2022年重庆市名校联盟高考数学第一次联考试卷及答案解析

2022年重庆市名校联盟高考数学第一次联考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）己知集合4={x|-B={-1,0,2,3},则ACB=（）

A.{-1,0,2,3}B.{0,3}C.{0,2}D.{0,2,3}

2.（5分）复数z满足z（1+i）=1-i（i为虚数单位），则z的模为（）

11

A.-4B.-C.ID.V2

22

3.（5分）已知正方体ABCD-A\B\C\D\的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2,

则该球的表面积是（）

A.6TlB.12KC.I8HD.24IT

x2y2V3

4.（5分）已知椭圆C—+—=1（a>b>0）的左、右焦点为尸i、尸2,离心率为一，过

a2b23

尸2的直线/交C于A、8两点，若△AF18的周长为4次，则。的方程为（）

x2y2x2

A.—+—=1B.—+）29=1

323」

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+—=1

128124

5.（5分）设等差数列{a〃}的前〃项和为若。5+。6=〃2+4,则S17=（）

A.4B.17C.68D.136

2

6.（5分）函数fG）=（—7一1）sinx图象的大致形状是（）

l+ex

7.（5分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻

但不排在两端，不同的排法共有（）

A.1440种B.960种C.720种D.480种

8.（5分）若函数/G）满足f（x）=/（x+2）,且当1,1］时，f（x）=/,则函数y

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=f（JC）与函数）=这|川的图像的交点个数为（）

A.18个B.16个C.14个D.10个

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

（多选）9.（5分）若（x+3）”的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项

式系数最大的项为（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

（多选）10.（5分）已知向量Q=（2,1）,&=（1,-1）,c=（机-2,-〃），其中勿〃

均为正数，且〃二下列说法正确的是（）

A.之与6的夹角为钝角

TT-\/5

B.向量a在b方向上的投影为《

C.2〃?+〃=4

D.小〃的最大值为2

（多选）11.（5分）如果两个函数存在关于y轴对称的点，我们称这两个函数构成类偶函

数对，下列哪些函数能与函数>=-x构成类偶函数对（）

A.f（x）=2x+xB.f（x）-x-3

C.f（x）=lnx+2D.f（x）=2+Vx+2

（多选）12.（5分）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线）2=2px（p>0）的焦点

为凡点M（1,2）,A（xi,yi）,B（%2,”）都在抛物线上，且最+而+局=0,

则下列结论正确的是（）

A.抛物线方程为y2=2x

B.F是的重心

C.\FA\+\FM\+\FB\^6

D.S>AF（T+S&BFO-+S&MFO=3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）设随机变量X服从正态分布N（2,o2）.若P（X>0）=0.9,则P（2VXV4）

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14.（5分）已知cosO=—5，则cos2®的值为.

15.（5分）已知函数/'（x）—Inx-a,若f（x）在（1,+°°）上恒成立，则实数a的取

值范围是.

16.（5分）己知直三棱柱ABC-4BCI的侧棱长为2,ABLBC,AB=BC=2,过AB,BBi

的中点E,F作平面a与平面AAiCiC垂直，则平面a与该直三棱柱所得截面的周长

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（10分）已知等差数列的前”项和为S”且42=3,8=25.

（I）求数列｛而｝的通项公式；

n

（II）设—=an+2*求数列｛6｝的前n项和Tn.

第3页共21页

18.(12分)ZiABC中，内角A,B,C所对的边分别为mb,c,且加iiL4cosC=。(百cosA

-cosBsinC).

(1)求A；

(2)若△ABC的外接圆半径为2,且匕-c=*求△ABC的面积.

第4页共21页

19.(12分)如图，四边形A8CC是正方形，出，平面ABC。，EB//PA,AB=PA=4,EB

=2,F为PO的中点.

(I)求证：AFLPC；

(II)求证：BO〃平面PEC；

(III)求二面角。-PC-E的大小.

