2023年人教版中考数学第一轮高频压轴题（解答题）：三角形综合

2023年人教版中考数学第一轮高频压轴题（解答题）：三角形综合

解答题

1.（2020•沈河区二模）如图，在4ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点E是/ACB内部一点,连接CE,

作AD±CE,BE1CE,垂足分别为点D,E.

（1）求证：4BCE丝ZSCAD;

（2）若BE=5,DE=7,则求4ACD的周长.

2.（2020•四川眉山•中考真题）如图,也做和4CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同

一直线上,连接BD,AD,BD交AC于点F.

(1)若AD=DF•DB,求证:AD=BF;

(2)若NBAD=90",BE=6.

①求tanZDBE的值；

②求DF的长.

3.（2020•上海中考真题）已知:如图,在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上,BE=DF,CE

的延长线交DA的延长线于点G,CE的延长线交BA的延长线于点H.

（D求证：△BECS^BCH;

（2）如果BE2=AB«AE,求证:AG=DF.

C

D■B

E

H

4.(2020年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题)如图，直线MN分别交AB

和CD于点E、F,点Q在PM上，ZEPM=ZFQM,且NAEP=ZCFQ,求证:AB〃CD.

5.(2020•辽宁沈阳♦中考真题)如图,在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB

和边CD的延长线交于点M,N,与边AD交于点E,垂足为点O.

⑴求证：△AOMgACON;

(2)若AB=3,AD=6,请直接写出AE的长为.

6.(2020•安徽一模)如图,AB是。的切线,OA,OC是O的半径，且OC〃AB,连接BC交。于

点D,点D恰为BC的中点,连接0D并延长，交AB于点E.

(1)求/B的度数；

(2)求”的值.

oc

B

7.（2020•山东淄博•中考真题）如图,著名旅游景区B位于大山深处,原来到此旅游需要绕

行C地,沿折线A-C-B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建

了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合NA=45°,NB=30°,BC=100千米，0七

1.4,73^1.7等数据信息,解答下列问题：

（1）公路修建后,从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来,修建公路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每天的工

效比原计划增加25%,结果提前50天完成了施工任务.求施工队原计划每天修建多少千米？

8.（2021湖北十堰）已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线1,点P为1上一动点（不与点A

重合），连接CP,把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,连QB.

（D如图1,直接写出线段AP与BQ的数量关系；

（2）如图2,当点P、B在AC同侧且AP=AC时,求证:直线PB垂直平分线段CQ;

⑶如图3,若等边三角形ABC的边长为4,点P、B分别位于直线AC异侧,且4APQ的面积等

于立，求线段AP的长度.

4

9.（2020•湖北随州•中考真题）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称

之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四，则弦五”的记载,我国

汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，

流传至今.

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一

种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三

角形,这三个图形中面积关系满足S|+Sz=S3的有个;

图5

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案（图中阴影部分）

直角三角形面积为Sa,请判断S„S2）S3的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作

正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某

部分图形中,设大正方形M的边长为定值m,四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,

己知Nl=N2=N3=Na,则当Na变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）

①aZ+bZ+c'+dJ_________;

②b与c的关系为与d的关系为

10.（2022•安徽•合肥市第三十中学一模）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三

角形的内心，已知点I为aABC的内心.

⑴如图1,连接AI并延长交BC于点D,若AB=AC=3,BC=2,求ID的长；

⑵如图2,过点I作直线交AB于点M,交AC于点N.

①若MNLA1,求证:M12=BM・CN;

②如图3,AI交BC于点D,若/BAC=60°,AI=4,求=+上的值.

11.(2020•宁波模拟)定义:如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为它,那么

称这个三角形为“神奇三角形”.

(1)已知：Rt/XABC中，ZACB=90°.

①当AC=BC时，求证:ZXABC是“神奇三角形”；

②当ACWBC时,且4ABC是“神奇三角形"，求tanA的值；

⑵如图,在AABC中，AB=AC,CD是AB边上的中线,若ZDCB=45",求证:Z\ABC是“神奇三角形

12.(2020•山东东营•中考真题)如图1,在等腰三角形ABC中，ZA=120°,AB=AC点D,E分别

在边AB,AC上,AD=AE连接BE点M,N,P分别为DE,BE,BC的中点.

(1)观察猜想

图1中，线段NM,NP的数量关系是____ZMNP的大小为:

⑵探究证明

把4ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置,连接MP,BD,CE判断△MNP的形状,并说

明理由；

(3)拓展延伸

把AADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,请求出△MNP面积的最大值.

13.（2022•安徽马鞍山）已知：Z\ABC和4ADE按如图所示方式放置，点D在4ABC内，连接

BD、CD和CE,且NDCE=90°.

B图个0BCc

图&图②3图③

（D如图①，当AABC和4ADE均为等边三角形时,试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明

理由；

（2）如图②，当BA=BC=2AC,DA=DE=2AE时,试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理

由；

⑶如图③，当AB:BC:AC=AD:DE:AE=m:n:p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系.

14.（2020•贵州黔东南•中考真题）如图1,AABC和4DCE都是等边三角形.

探究发现

（1）ABCD与4ACE是否全等？若全等,加以证明；若不全等,请说明理由.

拓展运用

（2）若B、C、E三点不在一条直线上，/ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的长.

（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2）,且aABC和4DCE的边长分别为1和2,求4ACD

的面积及AD的长.

15.（2020•山东济南•中考真题）在等腰AABC中,AC=BC,Z\ADE是直角三角形，ZDAE-

90°,ZADE=gZACB,连接BD,BE,点F是BD的中点，连接CF.

⑴当NCAB=45°时.

①如图1,当顶点D在边AC上时,请直接写出/EAB与/CBA的数量关系是.线段BE

与线段CF的数量关系是;

②如图2,当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立,

请给予证明,若不成立,请说明理由；

学生经过讨论,探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一:作等腰AABC底边上的高CM,并取BE的中点N,再利用三角形全等或相似有关知识来

解决问题；

思路二:取DE的中点G,连接AG,CG,并把4CAG绕点C逆时针旋转90°,再利用旋转性质、三

角形全等或相似有关知识来解快问题.

(2)当/CAB=30°时，如图3,当顶点D在边AC上时,写出线段BE与线段CF的数量关系,并

说明理由.

16.(2020•湖南益阳•中考真题)定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻

边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据

以上定义，解决下列问题：

(1)如图1,正方形ABCD中,E是CD上的点，将4BCE绕B点旋转，使BC与BA重合,此时点E

的对应点F在DA的延长线上,则四边形BEDF为“直等补”四边形,为什么？

(2)如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BC=5,CD=1,AD>AB,点B到直线AD的距

离为BE.

①求BE的长.

②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求aMNC周长的最小值.

17.(2021湖北武汉)问题提出

如图⑴，在△〃(：和ADEC中NACB=/DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在4ABC内部，直线

AD与BE于点F.线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系？

问题探究

(1)先将问题特殊化如图(2),当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF之间的数

量关系；

(2)再探究一般情形如图(1),当点D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展

如图（3）,在aABC和ADEC中，NACB=NDCE=90。，BC=kAC,EC=kDC（k是常数），点E在4

ABC内部,直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.

18.（2020•金华）如图，在△ABC中,AB=4NB=45。，NC=60。.

（1）求BC边上的高线长.

⑵点E为线段AB的中点，点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.

①如图2,当点P落在BC上时,求NAEP的度数.

②如图3,连结AP,当PF±AC时,求AP的长.

19.（2020•山东烟台•中考真题）如图,在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D

是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.

（问题解决）

⑴如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;

（类比探究）

（2）如图2,若点D在边BC的