河北省石家庄十七中2022-2023学年高一下学期期中数学试题

2022-2023学年度高一下学期阶段二考试数学试卷一、单选题（40分）1.若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的知识求得正确答案.详解】由于，所以.故选：C2.对于非零向量，下列命题中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量运算、向量平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，由可得，A选项正确.B选项，若，则当方向相反时，，所以B选项错误.C选项，若，则，无法推出两向量共线，所以C选项错误.D选项，若，可能，不一定有，所以D选项错误.故选：A3.的角A，B，C所对的边为a，b，c，设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；【详解】解：因为，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，因为，所以；故选：C4.有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案.【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确.在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误.直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误.所以正确的个数为个.故选：B5.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可．【详解】解：设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，根据截面圆的周长可得，得，故由题意知，即，所以，故选：B．【点睛】本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题．6.已知是的重心，若，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.详解】连接并延长交于，如图，因为是的重心，则是的中点，所以，又，所以，，所以.故选：B.7.为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向，且山顶处的仰角为30°；然后从处向正西方向走700米后到达地面处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶处的仰角为60°.则山高为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】设山高为h米,利用仰角的正切表示出AO、BO,在△AOB中利用余弦定理列方程,求得h的值.【详解】设山的高度为h,在Rt△中,,所以.在Rt△中,，所以.在△中,.由余弦定理得：，即，解得：.即山OT的高度为(米)故选：C8.网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为，体积为，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是.A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题可令圆锥的高为厘米,可得,则,由底面直径为,得母线长为,可设轴截面的内切球半径为,由,可得.那么珠子的体积最大值为.故本题答案选.点睛：解决球与其他几何体的切，接的问题，关键在于选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球，几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的止的．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合通常过多面体的一条侧棱和球心，或”切点”，”接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．二、多选题（20分）9.下列说法中正确的是（）A若直线与平面不平行，则与相交B.直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内C.如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行D.如果是异面直线，，则是异面直线【答案】BD【解析】【分析】根据线面平行与相交的定义与性质逐个选项判断即可.【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误；对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交，故直线在平面无交点或仅有1个交点，故B正确；对C，若直线与平面相交，直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误；对D，如果是异面直线，，则异面，则是异面直线，故D正确.故选：BD10.下列命题中正确的是（）A.若，则B.若复数满足，则C.若，则复数一定为实数D.若复数满足，则最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据复数相等、复数运算、复数模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，由于，根据复数相等的知识可知，A选项正确.B选项，若，则，但，B选项错误.C选项，设，由得，则，解得，所以为实数，C选项正确.D选项，由于，所以对应点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，而表示圆上的点到原点的距离，所以最大值为，D选项正确.故选：ACD11.已知向量则下列命题正确的是（）A.存在，使得B.当时，与垂直C.对任意，都有D.当时，【答案】BC【解析】【分析】根据向量平行、垂直、模、夹角等知识确定正确答案.【详解】A选项，若，则，不成立，所以A选项错误.B选项，当时，，则与垂直，所以B选项正确.C选项，，所以对任意，都有，所以C选项正确D选项，当时，，所以或，即或，所以D选项错误.故选：BC12.如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④其中正确结论的序号是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】设每个小方格长度为1，则可得，.①，设，则，解得，故，①正确；②，设，则，解得，故，②错误；③，设，则，解得，故，③正确；④，设，则，解得，故，④正确；故选：ACD三、填空题（20分）13.若边长为的等边是一个平面图形的直观图，则这个平图形的面积是______.【答案】【解析】【分析】根据原图与直观图的面积关系运算求解即可.【详解】由题意可知：直观图的面积，所以这个平面图形的面积是.故答案为：.14.非零向量和满足，则与的夹角为【答案】【解析】【分析】以和为邻边作平行四边形，然后结合图形可得答案.【详解】如图：以和为邻边作平行四边形，∵,∴、和构成一个等边三角形，∴、和构成顶角为的等腰三角形，∴与的夹角为.故答案为：.15.如图，在平面四边形中，，，延长交的延长线于点，若，则______.【答案】##【解析】【分析】根据相似比以及平面向量基本定理求得的值.【详解】由于，，所以，所以，所以，过作，垂足为，则，由于，所以，所以.故答案为：16.设角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理可知，即，所以，因为有两个解，即有两解，又，则，由正弦函数的性质，可得且，所以，即，解得，即的取值范围是.故答案为：四、解答题（70分）17.在中，已知，且是直角三角形，求实数的所有值.【答案】或或或【解析】【分析】根据直角进行分类讨论，从而求得的值.【详解】若为直角，则.若为直角，则.若为直角，则，解得或.综上所述，的所有值为或或或.18.已知向量，且与的夹角为.（1）求及；（2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根据与的夹角列方程，由此求得，进而求得.（2）根据与所成的角是锐角列不等式，由此求得实数的取值范围.【小问1详解】由于与的夹角为，所以，解得，则，所以【小问2详解】，由于与所成的角是锐角，所以，，解得且.19.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.（1）求它的表面积；（2）求它的体积.【答案】（1）36（2）12【解析】【分析】（1）画出图形，设对应的边长，再根据侧面积是底面积的2倍列出对应的方程求解棱长，再计算表面积即可；（2）利用锥体体积公式求解.【小问1详解】如图，设，是斜高，，，.在中，，，，.，，.【小问2详解】正四棱锥的体积.20.如图，在平面四边形中，，，的面积为．⑴求的长；⑵若，，求的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长；（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长．【详解】⑴∵，，的面积为∴∴∴由余弦定理得∴⑵由（1）知中，，∴∵,∴又∵，∴在中，由正弦定理得即,∴【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．21.如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.（1）求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三点共线的知识求得.（2）根据向量数量积的运算求得.【小问1详解】依题意，由于三点共线，所以.【小问2详解】由（1）得，所以.22.已知中，角所对的边分别为，