第5页共21页

20.（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行

分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100

颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

温差X(℃)101113128

发芽数y（颗）2325302616

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回

归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

（I）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

（II）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的

数据，求出y关于x的线性回归方程、=bx+a；

参考公式:b=%@一如仇尸=哭1和二零,a=y-bx

第1（看一幻Ekxj-nx

x乙y/1

21.（12分）已知椭圆C：—+=l（a>b>0）的离心率为左、右焦点分别为Fi,Fi,

第6页共21页

过点P(0,3)的动直线/与C交于A,B两点，且当动直线/与y轴重合时，四边形AF1BF2

的面积为2次.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若△ABF1与△A8F2的面积之比为2：1,求直线/的方程.

22.(12分)已知函数/(X)=-bx+

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(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)设XI,X2(X1<X2)是函数/(X)的两个极值点，若b耳，且/(XI)-f(X2)2我

恒成立，求实数k的最大值.

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2022年重庆市名校联盟高考数学第一次联考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合A={x|-1Vx<3},B={-\,0,2,3）,贝ijADB=（）

A.{-1,0,2,3}B.{0,3}C.{0,2}D.{0,2,3}

解：集合A={x|-l<x<3},

B={-1,0,2,3},

，AnB={0,2}.

故选：C.

2.（5分）复数z满足z（1+Z）=1-i（i为虚数单位），则z的模为（）

11L

A.-4B.-C.1D.V2

22

解：Vz«（l+!）=1

._1-i_（1-02_.

（l+i）（l-i）-~h

：.\z\=\,

故选：C.

3.（5分）已知正方体ABCD-A\B\C\D\的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2,

则该球的表面积是（）

A.6nB.12nC.18TTD.24n

解：正方体ABC。-AiBiCiDi的八个顶点在同一个球面上，

若正方体的棱长是2,

设外接球的半径为广，

贝!]（2r）2=22+22+22=12,解得r=6,

故球的直径为2百，

球的表面积为S=4x兀x（遮>=127r.

故选：B.

X2y2、V3

4.（5分）已知椭圆C—+-J=1的左、右焦点为尸1、F2,离心率为二，过

a2b23

五2的直线/交。于A、B两点,若△AQ8的周长为4次，则。的方程为（）

第9页共21页

x2y2x2

A.—+—=1B.——+>92=1

3237

x2y2x2y2

C.—+—=1D.—4--=1

128124

解：,•,△AFiB的周长为4次，

AAFiB的周长=|AFi|+|AF2|+|8Fi|+|8b2|=2q+24=4m

・・・4。=48，

•\a=V3,

_V3

・・,离心率为77，

3

.cV3

A-=一,c=1,

a3

:.b=y/a2—c2=V2,

、x2y2

工椭圆C的方程为77+—=1.

故选：A.

5.(5分)设等差数列｛a〃｝的前〃项和为S〃，若。5+〃6=。2+4,贝I」S17=()

A.4B.17C.68D・136

解：由｛即｝是等差数列，得。5+46=〃2+〃9,

又〃5+。6=。2+4,得〃9=4,

17

所以517=丁(ai+«i7)=17a9=17X4=68.

故选：C.

6.(5分)函数fG)=(-J-1)siru图象的大致形状是()

l+ex

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则/(X)是偶函数，则图象关于y轴对称，排除8,D,

由/(x)=0,得1-d=0或sinx=0,

得x=kn,kwZ,即当x>0时，第一个零点为TT,

当x=l时，/(I)=爰・sinlV0,排除A,

故选：C.

7.(5分)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻

但不排在两端，不同的排法共有()

A.1440种B.960种C.720种D.480种

解：可分3步.

第一步，排两端，•••从5名志愿者中选2名有42=20种排法，

第二步，；2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=

24种排法

第三步，2名老人之间的排列，有A2?=2种排法

最后，三步方法数相乘，共有20X24X2=960种排法

故选：B.

