广东省华中师范大学龙岗附属中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题

2022-2023学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（上）期中数学试卷一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集定义计算可得.【详解】解：由，即，解得或，所以或，又，所以，故选：A．2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.【详解】由，得，解得且，所以函数的定义域为.故选：D.3.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件必要条件的定义即得.【详解】由名言可得大意为如果不“积跬步”，便不能“至千里”，荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选：B.4.集合，则集合的子集的个数为()A.7 B.8 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】解分式不等式化简集合A，根据集合A元素个数确定其子集个数.【详解】由，可得，且解得又,可得∴集合A的子集的个数为【点睛】本题考查分式不等式、集合子集等概念，计算集合A元素个数时，要注意这一条件的应用.5.已知和均为非零实数，且，则下面表达正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】选项B、C、D可以利用赋值法进行判定，选项A可利用作差与0比较，从而得到结论．【详解】∵和均非零实数，且，∴不妨取，，，故选项B不正确；取，，则，故选项C不正确；取，，则，故选项D不正确；∵，∴，故选项A正确，故选：A．6.已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（）．123230A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】根据图可知，继而根据表格可知.【详解】由图可知，，由表格可知，故选：B.7.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数，C.在区间上单调递增函数，故选A．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．8.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.【详解】［方法一］：特殊函数法由题意，不妨设，因为，所以，化简得．故选：D.［方法二］：【最优解】特殊值法假设可取，则有，又因为，所以与矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故选：D.［方法三］：直接法根据题意，为奇函数，若，则，因为在单调递减，且，所以，即有：，解可得：.故选：D.【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．9.函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A.B.若在上有最小值，则在上有最大值1C.若在上为增函数，则在上为减函数D.若时，，则时，【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．【详解】由得，故正确；当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．10.有以下判断，其中是正确判断的有（）A.与表示同一函数B.函数的图象与直线的交点最多有1个C.与是同一函数D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC；根据函数的概念，可判定B；根据函数的解析式，求得，进而求得的值，可判定D.【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个；若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点，故B正确；对于C，函数与的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确；对于D，由，可得，所以，故D错误；故选：BC11.（多选）下列选项正确的是（）A.若，则的最小值为2B.若正实数x，y满足，则的最小值为8C.的最小值为2D.函数（）的最大值是0【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解．【详解】对于A，当时，，故A错误，对于B，∵，，，则，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为8，故B正确，对于C，令，，在上单调递增，则y的最小值为，故C错误，对于D，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故，即函数y的最大值为0，故D正确．故选：BD．12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A.的值域为 B.的定义域为C.， D.为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】根据函数解析式结合函数的定义域、值域和奇偶性逐一判断即可．【详解】因为函数，所以函数的定义域为，值域为，故A错误，B正确；因为或且0与1均为有理数，所以或，故C正确；函数，故为偶函数，D正确．故选：BCD二、填空题13.写出命题“，”的否定：__________．【答案】，【解析】【分析】根据特称命题否定是全称命题，写出其否定命题．【详解】∵特称命题的否定是全称命题∴命题“，”的否定是“，”故答案为：，.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词；二是要否定结论，而一般的命题的否定只需直接否定结论即可.14.函数的值域是_____________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质即可得函数的值域．【详解】函数的图象是开口朝下，且以直线为对称轴的抛物线，由得：当时，函数取最大值4，由，，得函数最小值为0，故函数的值域是，故答案为：15.函数的定义域为，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案【详解】函数的定义域为，等价于恒成立，当时，显然成立；当时，由，得．综上，实数的取值范围为．故答案为：16.设．（1）当时，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．【答案】①.②.[0，]【解析】【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，即实数a的取值范围是[0，]【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17设全集，集合，集合.（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.【小问1详解】是的充分条件，，又，即，解得.故实数的取值范围为.【小问2详解】命题“，则”是真命题，故.①当时，，解得；②当时，，且，解得；综上所述：实数的取值范围.18.已知函数．（1）证明函数在上为增函数；（2）若函数在定义域上为奇函数，求a的值．【答案】（1）证明见解析（2）0【解析】【分析】（1）先设，利用作差法比较与的大小即可判断；（2）由奇函数定义可知，代入即可求解a．【小问1详解】设，所以，，则，所以，故在上为增函数；【小问2详解】若函数在定义域上为奇函数，则，所以，所以，即．19.（1）已知，求的解析式；（2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，利用换元法即可求解；（2）设，根据已知条件列方程组求解即可.【详解】解：（1）令，则，，因为，所以，所以.（2）设所求二次函数为，∵，∴，∴，又∵，∴，即，所以，即，.20.已知函数，.（1）在同一坐标系中画出函数的图象；（2）定义函数，分别用函数图像法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）.【答案】（1）图象见详解；（2）答案见详解．【解析】【分析】（1）直接画图即可；（2）根据函数的定义作出图象，结合图象写出单调区间与值域．【详解】（1）如图所示：（2）函数的图象如下：解析式为函数单调增区间为和；单调减区间为和；值域为．21.佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.【解析】【分析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.【详解】（1）当时，；当时，∴（2）当时，；当时，取最大值万元；当时，，当且仅当时，取等号综上所述，当月产量台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.22.已知函数．（1）时，①求不等式的解集；②若对任意的，，求实数取值范围；（2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）①，②，（2）【解析】【分析】（1）①分和两种情况求解即可，②先判断函数的单调性，然后分，和三种情况求解，（2）当时，恒成立，所以当时，恒成立，则，得，由，得，然后分和求出和，使可求得结果.【小问1详解】当时，，①由，得，当时，，解得，当时，恒成立，得，综上，所以不等式的