2023高考真题13 立体几何中的位置关系及截面问题

专题13立体几何中的位置关系及截面问题

【高考真题】

1.(2022•全国乙理)在正方体A88-A耳G9中，E,尸分别为A8,8C的中点，贝lj()

A.平面4EF_L平面BDRB.平面片所，平面

C.平面BgF//平面AACD.平面B|EF//平面4G。

【知识总结】

1.直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：理a,ka,a//b=>a//a.

(2)线面平行的性质定理：a//a,aap,an(i=b=a〃b.

(3)面面平行的判定定理：au[3,bu§,aHh=P,a//a,b//a^a//p.

(4)面面平行的性质定理：a//p,aCl尸a,阳尸ga〃江

平行问题的转化

面面平行的判定

线线I线面平行的判定I线面I面面平行的判定I面面

平行”线面平行的性质]平行I■而而平行的性质’平行

L______________J

面面平行的性质

利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高

维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实

际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.

平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三

条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线

段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.

2.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：mua,〃ua,znn〃=P,lA-m,/±n=>/±a.

(2)线面垂直的性质定理：a_La,b，a=a//b.

(3)面面垂直的判定定理：“u夕，a1a^a±/i.

(4)面面垂直的性质定理：a邛,楙=1,oca,a_L/na_L..

垂直问题的转化

面面垂直的判定

线线线面垂克的判定线面1面面垂直的判定.面面

垂直线面垂直的性质面面垂克的性质垂直

面面垂直的性质

在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判

定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平

面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.

垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；

二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面

即可，/_La,aua=/J_a.

3.确定截面的主要依据

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形

状是解决截面问题的关键.

（1）平面的四个公理及推论.（2）直线和平面平行的判定和性质.（3）两个平面平行的性质.（4）球的截面

的性质.

【题型突破】

题型一简单位置关系的判断

1.（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线〃?，"，I,则n,/在同一平面“是"〃?，〃，/两两

相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2019・全国II）设a,4为两个平面，则a〃夕的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与4平行B.a内有两条相交直线与夕平行

C.a,夕平行于同一条直线D.a,“垂直于同一平面

3.已知a,夕表示两个不同平面，a,6表示两条不同直线，对于下列两个命题：

①若。ua,acta,则是"〃a”的充分不必要条件；

②若aua,bua,则“a〃,'是"a〃夕且匕〃夕的充要条件.

判断正确的是（）

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

4.已知a,夕是空间两个不同的平面，，加"是空间两条不同的直线，则给出的下列说法正确的是（）

@m//a,"〃夕，且，？?〃”，则a〃6；@m//a,"〃夕，且机_1_”,则a_L"；

③且，？2〃“，则a〃6；@mS-a,"L?,且/w_L",则a_L£.

A.①②③B.①③④C.②④D.③④

5.己知〃?，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，给出四个命题：

①若aDQ=〃?，〃ua,"L”，则a_L夕；②若/n_La,夕，则a〃夕；

③若/n_La,nX.fi,/n±n,贝Ua_L夕；④若，？i〃a,〃〃尸，m//n,则a〃4.

其中正确的命题是（）

A.①②B.②③C.①©D.③④

6.（2020•全国H）设有下列四个命题：

①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；

②过空间中任意三点有且仅有一个平面：

③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；

④若直线/u平面a,直线沉，平面a,则机，/.

则上述命题中所有真命题的序号是.（填写所有正确命题的序号）

7.（2019•北京）已知/,相是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_1_机；②机〃a；③

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

8.设a,尸，y是三个不同的平面，相，〃是两条不同的直线，在命题"aC6=m,"Uy,且______,则m//n'

中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.

@a//y,"U夕；@m//y,"〃小③"〃夕，mCy.

可以填入的条件有.

9.（多选）已知〃1,”为两条不重合的直线，a,6为两个不重合的平面，则（）

A.若〃z〃a,n//p,a//S，则，"〃/2B.若a_L夕，则机

C.若加〃〃，〃?_La,〃_!_£,则a〃夕D.若，"〃"，〃_La,a邛,则，"〃夕

10.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可

换命题”.给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；

④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是.（填序号）

题型二较难位置关系的判断（1）

11.（2019•全国III）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD_L平面ABC。，M

是线段EC的中点，贝IJ（）

E

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM^EN,且直线BALEN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMWEN,且直线8M,EN是异面直线

12.（多选）在正方体ABC。-AiBCQi中，下列直线或平面与平面AC。平行的是（）

A.直线4BB.直线C.平面D.平面48G

13.（2017・全国I）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）

14.已知点E,尸分别是正方体ABC。-ABiGA的棱AB,A4|的中点，点M,N分别是线段。E与C|F

上的点，则满足与平面A8CD平行的直线〃"有（）

A.。条D.无数条

15.如图所示，在正方体ABCC—AiBiCQi中，点O,M,N分别是线段8Z）,DD\,OiG的中点，则直线

0M与AC,MN的位置关系是（)

A.与AC,MN均垂直B.与AC垂直，与A/N不垂直

C.与AC不垂直，与MN垂直D.与AC,MN均不垂直

16.如图，南，圆。所在的平面，AB是圆。的直径，C是圆。上的一点，E,尸分别是点A在尸8,PC

上的射影，给出下列结论:

®AF±PB；②EFLPB；③AF_LBC；④4七_1_平面PBC.

