均匀分布和几何概率

PAGE第10页共14页均匀分布和几何概率摘要均匀分布是概率论中的一个重要分布，本文重点介绍了一元均匀分布和二元均匀分布，包括它们的定义，性质，边缘分布和参数估计等；同时介绍了均匀分布产生的实际背景，以及它在实际问题中的具体适用范围。同时也介绍了几何概率的基本定义，并将其与均匀分布的相似处进行比较，引入了通过测度的比较来判断事件发生的概率情况。关键词均匀分布几何概率参数估计边缘分布最大似然估计1引言概率论部分应使学生掌握随机现象的统计规律的一些具体模型的建立方法及其性质的推导方法.并会利用这些模型分析解决一些实际问题，为学习数理统计部分奠定理论基础.数理统计是以概率论的内容为基础，应着重讲授数理统计理论及其实际建模方法，为开展数学实验奠定基础.通过学习，理解概率统计当中的基本概念和性质；掌握几种常见分布；会计算一些事件的概率；能够求解简单的离散型随机变量的分布率及连续型随机变量的概率密度和分布函数；了解大数定率和中心极限定理的内容及其在实际应用中的指导意义；掌握参数估计的点估计法和区间估计法；理解并掌握参数的假设检验方法，并能用这些方法解决一些实际中的问题.本文主要是对均匀分布基本概念及性质的研究，以及相应参数估计，边缘分布的简单介绍；并且对均匀分布和几何概率相似点进行联系比较。实际中的均匀分布问题多种多样，本文的基础研究对于以后借助计算机的方法模拟均匀分布的实验过程一定会很有帮助。2一元均匀分布若连续型随机变量X在有限区间上取值，且其概率密度为则称X在上服从均匀分布，或称X服从上的均匀分布，记为.若，则X的分布函数为：由于故的确是概率密度函数.若,则这说明X落在的任何子空间的概率，与该子空间的长度成正比，而与子空间的位置无关，就是说X的概率分布是很“均匀的”，这就是一元均匀分布的概率意义.在实际问题中，服从均匀分布的例子是很多的，例如：（1）设汽通过某站的汽车每10min一辆，那么乘客候车的时间是在[0.10]上服从均匀分布的随机变量.（2）通常的舍入误差X，是一个在[-0.5，0.5]上服从均匀分布的随机变量.例2.1设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.解因为X的概率密度为:所以令Y表示三次独立观测中观察值大于3的次数，则所以例2.2若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，方程有实根的概率是多少？解因为X在（1，6）上服从均匀分布，所以X的概率密度又方程有实根的条件是所以3均匀分布U[a,b]及其产生的背景设连续型随机变量X的分布函数为,则称随机变量X服从上的均匀分布,记为.若[x1,x2]是的任一子区间,则这表明X落在的子区间内的概率只与子区间长度有关,而与子区间位置无关,因此X落在的长度相等的子区间内的可能性是相等的,所谓的均匀指的就是这种等可能性.在实际问题中,当我们无法区分在区间内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时,我们就可以假定X服从上的均匀分布.在估计、计算及测量引起的测量误差问题中，有一类误差具有“均匀性”，相应的分布叫均匀分布，几何概型也是均匀分布.严谨定义如下.定义3.1称连续型随机变量X遵从区间上的均匀分布，并记为,如其分布密度函数有如下形式容易得出他的分布函数：仿上可定义在开区间及半开半闭区间上的均匀分布.又有密度函数性质知：连续型随机变量取任何固定值的概率为0，因此从概率规律看来，U[a,b]和U(a,b)没有实质的区别.因此在介绍连续型随机变量的分布函数时也常常会遇到类似问题而不去计较某几个点上的之的不同.产生均匀分布的另一个背景是舍入误差问题.计算机定点近似的舍入误差.在计算机上作计算，对实数要做近似处理，所谓单精度实数和双精度实数，就是这类处理的规则和结果.设对实数小数点后第6位做四舍五入，则舍入误差X在内任意一点的（微分）邻域因为等可能的因此可认为X遵从此区间上的均匀分布.4多维均匀分布及其性质、边际分布4.1二维均匀分布定义定义4.1设A的面积L（A）满足0<(A)<∞.二维随机变量（X,Y）的分布密度函数为则称（X,Y）遵从A上均匀分布，记为（X,Y）～.4.2二元均匀分布的性质设G为平面上有界区域，其面积为A，若二维随机变量（X，Y）具有概率密度：（3.1）则称在G上服从均匀分布.