2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷

1.下列实数中，无理数是（）

A.V16B.嘉C.（7T+2）°D.®

2.计算一的结果是（）

A.xB.X5C.x6D.x9

3.如果非零向量方、方互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）

A.a//bB.|a|=\b\C.a+b=0D.H=-K

4.如图，已知△ABC与下列条件一定能推得它们相似

的是（）

A.Z.A—乙D,乙B—z.£

„.，口4BBC

B.44=4"且而=前

C.乙4=乙B,Z-D=Z-E

Z-A,fnABAC

D.4E且加~DF

5.如果0°<AA<60°,那么sin4与cosA的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

6.如图，在AABC中，中线与中线BE相交于点G,联结DE.下

列结论成立的是（）

A.DG=^AG

口r>-BG=-D-E

EGAB

「S&DEG=1

SAAGB4

D£ACDE=1

SAAGB2

7.匏倒数是.

8.计算：士+卷=____.

a+2a+2

9.已知？=,，则总的值是___.

b3cL-vb

10.抛物线丫=。+1）2-2与丫轴的交点坐标是.

11.请写出一个以直线％=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线

的表达式可以是.（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）

12.有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面4B宽20米，拱桥的最高

点。距离水面48为3米，如图建立直角坐标平面xOy,那么此抛物线的表达式为.

13.一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD,且迎水坡A8的坡度为1：

2.5,背水坡C。的坡度为1：3,则迎水坡AB的坡角背水坡C£）的坡角.（填“大于”

或“小于”）

14.已知&B1C1SM2B2c2,女"与ZMiBiCi的相似比峙AaBC与△?!282c2

的相似比为|,那么△力遇心与4狠2c2的相似比为.

15.在矩形48。内作正方形4EFD（如图所示），矩形的对角线

AC交正方形的边EF于点P.如果点尸恰好是边CD的黄金分割点

（DF>FC）,且PE=2,那么PF=.

16.在AABC中，4B=6,AC=5,点。、E分别在边AB、AC上，^AD=4,Z.ADE=Z.C

17.如图，△ABC绕点C逆时针旋转90。后得△DEC,如果点B、。、E在一直线上，且NBDC=

60°,BE=3,那么A、。两点间的距离是.

18.定义：把二次函数y=a（x+m）2+九与y=-a（x一m）2一n（aH0,m、〃是常数）称作互

为“旋转函数”.如果二次函数y=x2+|bx-2与y=-x2-\cx+c（b、c是常数）互为“旋

转函数”，写出点P（仇c）的坐标.

19,计算：［cos230。一sin230。+（“师二五45。产.

20.如图，已知在AABC中，点。、E分别在边A3、AC上，且BO=24£>,AE=^EC.

（1）求证：DE//BC-,

（2）设BE=落BC=b，试用向量弓、b表不向量AC.

A

21.如图，已知在△ABC中，NB为锐角，AO是8c边上的高，cosB=卷，AB=13,BC=21.

(1)求AC的长；

(2)求NBAC的正弦值.

22.有一把长为6米的梯子A8,将它的上端A靠着墙面，下端8放在地面上，梯子与地面

所成的角记为a,地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50。WaW75。时，人才能安全

地使用这架梯子.

(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，求a的度数(结果取整数)，此时人是否能安全地使用这架

梯子？

(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端4离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶

端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E

处(如图2所示)，此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由.

图1图2

23.如图，在梯形ABCD中,AD//BC,。尸分别交对角线AC、底边BC于点E、F,且4D-AC=

AE-BC.

(1)求证：AB//FD-,

(2)点G在底边BC上，BC=10,CG=3,联结4G,如果△力GC与AEFC的面积相等，求

FC的长.

24.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-6(a丰0)与x轴交于点A、

B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,联结BC,乙4BC的余切值为$48=8,点P在抛物

线上，且P0=P8.

(1)求上述抛物线的表达式；

(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点。和点尸，新抛物线的对称轴与x轴交于点E.

①求新抛物线的对称轴；

②点F在新抛物线对称轴上，且NEOF=/PCO,求点尸的坐标.

25.在等腰直角△ABC中，4c=90°,4c=4,点。为射线CB上一动点(点。不与点B、C

重合)，以为腰且在4。的右侧作等腰直角A/inF,^ADF=90°,射线AB与射线尸。交

于点E,联结BF.

(1)如图所示，当点。在线段CB上时，

①求证：△ACDSAABF；

②设CC=x,tan^BFD=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(2)当ZB=2BE时，求C£＞的长.

