2021年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（5月份）附答案解析

2021年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（5月份）

单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.集合锻;曲月肺七斤褪，集合翳=（捌3=。工置¥，则P与Q的关系是（）

A.P=QB.P^QC.P,^QD.PC\Q=0

2.设m,九为非零实数，i为虚数单位，zEC,则方程|z+ni\+|z-mi\=九与|z+ni\-\z-mi\=

-租在同一复平面内的图形（羯,尸2为焦点）是（）

3.

9

75C4D-

A.2

4.8,下列命题为真命题的是

A.己知&beR,贝卜'二^-《一2"是且b<f）”的充分不必要条件

ab

B.已知数列沁*｝为等比数列，则“出<%”是的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面a,若两条异面直线冽，尤满足诜二a,若uf且耀//p,许//CL,则

a//P

D.3xce（-x,0）,使3必*"成立

5.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）

A.JB.2C.SD.到

6.已知直线I：ax-3y-2=0与曲线y=炉在点p(U)处的切线垂直，则P(l,l)到直线，的距离为

()

A7旧B2屈Q3㈤D3屈

'135135

7.已知函数/'(X)的导函数r(x)只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数/(x)及尸(x)的图

8.点M是椭圆9+9=1上任一点，两个焦点分别为Fi，尸2，则AMFiF2的周长为()

A.4B.6C.8D.4+2V3

9.已知函数/'(无)=-2)+3,g(x)=x2-4x+3,若对任意与e[0,4],总存在亚e[1,4],

使得/(xi)＞。(次)成立，则实数血的取值范围是()

A.(-2,2)B.(一簿)C.(-00,-2)D.(一万,+8)

10.定义：密就做=铲1除冷周潮除硼，已知数列｛瓯导满足%=三将7翻纪徽》若对任意正

"<">-.遇陶醐

整数“，都有时更啕^但魏力成立，则谡&的值为（）

A.2B.1C.-D.-

监辔

二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）

11.等比数列｛即｝中，a3=9,前三项和S3=27,则公比q=.

12.已知圆M：（x+cos。）？+（y—sin。）？=1,直线I：y=kx,下面四个命题：

①对任意实数A与仇直线，和圆M相切；

②对任意实数k与。，直线/和圆”有公共点；

③对任意实数氏一定存在实数k,使得直线，与和圆M相切；

④对任意实数鼠一定存在实数0,使得直线]与和圆M相切.

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）.

13.设a=J^cosxdx,则二项式（a五一套尸展开式中含小项的系数是.

2

14.已知箱子中装有10不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球.现从该箱中有放回地依次取

出3个小球，若变量f为取出3个球中红球的个数，则f的方差D（f）=.

15.空间四边形4BCD中，AB=CD,且异面直线AB和CD成30。角，E,F分别是边BC和4。的中点,

则异面直线E尸和4B所成的角等于.

16.在AABC中，若角4B,C的对边分别为a,b,c,且鱼a=2bsim4,则角B=.

17.已知向量a,b,且|a|=代，a与b的夹角为，，a1（2a-h）,则|b|=.

三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）

18.电流/（单位：4）随时间：（单位：S）变化的函数解析式是/=4s讥33t€[0,+8）,其中3=

lOnrad/s,

A=5.

（1）求电流I变化的周期；

⑵当t=。，蔡急急击时，求电流人

19.如图，在四棱锥P-4BCD中，PA1CD,AD//BC,^ADC=

^PAB=90°,BC=CD=AE=-AD=1,PA=2.

2

(1)证明：平面PAB1平面PBD；

(2)求三棱锥E-PDC的体积.

已知数列｛即｝的前项和为％，且%=

20.nn&N*,1,an+1=--an.

(1)证明：数列｛悬｝是等比数列；

(2)求数列｛册｝的通项公式与前n项和3.

21.如图，直线I:丫=刀+/>与抛物线。：/=4y相切于点4.

(1)求实数b的值；

(2)已知圆P经过力点且始终与抛物线C的准线相切，求圆P的圆心的轨迹

方程，并说明其是什么曲线？.