8.(5分)若函数/(X)满足f(x)=/(x+2),且当x€［-1,1］时，f(x)=7，则函数y

=f(x)与函数y=/g|x|的图像的交点个数为()

A.18个B.16个C.14个D.10个

解：因f(x+2)=/(X),

所以函数/(x)是以2为周期的周期函数，

又当1］时，f(x)=/,

则有函数y=/(X)与函数)，=这同都是偶函数，

在同一坐标系内作出函数y=f(x)与函数y=/gx的图像，如图，

第11页共21页

所以函数y=/（x）与函数了=四国的图像的交点个数为18.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

（多选）9.（5分）若（x+±）"的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项

式系数最大的项为（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

解：展开式的第3项为T3=C第8项为T8=第铲-7（》7,

则C需=第，则〃=9,

所以展开式中二项式系数最大的项为第5项与第6项，

故选：BC.

（多选）10.（5分）已知向量Q=（2,1）,h=（1,-1）,c=（tn-2,-其中〃?，n

均为正数，且&—1）//C,下列说法正确的是（）

A.［与］的夹角为钝角

B.向量a在b方向上的投影为七

C.2，"+〃=4

D.mn的最大值为2

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,向量展=（2,1）,=（1,-1）,贝丘1=2-1=1>0,则/7的夹角为锐角，

4错误；

TT-

TTy/2

对于B,向量a=（2,1）,b=（l,-1）,则向量〃在人方向上的投影为="=—»B

切2

错误；

对于C,向量Q=（2,1）,h=（1,-1）,则a—6=（1,2）,若（a—b）//c,则（-

n）=2（〃z-2）,变形可得2〃z+〃=4,C正确；

对于£）,由C的结论，2m+〃=4,而根，〃均为正数，则有加?=2（2根•九）£2（-----）

2=2,即加〃的最大值为2,。正确；

第12页共21页

故选：CD.

(多选)11.(5分)如果两个函数存在关于y轴对称的点，我们称这两个函数构成类偶函

数对，下列哪些函数能与函数y=-x构成类偶函数对()

A.f(x)=2x+xB./(x)=?-x-3

C.f(x)=lnx+2D./(x)=2+y/x+2

解：根据题意，函数>=》与>=-x的图象关于y轴对称，若函数/(x)能与函数y=-

x构成类偶函数对，

则函数f(x)与函数y=x存在交点，

依次分析选项：

对于A,/(x)=2'+x,有%联立可得2、+x=x,即2'=0,方程无解，不能与

函数y=-x构成类偶函数对，不符合题意；

对于8,f(x)=/-x-3,有g1j一”一3,联立可得/-x-3=x,即/-2x-3=0,

存在两个根，能与函数>=-x构成类偶函数对，符合题意；

对于C,f(x)—bix+2,有%=?'"+4联立可得配r+2=x,BRlnx=2-x,在区间(1,

2)存在一个根，能与函数丫=-x构成类偶函数对，符合题意；

对于D,/(%)=2+VFT2,有，:：+"+2,联立可得2+VF5U=x,变形可得X2

-5x+2=0(x22),存在一个根，能与函数丫=-X构成类偶函数对，符合题意；

故选：BCD.

(多选)12.(5分)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线V=2px(p>0)的焦点

为F,点M(1,2),A(xi,yi),BCx2,”)都在抛物线上，且后+而+局=G,

则下列结论正确的是()

A.抛物线方程为b=2x

B.F是△ABM的重心

C.\FA\+\FM\+\FB\=6

D.SMFCP+SABFC^+S^MFO2=3

解：对于A,由2)在抛物线上可得4=2p,即抛物线方程为y2=4x,故A错误；

对于8,分别取A8,AM的中点。，E,则易+而=2访，FM=-2FD,

第13页共21页

即F在中线上，同理可得尸也在中线BE上，所以尸是△ABM的重心，故8正确;

对于C,由抛物线的定义可得|赢|=制+1,而M|=2,\FB\=X2+\,

所以|易|+/而+|而|=XI+X2+4,

由F(l,0)是△ABM的重心，所以肛+?+1=[,即*[+m=2,

所以得|高4|+|俞|+|赢|=尤1+%2+4=6,故C正确；

对于。，S^AFO=||OFl|yi|,SAZIFO2=1yi2==xi,

同理SABFO2=X2,S/^MFO2=1,

所SAAFO2+S^BFO1+S^MFO2'=3,故£)正确；

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)设随机变量X服从正态分布N(2,o2).若P(X>0)=0.9,则P(2<X<4)

-0,4.