备用图

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4G=4,4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

8强是无理数，故本选项符合题意；

仁（兀+2）。=1,1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

是分数，属于有理数，故本选项不符合题意.

故选：B.

有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解:」.％2=解

故选B.

根据同底数的基相乘的法则即可求解.

本题主要考查了同底数的幕的乘方的计算法则，正确理解法则是关键.

3.【答案】C

【解析】解：■:非零向量日、区互为相反向量，

.•.万〃及且三=_很且|初=\b\，

.-.a+b=0.

观察选项，只有选项C符合题意.

故选：C.

非零向量五、皮互为相反向量，则非零向量百、加大小相等，方向相反.

本题主要考查了平面向量，注意理解平面向量有关的定义是关键.

4.【答案】A

【解析】解：A、由U=乙B=LE,可以判断两个三角形相似，本选项符合题意;

B、由44=ND且桨=需，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；

C、由N4=NB,=无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；

D、由=且第=黑，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；

DEDF

故选：4

根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型.

5.【答案】D

【解析】解：当0°<乙4<45。时，45。<90。一44<90。，

:.sinA<sin(900-A),

■■sinA<cos4,

sinA—cos/1<0,

当44=45°时，90°—4力=45°,

:.sinA=sin(90°—A),

•••sinA=cos4,

:,sinA—cosA=0,

当45°<AA<60。时，30°<90°-AA<45。，

•••sin4>sin(90°-A),

•■sin4>cosA,

•••sinA—cos4>0,

.,•当0。<乙4<60。时，那么sinA与cosA的差不能确定.

故选：D.

根据锐角三角函数的增减性，分三种情况讨论即可得出结论,

本题考查了锐角三角函数的增减性，理解定义是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：AD,8E是AABC的中线,

•••DE是△力BC的中位线,

DE//AB,DE=^AB,

DEGs公ABG,

：：s_,££)2_1

*e•DG：AG=DE：AB=1：2,BGEG=ABDE,S〉AGB--4

1

・・・DG=\AG,

vBG：EG=AB：DE=2：1,

/.GB：BE=2：3,

S—GB:S—EB=2：3,

-AE=ECf

・c_1C

,,-2^AABC9

•*'S〉AGB=3S—BC，

•・,△CDEs〉CBA,

・・・=(丝)2=士

S»ABC484

•*,S^cDE=彳SgBc，

,S^cDE_3

SABG

结论成立的是沁=J,

SAAGB4

故选：C.

由AC,BE是△ABC的中线，得至|J£>E是△4BC的中位线，推出△DEGSAABG,ACDES^CBA,

由相似三角形的性质即可解决问题.

本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质.

7.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数.直接根据倒数的定义进行解答即可.

【解答】

解：因为gx3=1,

所以:的倒数是3.

8.【答案】2

【解析】解：原式=第

a+2

2(a+2)

a+2

=2.

故答案为：2.

利用同分母的分式的加法法则解答即可.

本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键.

9.【答案】|

【解析】

【分析】

本题考查了比例的性质，在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出

来，是解决本题的关犍.已知？=|,可设a=2k,则b=3k,代入所求的式子即可求解.

b3

【解答】

解…泻

•,・设Q=2k,则b=3k.

.a_2k_2

"a+b2k+3k5,

10.【答案】（0,-1）

【解析】解：把％=。代入y=（x+I）2-2得y=1—2=—1,

••.抛物线与），轴交点坐标为（0,-1）.

故答案为：（0,-1）.

把x=0代入函数解析式求解.

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键.

11.【答案】y=（x-3/+2（答案不唯一）

【解析】解：满足题意的抛物线解析式为：y=（x-3）2+2.

本题答案不唯一.

故答案为:y=（X—3/+2（答案不唯一）.

可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴为x=3,开口向上即可.

本题考查了二次函数的性质.当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小.

12.【答案】y=-磊/

【解析】解：该抛物线的解析式是y=a%2,

由图象知，点（10,-3）在函数图象上，代入得：

100a=-3,

3

Q——------

100

•••该抛物线的解析式是y=-高产；

故答案为：y=-高..

由函数图象可设该抛物线的解析式是丫=。/,再结合图象,只需把（io,一3）代入求出〃的值即可.

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此

题的考查点.

13.【答案】大于

【解析】解：•••迎水坡AB的坡度为1：2.5,背水坡CD的坡度为1：3,

・•・tanA=表，tan。=

z.A>Z.D,

即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角,

故答案为：大于.

根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论.

本题考查了直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键.