22.设函数/(x)=M+a"(l+%)有两个极值点的，％2,且/<盯・。)求a的取值范围，并讨论了S)

的单调性；

(2)证明：/(叼)>1-21n2

参考答案及解析

1.答案：C

解析：

本小题主要考查集合关系的判断.

求解集合的运算可以借助数轴辅助解决.

由题意可知，逑=侬裁="刁$=［碎凝黑，

螺=刎?=而项=标恒起埋-

所以P写Q

故选C.

2.答案：C

解析:解:设Fi(O,-n),F2(0,m)

,•,方程|z+ni\+\z-mi|=n>0,

•••&(0,-n)在y轴负半轴，

设z对应复平面内点P(x,y),则|z+ni|=|PF/,|z—=仍尸2b

方程|z+ni|+|z-mi|=n即|PFi|+|PF2|=n(定值)，表示以FI、F2为焦点的椭圆；

方程|z+ni|—-=一m即|PF1|一|PF2|=-m(定值)，

当m>0时，表示以&、尸2为焦点的双曲线靠近Fi的一支，当巾<0时，表示以&、尸2为焦点的双曲

线靠近刍的一支

因此，对照各个选项可知只有C符合题.

故选：C

设Fi(0,-n),F2(0,m),由题意得&(0,一切在y轴负半轴，根据复数的几何意义得|z+ni|=|PQ|且

\z-mi\=\PF2\>

所以第一个方程表示到Fi、F2距离之和等于常数的点的轨迹；第二个方程表示到&、尸2距离之差等

于常数的点的轨迹.由此结合椭圆曲线的第一定义，可得本题的答案.

本题给出复数方程，要我们找出适合方程的图形，着重考查了复数的几何意义和圆锥曲线的定义等

知识，属于基础题.

3.答案：A

仅w2

解析：解：实数％,y满足x+y22对应的可行域如下图

(%—y+1<0

所示：

由+1=0解得4(1,2),z=3x+2y经过可行域的4时,

目标函数取得最大值.

当x=l,y=2时，z=3x+2y=7,

故z=3x+2y的最大值为7,

故选：A.

画出已知约束条件对应的可行域，求出直接，代入目标函数，得到结果.

本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法,

一定要掌握.

4.答案：C

解析：

选项」中，《十"4-2="上"：.+2=«+与：40=46<0是4>0且6<0的必要不

ababab

充分条件，所以4错；

选项3中，由得</或f°,，可以推出。4<生>但若。4<。5,贝肱

[q>l[0<q<l

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,-1,1,-1,1,-1•…“，此时推不出外<%<生，

所以3错；选项。中，当x0<0时，白=0)4>4)。=1=3%>4%，所以。错.

故答案为C.

5.答案：B

解析：试题分析：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故

其底面积为可法二都1刈=第，由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方

形的对角线组成一个直角三角形，由于此侧棱长为岳，对角线长为2,故棱锥的高为

3M前一警=等此棱锥的体积为:落叙雷=鬟故选艮

考点：由三视图求体积.

6.答案：D

解析：解：函数的y=/的导数y=3产，在点P(I,I)处的切线斜率k=3,

•・•直线E与切线垂直，

二直线，的斜率〃=/

即?=一［，解得a=-l,

即/：—x—3y—2=0,即x+3y+2=0,

则P(l,l)到直线加勺距离为d=3詈=岛=呼，

故选：D

求函数的导数，根据直线垂直的关系求出a,再由点到直线距离公式求解即可.

本题主要考查点到直线的距离的求解，涉及了导数的几何意义与两直线垂直的判定，根据导数的几

何意义求出切线斜率是解决本题的关键.

7.答案：A

解析：

利用己知条件判断导函数与原函数的关系，利用函数的单调性以及函数的极值，判断选项即可.

本题考查函数的导数判断函数的单调性以及函数的极值的判断，函数的图象与导函数的图象的关系,

考查转化思想以及数形结合的思想的应用，属于中档题.

解：函数f(x)的导函数/'(X)只有一个极值点，结合选项可知，导函数是二次函数，原函数是三次函

数；

导函数只有一个极值点，导函数为0的位置，原函数取得极值，

只有选项A满足题意；

故选：A.

