求函数职工）.

82改变积分[d，：/（7~）右+[chf'/G.y）dy的积分次序.

83设函数八工）-Cr-a）*（i）.其中g（j-）在点工=。处连续.求/（a）.

巳知曲级y―丁.鼠求：

（1）曲线在点＜1.】）处的切线方程与法线方程；

84.（2）曲线上骞一点处的切找与直姚,=4工一1平行？

求极限lim亡宰三

85.21-71-J4

计算定枳分，/2工一工&.

86.

87.求函数/（，）=工，，在定义域内的最大值和最小值.

QQ设工=、/（二）+〃（*）.其中/（"A./V）分别为可减的数.求争，喜.

oo.y7dxdy

求极限limcotj■/-r------\

89.

90.已知函数》=arcsinx后黑,求机“

四、综合题(10题)

设平面图形D是由曲线y=C'.直线y=C及y轴所围成的•求：

(I)平面图形D的面积：

91.(2)平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

92.

一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去，当月

租金每增加100元时.就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

93.求由曲线y=(X-D1和直线1=2所围成的图形绕，轴旋转所得旋转体体积•

94.

设/(x)在区间［a.瓦I上可导，且/(a)=f(b)=0.证明：至少存在一点WW《。山》,使得

/(e)+3e*/(e)=o.

供证耽方程-T—j：备也=0在区间(。川内有唯一的实根・

96.证明方程4h=2'在［0J］上有且只有一个实根.

97.

设函数F(J-)=(T>0),其中/(x)在区间［a,+8)上连续./"(工)在

x-a

(a.+°°)内存在且大于零.求证:F(H)在(a.+8)内单调递增.

98.

过曲线、=/(X00)上某点人作切找.若过点人作的切线.曲线.丫-l'及r轴闱成

的图形面积为上.求该图形烧，轴旋转一周所得旋转体体枳V.

平面图形由抛物线y1-2z.与该曲线在点处的法线所围成,试求，

(1)读平面图形的面根।

99.<2)该平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积.

100证明；当工》。时二p

五、解答题(10题)

101.

证明jx"(l—x)"dx—Jx"(l—x)"dx.

102.z=sin(xy2)+ex2y,求dz.

103.

(本题满分10分)求函数：="TF在条件2"、=5下的极值.

104.

设,=arcsin/(，)，求y'.

ln(l+xb

计算lim------------・

105.xsinx

106.

已知/")=卜2T,计算J：/(x)dx.

x+1x^lJo

107.

设函数y=y(x)是由方程ln(x+y)=/y所确定的隐函数，求函数曲

线丫=义为过点(0，D的切线方程.

108.设f(x)的一个原函数为xlnx,求Jxf*(x)dx。

、M

109.।计算aJrcsinzdLr.

110.求由曲线丫=6乂、x2+y2=l、X=1在第一象限所围成的平面图形的面

积A及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx。

六、单选题(0题)

111.3个男同学与2个女同学排成一列，设事件A=｛男女必须间隔排

列｝,则P(A)=

A.A.3/10B.l/10C.3/5D.2/5

参考答案

1.B

根据函数在点x=0处连续的定义：lim/(x)=/(O),则有

,nlim/(x)=limS'n=3=/(0)=a.

Z.Lli*.rx

3.A

4.B

5.D

因为当x~*i-时，——-«o,而当x—r时，——-*-H»

x-lx-1

11

所以当时，-0,而当时，e=-+oo

i

则lime1不存在且不是+«o,故选D.

XT1

6.C

7.D

8.A

9.D

10.B

［解析1根据定积分的定义和性质，函数/(x)在［a,加上连续，则f(x)在［a,b］

上可积：反之，则不一定成立.

11.A

因为李=一八2盯

OX

所以：^~=(2xye'')：.=(2x+2xy-x2)cic2y=2x(l+x2y)eJ［2>

dxdy

12.C

(InU2)Z=(2Inu)z=—

u

13.B

答应选B.

提示先用复合函数求导,再求/'(右)•

因为总代卜扑去

则咱…

当x=2时.得/［十)=-1.故选B.

14.C

15.C

16.B

由：y'=2ax,若：y在(0,+功上单调增加，则应有y，>0,即a>0,且对c

没有其他要求，故选B.

17.A此题暂无解析

18.D

19.A

因为［/-2,(x)f=7^(x),

所以广°g=2e叫fS(x)=4e2,+,.

则〃(0)=4e.

20.D

因为r(x)=(l+2x)e2(x-1\f(l)=3,则切线方程的斜率k=3,切线方程为

y-l=3(x-l),即3x-y-2=0,故选Do

21.C

22.A

23.B

答应选B.