14.【答案】当

17

【解析】解：与的相似比为右△4BC与△Az&Q的相似比为各

AB：4i8i=l：5,AB：A2B2=2：3,

设4B=2%,则=10%,A2B2=3%,

AA1B1：A2B2=10：3,

4/iQ与A4282c2的相似比为竽

故答案为：学.

根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与々4的比值，也就是两三角形的相似比.

根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出为当与“外的比值，也就是两三角形的相似比.

15.【答案】<1-1

【解析】解：•••点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC),

/.-D-F=-C-F=-7---5---1,

DCDF2

,・,四边形AEFD是正方形，

ADF//AE,DF=AE,

•C*»F—=V-5--l,

AE2

・・•DC“AB,

:•乙FCP=cPAE,Z-CFP=Z.AEP,

••・△CFPs^AEP,

,—CF——PF—_-1-5--,1

AEPE2

・・・PE=2,

：・PF=6-1,

故答案为：yT~5—1.

先根据黄金分割的定义可得翌=注匚，再利用正方形的性质可得：DF//AE,DF=AE,从而可

DF2

得益=要，然后证明8字模型相似三角形△CFPS^AEP,从而利用相似三角形的性质进行计

算即可解答.

本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模

型相似三角形是解题的关键.

16.【答案】I

【解析】解：•••N/1DE=NC,5=5,

ACB.

AD_DE

"AC=CB'

"AC=5,AD=4,

DE4

二品飞.

故答案为：*

首先判定△ADESAACB,然后利用该相似三角形的对应边成比例解答.

本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边

形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角

相等，对应边的比相等.

17.【答案】＜6

【解析】解：过点C作CFJ.BE于尸,

•••△ABC绕点C逆时针旋转90。后得△DEC,

AZ.ACD=乙BCE=90°,AC=CD,BC=CE,

13

CF=^B£,=p

•・•Z.BDC=60°,

・・・Z.FCD=30°,

••加咛吁枭尹票

/.CD=2DF=S，

・•・AD=y/~~2CD=y/~2-y/-3=

故答案为：v6.

过点C作CF1BE于尸，由旋转的性质得出NACD=4BCE=90。，AC=CD,BC=CE,由直角

三角形的性质可得出答案.

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

18.【答案】（J2）

【解析】解：根据题意得

1c-2=0

解得"V.

•••点尸的坐标为（一表2）,

故答案为：（―^,2）.

根据旋转函数的定义得到：［lb=~ic,从而解得b=c=2.

（c-2=0s

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，正确理解新定义是解题的

关键.

19.【答案】解:原式=J（殍）2—（犷+（小）2

1

V2

2-

2

32

=

2-2

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

20.【答案】⑴证明：BD=2AD,AE=^EC,

''AB^AC^3'

DE//BC；

（2）解：•.•旗=2，BC=b,

：.EC=BC-BE=b-a.

••AC=5b—~2.

【解析】（1）由平行线分线段成比例进行证明；

（2）由三角形法则求得正，然后由AE与EC的比例关系求得向量尼.

本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属于基础题.

21.【答案】解:(1)vcosB=萼=言，AB=13,

ADIO

80=13=5,

CD=BC-BD=21-5=16,

vAD=VAB2-BD2=V132-52=12,

•••AC=VAD2+CD2=V122+162=20;

(2)作CH1AB于H,

■■­^ABC^JW\^=^AB-CH=^BC-AD,

13cH=21x12,

2252

©=廿

252

•••的C的正弦值是4=亘=史

AC2065,

【解析】⑴由NB的余弦求出3。长，得到0c长，由勾股定理即可解决问题；

（2）过C作CH148于H,由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题.

本题考查解直角三角形，关键是过C作CH_L4B于H,由三角形的面积公式求出C”的长.

22.【答案】解：（1）cosa=—=~0.417,

、,AB6

・•・a«65°,

•・•50°<65°<75°,

・・.此时人能安全地使用这架梯子；

（2）此时人不能安全使用这架梯子，理由如下：

梯子顶端A离开地面最高时，Z-ABO=75°,

vsinz.ABO=空,

AB

・•・AO=AB-sin75°=6xsin75°«5.82（米），

梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点,

0D=AO-AD=5.82-1.5=4.32（米），

0D4.32八rc

vsmZ.DEO=—==0.72,

DE6

・•・乙DEO«46°,

•・•46°<50°,

・,.此时人不能安全使用这架梯子.

【解析】(1)由Na的余弦求出乙戊的度数，即可解决问题；

(2)由4DE。的正弦求出乙DE。，即可解决问题.

本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的三角函数定义求出梯子与地面的夹角.