8.答案：B

解析：解：由椭圆二+匕=1，可得a=2,b-V3,c=1,

43

由^MF[F2的周长I=\MFy\+\MF2\+\F1F2\=2a+2c=4+2=6,

故选：B.

由椭圆的方程可知a=2,b=W，c=l,4M&F2的周长I=IMR|+|MF?I+IF#2I=2a+2c.

本题考查椭圆的标准方程，考查焦点三角形的求法，考查计算能力，属于基础题.

9.答案：A

解析：

本题考查不等式恒成立问题，考查运算能力和推理能力，属于中档题.

根据对任意的修e[0,4],总存在孙e[1,4],使/(Xi)>g(X2)成立，由二次函数的值域求得可得g(x)

的最小值，可得一1<m(x-2)+3在xe[0,4]恒成立，进而根据一次函数的单调性可得关于m的不

等式组，解不等式组可得答案.

解：g(x)=x2-4x+3=(%-2)2-1,

当小6[1,4]时，g(x2)G[-1,3]，

则9(物)的最小值为一1，

可得-1<m(x-2)+3在xG[0,4]恒成立，

则一1<—2m+3且一1<27n+3,

解得m<2,m>—2,

即—2<m<2,

故选：A

10.答案:D

虾触骑瞥

解析：试题分析：根据新定义，：,躅而正视般部■，那么可知，魄=,百£丁「,因

为对于任意正整数法，者B有外，丑与，趣但魏』成立，则可知

T„智.T臂:i.■浜劈-端嘤:，c

萧出资"京一那”口一霖一可当〃=1,不等式成立，可知缝,喧瑟，当n=2时，

一聂'富一制学堂骸

限限

:您当n=3时，,n=4时，则%WL依次以后％将增大，可知结论为品，选。.

那么可知雕.的值为上，故选D

■辔

考点：考查了数列的新定义。

点评：解决该试题的关键是对于数列定义的理解和不等式恒成立的转换，属于中档题。

|1.答案：1或一3

解析：解：等比数列｛斯｝中，

<13=9,前三项和S3=27,

,[«192=9

1%+arq+9=27’

整理，得2q2-q-i=o,

解得q=1或q=-5

故答案为：1或—

由已知得出=27,由此能求出q=1或q=4-

本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.

12.答案：②④

解析：解：圆心坐标为（—cos0,s）0）,圆的半径为1

圆心到直线的距离d==|sin（。+<p）|<1（其中sinw=-^==,coscp--^==）

所以直线l与圆M有公共点，且对于任意实数鼠必存在实数9,使直线I与圆M相切，

故答案为：②④

根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r,然后求出圆心到已知直线的距离d,利用两角和的正弦函

数公式化为一个角的正弦函数，与半径r比较大小，即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即

可.

本题要求学生会利用圆心到直线的距离与半径比较大小来判断直线与圆的位置关系，灵活运用点到

直线的距离公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题.

13.答案：-192

nn

解析：解：a=J&cosxdx==1-（-1）=2,

~2~2

••・二项式（2五-3）6的展开式的通项公式为7；+1=凄.（-1/-26-r.%3-r,

令3-7=2,求得丁=1,可得展开式中含％2项的系数为一6x25=-192,

故答案为：—192.

求定积分可得a=2,在二项式（2立-专产的展开式的通项公式中，令％的塞指数等于2,求得r的值，

可得展开式中含一项的系数.

本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数,

属于基础题.

14.答案：§

解析：解：由题意，每次抽出红球的概率为总=最

所以彳〜B(3,》，

故f的方差D(f)=np(l-p)=3x|x(l-i)=g.

故答案为：

先求出每次抽出红球的概率，然后利用f〜8(3,》，由方差的计算公式求解即可.

本题考查了二项分布的理解和应用，解题的关键是掌握二项分布的方差计算公式，属于基础题.