分析本题主要考不函数在点％处取到极值的必要条件：若函数、=/■)在点小处可一

且与为/(*)的极值点.则必有/'(%)=0.

本8S虽未直接给出x„足极假点.但是根据已知条件及极俏的第一充分条件可知/(%)为:

大值.故选B.

考生必须注意的是：题目中的条件/(x)住点x.的邻域内可中是不可少的.否则相应的结二

「5)=0不一定正啾这是因为极值可以在导数不存在的点处取到,如

x=0时.「不存在.但«=04;,的小力值•气

24.A

25.A

因为fXx)<0xe(a,b)

所以单调减少%G(a,b)

又f(b)>0所以/(x)>0%(a,b)

26.A

27.D

28.B

29.B

30.C

甲乙排在首尾的方法为2!,另外3人排在中间的方法是3!,

所以，甲乙必须排在头尾的概率为卫=」1~.

5!10

31.1

32.

______L.1

1r+lny'z+lnyy

33.k<0

『e"dx=}(融))

=10^|^=-(0-1)(当上40时)

tck

1

~k

-a-x\naf\a-x)

［解析］4=八小)(尸)'

=f\a~x)-Ina-a~x(—x)z

M=-a~x-Ina'f\a~x)

cosx-xsinx

［解析］方法一

dzdzdu.dzdv..x.u.

dxdudxdvdxv

..cosx.

-sinx-Inex+-------ex=-xsinx+cosx

eJ

方法二

将u=cosx,v=e*代入z="Inv中，得

Z=cosxlnex=xcosx

则一=cosx-xsinx

dx

36.

X+f2,~—■,,2^+i

因为f(t)=limt(------Y=tlim(l+------)2f

IQx-tX-foa

2tn7/

=”油［。+)2f］2r-lim(l+—/

XT8x-t1=x-t

=re

所以//(r)=c2,+teJfx2=(l+2?)e2t

37.

y'=cos(lnx)(lnx)'=—cosInx>/(D=—coslnxl

x

38.利用反常积分计算，再确定a值。

因为f=arctanx

J・1+xI•

TT.曾

=--arctana=7，

24

即arctana=;，则有<i=1.

4

(vdx-xdy)(ydx-xdv)

39.2D?一尸24.,

dz_y

»j"/y2

；一,:Yz「3[y1

40.W-x2y2)3S—x2y2)3解析：也力—力^一川^—一川产)

41.3

42.

1答案】应埴4(z-l)e":

求出yQ,化简后再求)，”更简捷.

y*=e'2,-2xc5'=(I-2x)e'2".

旷”=-26-"-2(1-2幻/'=4(*-1卜-".

43.0.5

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)一P(A)P(B),

即0.7=0.4+P(B)-0.4P(B)o

得P(B)=0.5o

44.

由),=Jy^dx=J2xdx=x2+C

又由初值条件，有y(l)=l+C=2

得C=l故y=—+i

45.2

46.e

因为jjInxdx=(xlnx-x)|j=/?ln/?-/7+1=1

得b\nb=b

所以InZ?=1,b=e

47.

［解析］因为?；=2xy,z：=x2+2y.

所以d'=z*dx+r*d>,=2.xydr+(x:+2,v)dy.

48.

49.0

_UlnaH--r—ailnaH--r—

50A.xlnaxlna

51.k<-l

52.1

^ln(4+x2)+C

［解析］E^T=4lT^d(4+，)=<ln(4+/)+c

53.；4+x2J4+x22

54.2xex2

--cos1x+C—cos1x+C

55.33

56.

因为/«)=」,则/(e、)=er

X

所以rrc)dx=-e-「=eT-e2

J11

57.A

58.

M'+c

*'+c

59.

arcsinx-Vl-x2+C.

60.-2或3

dz1dzdu.dzdv.dzd：dzdu.&dv1

■SSZ,————r—■■■■■J'■,―，SZZ1■-1・・，—1-■・-1-，.

d/dudtdvdtdtddtdudtdvd/dt

=-wsin/+cos/=ve*—wsin?+cos/

=ercos/-ersin/+cos/=ercos/-ezsin/+cos/

61.=er(cos；sin/)4-cos/.=er(cos/-sin/)4-cos/.

+Ind+z)]cLr=yje2,d(2x)+jln(l+l)(Lr

—[e"+xln(l+x)—[一业

/J1TX

=.e"+xln(1+x)—J[1-i./dx

=4_c：，+.rln(1+1)—X+ln(1)幻+C.

62.L

ke'3+ln(l+z)]dr=yje2,d(2x)+jln(l+I)ir

=4-e2j+jln(1+«r)—f~T~djr

=:+xln(1+x)—J[l­iT

=5*+xin(1+x)—«r+ln(1*“)+C

£»

=asinl_

a(1—cos/)1—cos/

63.