23.【答案】(1)证明：=

：・AD：AE=BC：ACf

-AD//BC,

:.Z.DAE=乙ACB,

・•・△AED^HCAB,

・•・Z.AED=Z.CABy

・・・4B〃FD；

(2)根据题意可得，舞姿=急

vEF//FD,

•••△EFCsAABC,

.SAEFC_(竺)2_。尸

"S^ABC~VBCJ~100,

VATIGC^AEFC面积相等，

.3_CF2

"10"100)

解得CF=

【解析】(1)根据题意可证明，△4EDsZka4B,所以乙4ED=NCAB,则4B〃尸。；

(2)根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论.

本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的

面积比，得出方程是解题关键.

24.【答案】解：(1)当％=0时，y=ax2+bx-6=-6,即点C(0,-6),OC=6,

•••N4BC的余切值=粤=警=；,即。8=2,则点B(2,0),

••AB=8f则。A=6,即点A(-6,0),

设抛物线的表达式为：y=a(x-Xi)(x-x2)»

则y=a(%—2)(%+6)=a(x2+4%—12),

即一12Q=-6,

解得:a=1,

故抛物线的表达式为：丫=：/+2%-6；

(2)①P。=PB,则点P在08的中垂线上，故孙=1,

当x=1时，y—1x2+2x—6=—I，

故点P(l,一今;

设新抛物线的表达式为：y=^x+bx,

将点P的坐标代入上式得：一g=；+b，

解得：b=—4,

1

yX2

故新抛物线的表达式为:=2--4x,如下图，延长CP交x轴于点”,

该函数的对称轴为x=4；

②由①知点E(4,0),则。E=4,设直线CP的表达式为：y=k%-6,

将点P的坐标代入上式得：一(=k-6,

解得：k=|，

故直线CP的表达式为：y=|x—6,即tanZ_0HC=],

则tanzlPC。=-=tanzFOF,

ITijtanzEOF=蔡=督=|，

则EF=1,

则点F(4,|)或(4,一§.

【解析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)①用待定系数法求出函数表达式，即可求解；②由新抛物线的表达式：y=|x2-4x,得到直

线CP的表达式为：y=kx-6,进而求解.

本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、图形的平移，学会构建一次函数,

利用数形结合是解题的关键.

25.【答案】⑴①证明：•・•△4BC和AADF是等腰直角三角形,

AB=MAC，AF=y/~lAD，^.CAB=Z.DAF=45°.

DAU

*A*.C—=AD—=y[~.2，7rZA-CnAD-—^乙BAF,

ABAF2

・•・△ACD^LABF；

②解：过点E作EH_LBD于点”，如图，

•・・△ABC是等腰直角三角形，

・•・Z.ABC=45°,

•・•EH1BD,

・•・BH=HE.

设==则BE=Cm,

DH=BC—CD-BM=4—x—m.

•・•Z.ADF=90°,

:,乙ADC+乙FDH=90°,

-Z.CAD+Z.ADC=90°9

・•・Z.CAD=Z-FDH.

•・・AACD=Z-DHE=90°,

・••△ACDSADHE,

...—AC=—DH.

CDHE

44-x-m

——,

xm

4x-x2

・•・m=-......，

4%—x2

BH=HE=—j———.

4+x

由①知：

：•乙ACD=^ABF=90°.

•・・Z,ADF=90°,

・・・2LADF=/-ABF=90°.

vZ-AED=乙BEF,

・・・Z.BFD=Z-DAE.

DE

・•・tanZ.BFD=tanZ-DAE=

ACD^HDHE,

4x-%2

=也==4r,

"ADCDx4+x

r»厂r>DE4—X

・•・y=tanZ-BFD=—=,

JAD4+%

•••y关于X的函数解析式y=W，x的取值范围：0<x<4；

(2)①解：当点。在线段CB上时，如图，

由(1)②知：BH=HE

4+x'

.—.-4x—x2

：•—；-——.

.BE=>T2.BH=4+x

AB=2BE,AB=\T2AC=4ATL

=2x/I•

4+x

■-8+2x=4x-x2,

:,x2—2x+8=0.

VZ=(—2)2-4xlx8=4-32=-28<0,

•••此方程没有实数根，

.•・当点。在线段CB上时，不存在4B=2BE；

②当点。在线段CB的延长线上时，如图，

E

过点E作EH1BD于点H,

ABC^H2DF是等腰直角三角形,

:.AB=CAC,AF=CAD,NCAB=NDAF=45°.

=丝=C,z_CAD=Z.BAF

ABAF2

・•.△ACD^L