其中正确结论的序号是

17.如图，AB是圆锥SO的底面圆。的直径，。是圆0上异于4,8的任意一点，以A。为直径的圆与

的另一个交点为C,P为5。的中点.现给出以下结论:

①为直角三角形；②平面平面SBQ；③平面以8必与圆锥SO的某条母线平行.

其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）.

18.如图所示，直线也垂直于。。所在的平面，△ABC内接于。0,且AB为。。的直径，点M为线段

PB的中点.现有结论：①BC_LPC；②0M〃平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其

中正确的是（)

D.②③

19.其中48=2蜴AB=巾,

=CG=2,则下列叙述中正确的是（)

A.该四棱台的高为小B.A4,±CCi

C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为16兀

20.（多选）如图，在以下四个正方体中，直线48与平面CDE垂直的是（）

题型三较难位置关系的判断（2）

21.将正方体的纸盒展开如图，直线A8,8在原正方体的位置关系是（)

A.平行B.垂直D.异面且成60。角

22.如图是一个正方体的平面展开图.在这个正方体中，①与匹是异面直线；②CN与BE平行；③

CN与成60。角；④。M与8N垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

23.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,

在这个正四面体中：

①与EF平行：②BO与MN为异面直线：③G/Z与MV成60。角；④。E与MN垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

24.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABC。为正方形，E,尸分别为以，PQ的中点，在此几

何体中，给出下面4个结论：

①直线2E与直线CF异面；②直线8E与直线AF异面；③直线EP〃平面P2C；④平面平面

PAD.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

25.如图，在正方形ABC。中，E,F分别是BC,CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE,AF及EF把

这个正方形折成一个空间图形，使B,C,。三点重合，重合后的点记为“，那么，在这个空间图形

中必有（）

A.AG_L平面EFHB.AH_L平面EFHC.HF_L平面AE尸D.HG_L平面4EF

26.（多选）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高4）为折痕，翻折和△ACZ）,使得平面

平面ACD.下列结论正确的是（）

A.BDLACB.△BAC是等边三角形

C.三棱锥。一ABC是正三棱锥D.平面AOCL平面A8C

27.如图，在直角梯形ABCE）中，BC1.DC,AELDC,且E为C。的中点，M,N分别是A。，BE的中点,

将△AOE沿4E折起，则下列说法正确的是_______.（写出所有正确说法的序号）

①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有〃平面DEC；

②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MNLAE-,

③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN//AB,

④在折起过程中，一定存在某个位置，使ECJ_A。.

28.如图所示，在直角梯形BCE/中，/CBF=NBCE=90°,A。分别是BF,CE上的点，AD//BC,且

AB=OE=2BC=2AF（如图1）.将四边形AOEF沿AZ）折起,连接AC,CF,BE,BF,CE（如图2）,在

折起的过程中，下列说法错误的是（）

E

二，今

B

FAB

A.AC〃平面BEFB.B,C,E,F四点不可能共面

C.若EFLCF,则平面平面ABC。D.平面BCE与平面BE尸可能垂直

29.如图，已知棱长为1的正方体中，E,F,M分别是线段AB,AD,44］的中点,又

P,。分别在线段AiBi，Ai5上,且AiP=AQ=x（（Kx<l）.

设平面MEFC平面MPQ=/,现有下列结论：①/〃平面4BC£>；②/J_4C；③直线/与平面BCC|8|不

垂直：④当x变化时，/不是定直线.

其中成立的结论是..（写出所有成立结论的序号）

30.（多选）如图，点P在正方体48C£>—AIBICQI的面对角线BCi上运动，则下列四个结论正确的是（）

A.三棱锥4一。1PC的体积不变B.41P〃平面ACdC.DPLBC\D.平面PDBiJ_平面ACA

题型四截面问题

31.如图，在正方体ABC。一A1SG"中，E,F,G分别在AB,BC,DDi上,则作过E,F,G三点的截

面图形为（）

A.四边形B.三角形C.五边形D.六边形

32.如图，在正方体ABC£>-4BICQI中，点E,尸分别是棱SB,8G的中点，点G是棱CC的中点,

则过线段4G且平行于平面4EF的截面图形为（）

A.矩形B.三角形D.等腰梯形

33.（2018・全国I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所

得截面面积的最大值为（）

D.

A.乎B.岁。4坐

34.如图，在三棱锥O—ABC中，三条棱。4,OB,OC两两垂直，且OA>OB>OC,分别经过三条棱04,

OB,0C作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S”52,53,则S,52,53的大小关系为

35.（2016•全国I）平面a过正方体ABCD-AIBIGA的顶点4,a〃平面CBQ,”1平面ABCO=m,aCl

平面ABBiAi=〃，则〃?，〃所成角的正弦值为（）

近近

/AA（2DR•巫2C♦3LD*•13

36.如图，在棱长为1的正方体ABCO-A/CQi中，M,N分别是4。，4