解：：随机变量X服从正态分布N(2,。2),

该正态分布曲线的对称轴为x=2,即P(X<2)=P(X>2)=0.5,

又,：P(X>0)=0.9,

：.P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)-P(X>2)=0.9-0.5=04.

故答案为：0.4.

Q7

14.(5分)已知cosO=—耳，则cos28的值为_一西

oay

解：Vcos0=则cos29=2cos2。-l=2x云一1=一名，

故答案为：一条.

15.(5分)已知函数/(X)=lnx-a,若/(x)在(1,+°0)上恒成立，则实数a的取

值范围是f-1,+8).

解：若/(X)</在(1,+8)上恒成立，

则等价为阮在(1，+8)上恒成立，

即Inx-^<a在(1,+8)上恒成立，

设h(x)=Inx-x2.

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则hr(x)=-2x=1,

当xNl时，T(x)<0,即〃(x)在［1,+8)上为减函数，

则当工>1时，hQ)<h(1)=1-2=-1,

则-1,

故答案为：［-1,+°°).

16.(5分)已知直三棱柱ABC-Ai81cl的侧棱长为2,ABLBC,AB=BC=2,过AB,BB\

的中点E,F作平面a与平面AAiCiC垂直，则平面a与该直三棱柱所得截面的周长为

3夜+V6_.

解：如图所示，取AC的中点。，连接8。，取4cl的中点。1,连接

取A的中点G,连接EG,连接EF,

分别取C1Q,BiCi的中点M,N,连接MN,FN,GM,

可得EG〃BD,BD//B\D\,MN//B\D\,即有EG〃MN,

又由A8=BC,可得BQ_LAC,

因为441J_平面ABC,可得A4i_LB。，所以BD_L平面AAiCiC,

可得EG_L平面A4C1C,

由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNFL平面AA1C1C,

则平面EGMNF即为平面a,

由EG=&BD=寺,GM=V4T2=V6,MN=&B\D\=号,NF=VlTT=

V2,FE=y/2,

可得所得截面周长为Wx2+&+V2x2=3V2+yf6.

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故答案为：+声.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(10分)已知等差数列｛珈｝的前〃项和为S”且6=3,55=25.

(I)求数列｛“"｝的通项公式；

(II)设—=%+2"-1,求数列｛坛｝的前"项和方.

解：(I)设等差数列｛%｝公差为4,首项为m,

则有｛Sr+d^n+2m解得伤1=J，

(5a3=5(&+2a)=25id=2

所以a〃=m+(/?-1)d=l+2(n-1)=2n-I,

即数列｛“”｝的通项公式z=2〃-1；

nl,rl

(II)b,,=an+2'=(2n-1)+2,

所以Tn=n(l+.T)+专吞=川+2",I

18.(12分)ZVIBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且6sinAcosC=a(BcosA

-cosBsinC).

(1)求A；

(2)若△ABC的外接圆半径为2,且b-c=*求△ABC的面积.

解：(1)由已知及正弦定理得s讥8s讥AcosC=sinA(y/3cosA-cosBsinC),

又(0,n),

1・sinAWO,

.\sinBcosC=\[3cosA—sinCcosB,

•\sinBcosC+cosBsinC=遍cosA,

+C)=^cosA,即si兀4=WcosA,

••tCLTlA—»

又AW(0,TT),

•••4=冬

(2);△ABC的外接圆半径R=2,

/.a=2RsinA=4sin^=2V3,

・，・b-c=多=V3,

212112

由余弦定理得a=b+c-2bccosA=b+c-bc=Qb-c)+bcf即12=3+/?c,

第16页共21页

贝Ijbc=9,

/\ABC的面积S——2bcsinA=彳X9X弓'=:.