由于，且故满足概率密度的2个基本性质.设（X,Y）在有界区域G上服从均匀分布，概率密度为试(3.1)，若D是G中的任一子区域，其面积为，则该式表明，落在子区间D中的概率仅与D的面积成正比，而与D形状及在G中的位置无关，故只要各子区域的面积相同，落在它们中的概率就是相等的，“均匀分布”中“均匀”就是这中等可能的意思.4.3边缘分布4.3.1边缘分布函数.设)是的联合分布函数，则分别称为关于X与Y的边缘分布函数.定义1设X与Y是定义在同一样本空间上的连续型随机变量，若存在非负函数，使得对于平面上的任意区域有（1）则称为二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度函数，简称联合概率密度.称X与Y各自的概率密度及分别为随机变量X与Y的边缘概率密度函数.定义2设X与Y是定义在同一样本空间上的两个随机变量，与是任意两个实数，称（2）为二维随机变量的联合分布函数.由定义2知（1）若X与Y是二维离散型随机变量，并有联合概率函数，；，则（2）若X与Y是二维连续型随机变量，并有联合概率密度函数，则且在的连续点处，有定理1设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为，则X的边缘概率密度函数为（3）Y的边缘概率密度函数为（4）证X的边缘分布函数上式两边对求导数得同理可证（4）式.例4.1设二维随机变量（X,Y）的概率密度为则A=______________,P{X<}=______________.解由概率密度性质：所以得A=4.所以（2）.5均匀分布的参数估计5.1最（极）大似然估计法：（R.A.Fisher提出）极大似然估计法是求估计的另一种方法.它最早由高斯提出.后来为费歇在1912年的文章中重新提出，并且证明了这个方法的一些性质.极大似然估计这一名称也是费歇给的.这是一种上前仍然得到广泛应用的方法.它是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，….若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大.5.1.1基本思想：若总体X的分布律为[或密度函数为]，其中为待估参数（）.设是来自总体的一个样本，是相应于样本的一样本值，易知：样本取到观测值的概率为[或样本落在点的邻域（边长分别为的维立方体）内的概率近似地为（微分中值定理）]，令[或]，则概率随的取值变化而变化，它是的函数，称为样本的似然函数（注意，这里的是已知的样本值，它们都是常数）.如果已知当时使取最大值，我们自然认为作为未知参数的估计较为合理.最大似然方法就是固定样本观测值，在取值的可能范围内，挑选使似然函数达到最大（从而概率达到最大）的参数值作为参数的估计值，即，这样得到的与样本值有关，常记为，称之为参数的最大似然估计值，而相应的统计量称为参数的最大似然估计量.这样将原来求参数的最大似然估计值问题就转化为求似然函数的最大值问题了.5.1.2具体做法:=1\*GB3①在很多情况下，和关于可微，因此据似然函数的特点，常把它变为如下形式：（或），该式称为对数似然函数.由高等数学知：的最大值点相同，令，求解得：，从而可得参数的极大似然估计量为；=2\*GB3②若和关于不可微时，需另寻方法.例5.1：设未知，是一个样本值，求的极大似然估计.解：由于则似然函数为：通过分析可知，用解似然方程极大值的方法求极大似然估计很难求解（因为无极值点），所以可用直接观察法：记有则对于满足条件：的任意有即在时取得最大值故的极大似然估计值为，的极大似然估计量为.或者令，则，从而似然函数为：记，可得故的极大似然估计量为.5.2矩估计法：5.2.1基本思想：矩估计法是一种古老的估计方法.大家知道，矩是描写随机变量的最简单的数字特征.样本来自于总体，从前面可以看到样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征，且在样本容量增大的条件下，样本的阶原点矩以概率收敛到总体的阶原点矩，即因而自然想到用样本矩作为总体矩的估计.5.2.2具体做法：假设为总体的待估参数（），是来自的一个样本令即，得一个包含个未知数的方程组，从中解出的一组解，然后用这个方程组的解分别作为的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值.6估计量的优良标准在对总体参数做出估计时，并非所有的估计量都是优良的，因此，要评价我们构造的估计量是否优良.