=asinZ

a(1—cos，)1—cos/*

d2y…cos，•(1—cos<)-sin?]1

dr1(1—cost尸clr

di

=-跳二!_________1___

(1-cos/)2a(1—cos/)

1_____111

=-=—CSC—t

a(1-cos，尸4a2#

64.

方程两边取对数,得

Inr—(“+2y)ln(2i+y).

两端微分有

[dkr=(Ar+2d>)ln(2x+y)+(“+2y)工.

所以dz=(2工+y)^°([ln(2x+y)+2♦+[2!n(2x+y)+

Ctji।yCtX*y

方程两边取对数.得

Inx—(x+2y)ln(2r+y)•

两端微分有

LjLr=(dx+2d>)ln(2x+>)+(J+2y)2*•

x2工十y

所以dz=(2r+yL”<[ln(2i+y)+2•^±-^])cLr4-[2!n(2j4-y)+^^Idy.

।yc»x]y

设u=COST,则du=-sinjcLr,当工=0时U=1,当”=吃•时，”二0

设a=cosx,则du=—siardj••当工==0时u=1,当时■“二()

•*•原式=一£|?(1"=一;L-

=~2f(1-TT7)dz

=-2(l-In|1+/D-FC

再将r=，T=7代入.修理后得

f—=-2(y/3-i—InI1+73—xI)+C.

66.41+v3—x

设，=八一工，则.r=3—f，.d”0—2tdt.

Jl+籍7T备”

T号市

一一2/(1一出四

——2(«-]n|1+，|)+C

再将/u斤i代入.修理后得

喷k-2(斤G—n|l+k?I)+C.

dz=家业+空dy

ardy

67=[//(/(l・y)]<Lr+[3/+

dz=段Ar+当dy

ftrdy

=[4'(1.y)+/(«r.y)]cLr+[3y:+x/'G.y)]".

原式令":iJjnU+l)•2rdr

=JInd+t)d(f:)=/*•ln(l+r)-jjj7dl

=1112_£(!^^1也=皿2_£(，_1+清产

=In2-一1+ln(t+1)|]

=ln2-(。—)一(In2-0)

J.

68.

原式Jjna+1)•2td/

=Jln(l+r)d(r:)=1・ln(l+Q；-1击d,

=in2_r£izLi±id,7n2£(<-l+/+1)dr

Jo/4-1

=In2—[寺〃-I)1|：+lna+l)|：]

一十)一(

=ln2—In20)

=1

2,

••2jryJF,

i+x«y'

；・dNNfdi+T~?^y*

69.1+才y”1+x*y

._2£X_

a||**

1+1+x\y

.

二dw=]zdx+-।idy,

Ixy1+xy

由18意.知P(x)=J.Q(J)=J.

.,.eJw,=e什d-c*1**='=J

卜=eH•山=e~=工，

：

JQ•Jm<Lr=[c,•xd-r=[e*dx1=ye'•

该微分方程的通解>=+('}

70.

由题意.知P<x)=—,Q(x)=t'.

N,

:.ef=e加"«c-a==CUr1=X|•

=e~=]

，

JQ•J，"cLr=[e*•iz=~jeP业1=yer•

1.19—

...该微分方程的通解.V4-C

原式*/，&廿+f昂目公

=ln2-ln(14-e1)+F

Jo1.+J4-x

—In2—ln(1+u')+-arctan2x

土

=ln2—ln(1+c:)+

71.o

=In2-ln(1+e1)+『

1+4〉

ln2—ln(1+el>+--arctan2x

£»

In2-Ind+c-*)+-y.

o

72.

rj,p.rj

/(x)cLr=/(z)cLr+/(x)dx

J—IJTJo

=ln(1+e‘)----------rdx

1+43

In2-!n(i+e')+-^j7工)

ln2-ln(14-e')4-yarctan2x

In2—ln(1+e')+

o

|jT/(x)dr=f(z)ckz+/(x)dx

J—1J0

0

=ln(1+eT)+2

一］o1j+白4-jr皿

=In2—ln(1+e')+《「■'iLrd(2_r)

ZJ.1+4x

=ln2-ln(1+B')+-yarctan2x

ZIo

=ln2-ln(l+e,)+3

o

I(arctan/)2d/I(arctan/)2dr

limlim----------------------lim:工

J6+1xQ+1

lim(arctan.r):

=(y)2.

73.

I(arctan/)2d/|(arctan/)2dr

lim——；，—=lim--------------------•lim/

y/xl+1xG+1

=lim(arctan.r)2

74.

