2022年高考数学真题分类汇编06：数列及答案

2022年高考数学真题分类汇编专题06：数列

一、单选题

1.（2022•浙江）已知数列｛时｝满足的=1,即+1=a"—界OWN*），贝U（）

A.2<IOOCIJQQ<B.趣<lOOdioo<3

77

C.3<lOOtiioo<2D・2<1°°的00<4

2.（2022•新高考区卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建

筑物的剖面图，DD],CCr,BB1,AA1是举，0%,DCX,CB「BAX是相等的步，相邻桁的举

步之比分别为§§1=0.5,猊=的，舞=七，貌=七，若M，k2,k3是公差为0.1的等差

数列，且直线。4的斜率为0.725,则k3=（）

A.0.75B.（）.8C.0.85D.0.9

3.(2022•全国乙卷)已知等比数列｛an｝的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()

A.14B.12C.6D.3

4.（2022•全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太

阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛%｝：H=1+

出=

b2=1-------p1+-Ji依此类推，其中ak£N*（k=l,2,

al叼+而个不'

-).贝IJ()

A.b[<b$B.b3<b8C.b6Vb2D.b4<by

5.（2022•浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2,3之间插入2与3的积6,得到

数列2,6,3；第2次，在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2,12,6,18,3；

类似地，第3次操作后，得到数列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后,

得到的数列记为｛an｝,则a1025的值是O

A.6B.12C.18D.108

6.（2022•上海）已知｛an）为等比数列，｛an）的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项中

正确的是（）

A.若52022>52021，则数列｛即｝单调递增

B.若72022>72021，则数列｛时｝单调递增

C.若数列｛S"｝单调递增，贝I0.2022­02021

D.若数列｛〃｝单调递增，贝I«2022>02021

二、填空题

7.（2022•全国乙卷）记Sn为等差数列｛册｝的前八项和.若2s3=3SZ+6,则公差

d=.

8.（2022•北京）己知数列｛a“｝的各项均为正数，其前n项和Sn,满足a「Sn=9（zi=1,2,

-）给出下列四个结论：

①｛时｝的第2项小于3；②｛a"为等比数列；

③｛加｝为递减数列；④｛a"中存在小于焉的项。

其中所有正确结论的序号是.

9.（2022•浙江学考）若数列｛即｝通项公式为an=2n,记前n项和为Sn,则a2=；

S4=.

三、解答题

10.（2022•浙江）己知等差数列｛an｝的首项的=—1,公差d>1.记｛an｝的前n项和为

Sn（n€N*）.

（I）若S4—2a2a3+6=0,求Sn；

（II）若对于每个nEN*,存在实数金，使即+cn,an+1+40,an+2+15cH成等比数

列，求d的取值范围.

11.（2022•新高考回卷）已知｛%｝为等差数列，出3是公比为2的等比数列，且。2-电=。3-

b3=b4-a4.

（1）证明：劭=外；

（2）求集合｛k|bk=am+ai，1<m<500）中元素个数.

12.（2022•全国甲卷）记Sn为数列｛%｝的前n项和.已知+n=2an+1.

（1）证明:｛an｝是等差数列；

（2）右Q4，CL?fCLg成等比数列，求sn的最小值.

13.（2022•北京）已知Q；的,a2，…，以为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n£

｛1,2,…，m｝,在Q中存在的，见+1，ai+2>…，a；+y（/>0），使得a,+ai+i+ai+2++

ai+j=n,则称Q为血―连续可表数列.

（1）判断Q；2,L4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

（U）若Q；的,a?，…，”为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；

(Ill)若Q：alf…，以为20-连续可表数列，由+敢+…+以V20,求证：k>

7.

14.(2022•新高考回卷)记S”为数列｛厮｝的前n项和，己知%=1,｛粉是公差为1,的等差

数列.

(1)求｛an｝的通项公式；

111

(2)证明：—+—+-I--<2

a】a?a-n

15.(2022・新高考回卷)已知函数/(%)=ex-ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=b,,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，

并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

16.(2022•上海)已知数列｛a",a2=l,｛%｝的前n项和为Sn.

()若｛｝为等比数列，,求出熟；

1an52=3Sn

(2)若｛an｝为等差数列，公差为d,对任意new*,均满足S2n>n,求d的取值范围.

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】2

8.【答案】①③④

9.【答案】4；20

.【答案】解：(设几—,依题意得，

10I)an=(l)d—16d—4—2(d—l)(2d—1)+6=0.

解得d=3,贝！Jan=3n-4,nEN*,

于是Sn=3(1+2+…+n)-4n=32s号)-即=歹5],^N*.

设,依题意得，

(II)an=(n-l)d-1

[c+(ji(九+nd

n—l)d—1][15cn+7i+l)d—1]=[4c-if,

15c^+[(16n—14)d—16]cn+(ri^—l)d?-2Tlet+1=16c^+8(nd-l)cn+n2d2—2nd+1

2

Cn4-[(14—Sn)d+8]cn+d=0

故4=[(14—8n)d+8]2—4d2=[(12—8n)d+8][(16—8zt)d+8]之0

[(3-2n)d+2][(2-n)d+1]>0对任意正整数n成立.

n=1时，显然成立；

n=2时，-d+2N0,则dW2；

n■之3时，[(2九一3)d—2][(ri-2)d—1]>(2TI—5)(n—3)30.