19.(12分)如图，四边形ABC。是正方形，《4_L平面ABC。，EB//PA,A8=B4=4,EB

=2,F为的中点.

(I)求证：AFLPC,

(II)求证：B。〃平面PEC-,

(III)求二面角。-PC-E的大小.

(本小题共14分)

证明：(I)依题意，%，平面A8CD

如图，以A为原点，分别以而、AB.筋的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直

角坐标系....(2分)

依题意，可得A(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),

D(4,0,0),P(0,0,4),E(0,4,2),F(2,0,2).

因为第=(2,0,2),PC=(4,4,-4),

所以於PC=8+0+(-8)=0....(5分)

所以AELPC....(6分)

(II)取PC的中点连接

因为M(2,2,2),EM=(2,-2,0),访=(4,-4,0),

所以BD=2EM,所以BD//

EM....（8分）

又因为EMu平面PEC,3OC平面PEC,

所以BO〃平面PEC.(9分)

第17页共21页

解：(HI)因为AF_LP。，AFLPC,PDCPC=P,

所以AFJ_平面PCD,故4尸=（2,0,2）为平面PCD的一个法向量.(10分)

设平面PCE的法向量为1=(x,y,z),

因为而=(4,4,-4),PE=(0,4,一2),

XT「

poZ4X+4y-4Z=O

所以K=

nBpnD

—

T「=V4y-2Z=O

Vnpo

令y=~1,得x=~1>z=~2,故=(—1/-1,-2).（12分）

所以cos<4F,n>=葭=一堂，...(13分)

ZV2-V6/

所以二面角D-PC-E的大小为".

（14分）

6

20.（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行

分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100

颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

温差X(℃)101113128

发芽数），（颗）2325302616

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回

归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

（I）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

（II）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的

数据，求出y关于x的线性回归方程、=/^+&；

第18页共21页

（阳一幻（尢一巧_xiyi-nxy；

参考公式：b9_—o，Q=y—bx.

电1（看一幻造1xj-nx

解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A,

2

从5组数据中选取2组数据共有C5=10种情况,

每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种,

所以P（A）=1—白=焉；

10+11+13+12+854-23+25+30+26+16

（2）由数据，求得土=-------5-------二亏'丫--------5--------=27

由公式，求得b=

a=y-dx=-3；

所以y关于x的线性回归方程为y=|x-3.

21.（12分）已知椭圆C：篇+弃=l（a>b>0）的离心率为右左、右焦点分别为乃，F2,

过点P（0,3）的动直线/与C交于A,B两点，且当动直线I与y轴重合时，四边形AF1BF2

的面积为2遍.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若△ABFi与△ABF2的面积之比为2：1,求直线/的方程.

解：⑴椭圆的离心率e=^=Jl-^=.可得b2=la2,

1

当动直线/与y轴重合时，则［4阴=2。，这时S四边形AF®2=”c・2b=2bc=2®

所以82c2=3,c2=a2-/?2

解得/=4,从=3,

%2y2

所以椭圆是方程为：一+一=1;

43

⑵设直线/的方程为尸质+3,&¥0,则直线/与x轴的交点N（-也0）,

y2

联立椭圆与直线方程，斤+3=1,

丁=依+3

△>0,可得必>|,

由（1）可得焦点为（-1,0）,F2（1,0）,

△ABFi与△ABF2的面积之比为2：1,

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可得:-yB\=2'^\F2N\9\yA-

2Q3

可得|F1M=2|F2N，即一1+1=2|-1一1|=2|1+1],

Q333

即一万+1=2（~+1）或-,r+1=-2（丁+1）,

KkKk.

解得％=-9或A=-l（舍），

所以直线/的方程为：y=-9x+3,

即直线/的方程为9x+y-3=0.

22.(12分)己知函数/(%)=—6工+m工.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)设用，%2(xi<%2)是函数/(x)的两个极值点，若b其，且“Xi)-"xz)4

恒成立，求实数&的最大值.

解：(1)/(%)=—