窗户的面积/=//«+亨巴

l和h满足2/i-31=12,得A=6-方，，代入4,则有

4=6/-#+",

¥=6-3/+多工0,

得/=净曳.

由于实际问题只有唯一的驻点，可知/=吟沁（m）为所求

75.

令「一朝则”=一百小山工一筮&.且当工=°时"=会当”=1位

ln(2—V3)一

4

令e-r=sin，•则x=-Insin/,<Lr黑市.且当工=°时"=会当

—In(2—V3)一§.

4

y—[(Iru-)/j"•/2+(lnx)r•《工。)'

=[广―]•+(lnx)r•“4)'

=e,，Kln/,rln(lnjr)+«r•j*工2+(lru*)r•eta，J•2Irtr•

亡｝皿尸

=»(Inr)*•「In(lnx)+1?-*+2(1•1rl.

76.

y=了•x*~+(hu■尸•(工〜)'

=+(lnj>•(e4)‘

=e'xefIn(lnx)4-j"•亡'+(lnj)>•eh，1•21nx•—

=»(Iru)4•rln(lru*)+亡].x*~+2(lnx)”•IJ.

77.

根据枳分区域与被积函数的特点,该二重枳分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

积分区域D由，'+/&】化为1.04842".故

jj(qf+y"-xv)cLrdy=『r-r2cos4hintf)rdrdO

=fdd\3——coMsiM”

-costfsind

4

一；"!一sinMsind

=(*—［卜次川:=翁.

根据积分区域与被积函数的特点,该二重积分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

枳分区域D由/+/41化为r41・04642人故

jj(QW+y，—xv)d.rdy=，(，―/cos^sintf)rdrdff

=jcwj(r1-rJcos0sinZ?)dr

=［y-ycostfsin^jJcW

=［夕I-:£sinMsind

==-2+In2.

故ln(l+v/x)cLr=ln2+—In2=-y.

78.

!n(l+，7)<Lr工xln(l

此一后业

由于打:后必心二d”令/=77)

J-1-rr

£口+阳七

—，+In|1+/111

一-2+In2.

故Ind+y7)dr=In2+-ln2

79.

当/齐。时J。)=/sin上是初等函数•可直接求导.即

x

f(x)=(x2sin十)，

=2xsin—+x2cos—(----lr)

XXX

.11

=9Zxsm------cos—・

XX

当z=0时,

2・1

fxsin一

f(0)=lim立工----L-----=lim--------工=lirrtrsin-=0.

x-»0JTXX

当*#0时,/(.)=x2sin工是初等函数，可直接求导.即

x

f(x)=(x2sin十)，

=2xsin—+x1cos—(----

XTXZ

.11

=Z9xsin------cos—・

XX

当z=0时,

、(小、X?S•ill—1.

/(x)—/(0)x...1

f(0)=lim±----------4-----=hm-----------=hm.rsin—=0n.

■一。10

80.函数的定义域为(-oo,+oo),且r(x)=3x2-3.

令r(X尸0,得驻点Xl=-1,X2=l.列表如下：

X(-•,-1)-1(-I.D1(I**®)

/r(x)0-0♦

“X)z/(7):3为极大值AO="»为极小值z

由上表可知，函数f(x)的单调增区间为G8，-1］和［1，+00),单调减区间

为［-1,1］；f(-l)=3为极大值31)=-1为极小值.

注意：如果将(-00,-1］写成(-8,-1),［L+00)写成(1,+00),［-1,1］写成

(-1,1)也正确.

P=-|-y9;(x).Q=［中(工)—y>>

由积分与路径无关，得

aQ=ap

dx,

即

《‘《”)一=3用(工)或—3^(j)=x.

得

F(j)=/卜3［卜』-皿<1］+(：］

=e-，［卜e,d_r+c］

■叫

=e”［——卜+'［

TT(k+k)+q

=~f-l+CeU-

由F(l)=1得.1=一■1•一!+CeL解得C=9T.故有

P=-|-y*y(x)*Q=［哪］)—v.

由积分与路径无关•得

aQ=ap

dxdy'

即

（，《工）—=3用（JT）或，（外一3.（工）=了.

得

由职】）=1得,1=-4一4+0¥,解得c=马厂•故有

0«/tr

82.

由所给累次积分画出原二重积分的枳分区域。的示意图,如图所示.据此将D

视作Y型区域.即

D=((x.y)I0&y&l.Ty&工42一田.

因此

［d-rj/(x.y)djr+1<LrJ

f(.x.y)dyf(x,y)djc.

由所给累次积分画出原二重积分的枳分区域。的示意图.如图所示•据此将D

视作丫型区域•即