综上所述，1<d工2.

IL【答案】⑴证明：设数列｛&｝的公差为d,所以，[即上/1=a?十笑二4*,即可

解得，/=%=苧，所以原命题得证.

(2)解：由(1)知d=2%=2al,

由bk=+%知：b1•2"1=a1+(TH-1),d+a]

即2『1=瓦+(血-1)・2bl+⑦，即=2m,

因为146(500,故242"i<1000,解得24k410

故集合[k\bk=am+alf1<m<500｝中元素的个数为9个.

2

12.[答案](1)已知+n=20n+1,即2Sn+n=2nan+ri①，

当n>2时，2Sn_i+(九一=2(n—l)an_i+(九一1)②，

2

(J)-②得，2Sn+/—2Sn-i-(n—I)=2nctn+九-2(n—l)Qn_i-(n-1),

即2a几+2九-1=2n(zn—2(n—+1，

即2(n-l)an-2(n-l)an_i=2(n-1),所以即一册一i=1,九之2且nwN*,

所以[an]是以1为公差的等差数列.

(2)由(1)中an—an-i=1可得，%=+3,即=+6,AABC,

2a

又。4，。7，09成等比数列，所以a7=a4,9»

即(。1+6)2=(a1+3)•(a1+8)，解得=-12,

所以an=n-13,所以sn=-12n+的”=犷一竽[=](n-竽)一等，

所以，当几=12或九=13时(Sn)min=-78.

13.【答案】(I)若m=5,则对于任意几E[1,2,…，5｝»的=2,Q?=L%=4,取+。3=

5,所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6,所以Q不是6-连续可表数

列；

（II）若k<3,设为a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c6种矛盾k=

4,3,2,1,4满足

"kmin>4

（III）若kW5,则由，a2,ak至多可表15个数，与题意矛盾，若k=

6,Q：a,b,c,d,e,f至多可表21个数，而a+b+c+d+e+/<20,所以其中有负的，

从而a,b,c,d,e,f可表l~20及那个负数（恰21个）

这表明a-/中仅一个负的，没有0,且这个们的在a-f中绝对值最小，同时a-/中没有两数

相同，设那个负数为一m（mNl）

则所有数之和>7n+l+m+2+---+m+5—m=4m+15,4m+15<19=>m=1

（a,b,c,d,e,/｝=｛一1,2,3,4,5,6）,再考虑排序

•••l=-l+2（仅一种方式）

•••-1与2相序

若-1不在两端，贝2—”形式

若％=6,则5=6-1（2种方式矛盾）

•••%力6，问理久才5,4,3,故-1在一端，不妨为"-12ABCD”形式

右Z=3,贝5=2+3（2种矛盾）4=4同理不行

4=5,贝ij6=—1+24-5（2种矛盾）从而A=6

由7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻，故只能一1,2,3,4,5,4①

或一1,2,6,4,5,3②这2种情形

对①9=6+3=5+4矛后

对②8=2+6=5+3也矛盾

综上k。6

k>7

14.【答案】⑴因为隹｝是公差为I的等差数列，而林=1,

所以,=普+⑴-1必=1+\（九一1）今Sn=+|）册①

n之2时,S“_i=（^n+②

①-②有:岩，n>2.

an-ln-1

^2_3^3_1an_n+1

所以6f而一2G二R

以上式子相乘，得斯=吗工，n>2

经检验，九=1时，%=1,符合.

所以斯=吆抖.

(2)由(1)知—=混室)

所以/=而％1=2。一击)

11111111?

所以西+迹+…+而=2(1-2+2一9+…+/E)=2-m

因为neN*,所以>0,

所以2---<2,

n+l

1I1

即7—7—F…+；-<2.

Q]。2Q"

15.【答案】(1)因为/(%)=ex-ax,所以/(%)=ex-a，

若aW0,贝ij/'(%)=ex-a>0恒成立，

所以/(x)在(0,+oo)上单调递增，无最小值，不满足;

若a>0,令f5(x)>0=x>lna,令f'(x)<0=>x<lna,

所以/Q)min=/(Ina)=a-alna,

因为9(%)=ax-Inx,定义域x>0.所以g'(x)=a-,

所以g'(x)>0=x>:,(x)<0=>0<x<，

所以g(%)min=g(3=1_ln'，

依题有Q—alna=l—Ini，即Ina——0,

aQ+1

令h(a)=Ina-(a>0),则1(a)=。?+1>0恒成立

所以h[a｝在(0,+oo)上单调递增，又因为h(l)=0,

In。—鲁=°有唯一解a=l'

综上，a=l

(2)由(1)易知/(x)在(-co,0)上单调递减，在(0,+00)上单调递增，g(x)在(0,1)上

单调递减，在(1,+