评价点估计量优劣常用的3个标准：6.1无偏性无偏估计量：如果样本统计量的期望值等于该统计量所估计的总体参数，则这个估计量就叫做无偏估计量.数学表达式为：其中：θ是被估计的总体参数；是θ的估计量.例6.1：设总体（即X是（）上的均匀分布），是样本，用矩法对未知参数θ进行估计时得到证∵∴θ的矩法估计量是θ的无偏估计量.6.2一致性一致性：当样本容量n增大时，如果估计量越来越接近总体参数的真值时，称这个估计量为一致估计量.估计量的一致性是从极限意义上讲的，它适用于大样本的情况，如果一个估计量是一致估计量，那么，采用大样本就更加可靠.6.3有效性有效性：指估计量的离散程度.如果两个估计量都是无偏的，其中方差较小的（对给定的样本容量而言）认为相对来说是更有效的.以上三个标准并不是孤立的，应该联系起来看.如果一个估计满足这3个标准，这个估计量就是一个好的估计量.数理统计已证明，用样本平均数来估计总体平均数和用样本比率来估计总体比率时，它们是无偏的、一致的和有效的7几何概率及与均匀分布的关系：7.1几何概率古典概型要求样本点总数是有限的.若有无限个样本点，特别是连续无限的情况，随时等可能的，也不能利用古典概型，但是类似的算法可以推广到这种情形.若样本空间是一个包含无限个区域（一维，二维，三维或n维），样本点是区域中的一个点，此时用点数度量样本点的多少就毫无意义.“等可能性”可以理解成“对任意两个区域，当他们的测度（长度，面积，体积，…）相等时，样本点落在这两个区域上的概率相等，而与形状和位置都无关”在这种理解下，若记时间={任取一个样本点，它落在区域},则的概率定义为这样定义的概率称为几何概率.例7.1某公路汽车5分钟一班准时到达某车站.求任一人在该站等车时间小于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解可以认为人在任意时刻到站时等可能的.设上一班车离站时刻为,则某人到站的一切可能时刻为,记={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g={a+2,a+5}中的任一时刻，故=.7.2几何概率及与均匀分布的关系集合概率若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率.几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，蒲丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子.在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的，还必须考虑试验结果是无限个的情况.为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域表示，其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质，关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念.假设区域以及其中任何可能出现的小区域都是可以测度的，其测度的大小分别用和表示.如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积等.并且假定这种测度具有如长度一样的各种性质，如测度的非负性、可加性等.结束语均与分布具有很重要的实际意义.第一在许多工程、通讯等技术问题中，所研究的控制过程往往不可避免的伴随有随机因素，要是理论符合实际情况，必须要把这些因素考虑在内.其次,蒙特卡洛统计试验机算法的基本思想就是人为的建立一种概率模型，它的某些参数就恰好是所考虑的问题的解.因此，要利用这种计算方法，先决条件是要把所需的概率问题模型模拟出来.而对均匀分布这种重要的分布进行基础的理论研究就是必然的结果。参考文献[1]魏宗舒，