15.答案：75。或15。

解析：解：取8D中点为G,联结EG,FG,

vBG=GD,AF=FD,

:.FG渭,同理可得EG£券，

・•.NFGE的大小或补角等于异面直线4B与CD所成角的大小，

即4FGE=30°或150°

又AB=CD,FG=EG

••.△FGE为等腰三角形，

4GFE=75°,

.••异面直线EF和AB所成角等于75。或15。.

故答案为：75。或15。.

取BD中点为G,联结EG,FG,由已条件推导出NFGE的大小等于异面直线48与CD所成角的大小,

由此利用等腰三角形性质能求出异面直线EF和48所成角的大小.

本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

16.答案：W或f

44

解析：解：=y/2a=2bsinA^由正弦定理可得：yj2sinA=2sinBsinAisinAH0,

解得sinB=乎，B6（0,兀）.

44

故答案为：9或券

44

由&a=2bsinA）利用正弦定理可得：y/2sinA=2sinBsinA>sinA力0,解得sinB=弓，Be（0,兀）.

即可得出.

本题考查正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

17.答案：4

解析：

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题.

W：|a|=V3,［与的夹角为*a1(2a-

则a•(2a-b)=2同—a-b=2xV32--\/3|hcos^=0>

可得b=4,

故答案为4.

18.答案：解：（1）由题意，电流I变化的周期7=生=芸=：

31U7T5

(2)当t=0,1=5s讥0=0,

当一1=5s皿黑）=5s讥恭

当一1=5s皿器）=5s讥奈

L/30"、l-37r

当‘=高/r=5sm(——)=5sin—,

v200720

当t=4,/=5s讥黑=5s呜，

解析：（1）根据正弦函数的周期公式即可求解.

⑵将「=°，亲击，急•弋入求得/的值即可・

本题考查y=Asin（MX+0）中参数的物理意义，属于基础题.

19.答案：（1）证明:

vPALCD,"48=90。，4B与CC相交，4Bu平面4BCD,CDu平面ABC。，

•••PA1平面ABC。，

vBDu平面ABC。，

•••PA1BD,

由AE—|71£)—1,则ED—|i4£>=1,

ED=BC=CD=1,又〃DC=90。，AD//BC,

四边形BCDE为正方形，BELAD,BE=1,

乙BAD=4BDA=45°,乙ABD=90°,

^BDLAB,

XvPAdAB=A,PAu平面H4B,4Bu平面H4B,

•••BD1平面P4B,又BDu平面PBD,

••・平面P4B1平面PBD.

(2)解：VE-PDC=Vp-CDE=3^ACDE,P4

=ixixlxlx2=i.

323

解析：本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题.

(1)由P4_L4B,PA_LCD可得PAJ■平面4BC0,故24IB。，利用勾股定理的逆定理得出4B1BD,

故B£>1平面248,于是平面P4B1平面PBD；

(2)VE-PDC=^P-CDE=]SACDE-P4即可求解.

20.答案：解：(1)证明：.••%1+1=岸而，

n+2

.a篦+1_2n+2即_2.V.

•・n+2-n+2-2n+1

又a=2,

1+12

•••数列｛含｝是首项、公比均为裁勺等比数列，且含=(》"；

(2)解：由(1)知：含=(3"，

n+1

"an=

乂Sn=2xg+3x++4x表+…+箸,

lsn=2x£+3X或+…+/+翳•,

两式相减得：衿=1+＞套+…+或一露=1+^^1—普=1一霜，

2

C°n+3

Sn=3——.

解析：(1)由题设条件推导出数列｛含｝相邻两项之间的关系式，即可证明结论；

(2)先利用(1)中求得的数列｛岩｝的通项公式求出与，再利用错位相减求其前n项和即可.

本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题.

21.答案：解：⑴由朦/，，得/—4x—4b=0.

・・•直线，与抛物线相切，

(-4)2-4x(-4b)=0,解得b=-1.

(2)由⑴已知4的坐标为(2,1),

设P(x,y).

•・•圆P经过4点且始终与抛物线C的准线相切，

•••伊川=ly+1|

•••J(x-2)2+(y—1)2=|y+1|

.,•圆心轨迹(％-2)2=4y是抛物线.