(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义（基础班）2.3《二次函数与幂函数》 (原卷版)

页第三节二次函数与幂函数核心素养立意下的命题导向1.与不等式、方程等问题综合考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．与一元二次方程、一元二次不等式相结合考查二次函数的图象与性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，eq\f(1,2)，﹣1时的情形．2．五种幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x﹣1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(﹣∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(﹣∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)3.二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝﹣eq\f(b,2a)，顶点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))顶点式f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝eq\f(x1＋x2,2)4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质a>0a<0图象定义域R值域[eq\f(4ac－b2,4a)，+∞)(﹣∞,eq\f(4ac－b2,4a)]奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性在(﹣∞,﹣eq\f(b,2a)]上单调递减，在[﹣eq\f(b,2a)，＋∞）上单调递增在(﹣∞,﹣eq\f(b,2a)]上单调递增，在[﹣eq\f(b,2a)，＋∞）上单调递减最值当x＝﹣eq\f(b,2a)时，ymin＝eq\f(4ac－b2,4a)当x＝﹣eq\f(b,2a)时，ymax＝eq\f(4ac－b2,4a)[澄清盲点误点]一、关键点练明1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2))，则k＋α＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．22．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．a<c<b3．已知抛物线y＝8x2﹣(m＋1)x＋m﹣7的顶点在x轴上，则m＝________.4．函数f(x)＝2x2﹣6x＋1在区间[﹣1,1]上的最小值是________，最大值是________．二、易错点练清1．(图象特征把握不准)如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是()2．若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．3．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10﹣2a)，则a的取值范围为________．考点一幂函数的图象与性质[典例](1)与函数y＝x﹣1的图象关于x轴对称的图象大致是()(2)已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<cB．a<b<cC．c<b<aD．c<a<b[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[针对训练]1．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则()A．函数f(x)在定义域内为增函数B．函数f(x)为偶函数C．当x>1时，f(x)>1D．当0<x1<x2时，eq\f(fx1＋fx2,2)<f(eq\f(x1＋x2,2))2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2﹣m﹣1)x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为()A．m＝2B．m＝﹣1C．m＝﹣1或m＝2D．m≠eq\f(1±\r(5),2)3．若(2m＋1)eq\f(1,2)>(m2＋m﹣1)eq\f(1,2)，则实数m的取值范围是()A.(﹣∞,﹣eq\f(1＋\r(5),2)]B.[eq\f(\r(5)－1,2)，+∞)C．(﹣1,2)D.[eq\f(\r(5)－1,2)，2)考点二求二次函数的解析式[典例]已知二次函数f(x)满足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：[针对训练]1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(﹣2，﹣1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式f(x)＝________________.2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2﹣x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．考点三二次函数的图象与性质考法(一)二次函数的图象识别[例1](多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则()A．f(m＋1)＞0 B．f(m＋1)＜0C．f(﹣2﹣m)＞0D．f(﹣2﹣m)＜0[方法技巧]识别二次函数图象应学会“三看”考法(二)二次函数的最值问题[例2](1)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[﹣1,2]上有最大值4，则a的值为________．(2)设函数f(x)＝x2﹣2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．[方法技巧]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值情况m<n<﹣eq\f(b,2a)m<﹣eq\f(b,2a)<n，即﹣eq\f(b,2a)∈(m，n)﹣eq\f(b,2a)<m<n图象最大值、最小值f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)考法(三)二次函数中恒成立问题[例3](1)已知关于x的不等式2kx2＋kx﹣eq\f(3,8)<0恒成立，求实数k的取值范围．(2)若对∀x∈[﹣1,0]，不等式﹣2x2＋4x＋6＋t≤4恒成立，求实数t的取值范围．[方法技巧]二次函数中恒成立问题的解题思路(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0；))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0；))(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.[针对训练]1．已知函数f(x)＝2ax2﹣ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．与x的值无关2．已知函数f(x)＝ax2＋(a﹣3)x＋1在区间[﹣1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是()A．[﹣3,0)B．(﹣∞，﹣3]C．[﹣2,0]D．[﹣3,0]3．已知函数f(x)＝﹣x2＋2ax＋1﹣a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．创新命题视角——学通学活巧迁移二次函数零点分布的类型及解题方法一、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点分布及条件零点的分布(m，n，p为常数)图象满足条件x1<x2<meq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<m，,fm>0))m<x1<x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>m，,fm>0))x1<m<x2f(m)<0m<x1<x2<neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,m<－\f(b,2a)<n，,fm>0，,fn>0))m<x1<n<x2<peq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn<0，,fp>0))只有一个零点在(m，n)之间eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,m<－\f(b,2a)<n))或f(m)·f(n)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝0，,m<－\f(b,2a)<\f(m＋n,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fn＝0，,\f(m＋n,2)<－\f(b,2a)<n))二、一元二次方程的实根分布的解题方法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的分布问题，常常转化为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的分布问题．[典例]已知f(x)＝x2＋(2t﹣1)x＋1﹣2t.(1)求证：对于任意t∈R，关于x的方程f(x)＝1必有实数根；(2)若方程f(x)＝0在区间(﹣1,0)和(0,eq\f(1,2))内各有一个实数根，求实数t的范围．[应用体验]1．已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，则m的值为()A．﹣4B．﹣5C．﹣6D．﹣72．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋1，－1≤x≤1，,－|x－2|＋1，1<x≤3，))若方程f(x)﹣ax＝0有5个实根，则正数a的取值范围是()A.(eq\f(1,4)，eq\f(1,3))B.(eq\f(1,6)，eq\f(1,4))C.(eq\f(1,6)，8﹣2eq\r(15))D.(16﹣6eq\r(7)，eq\f(1,6))3．已知对于任意的x∈(﹣∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2﹣2(a﹣2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．已知幂函数f(x)＝(m2﹣3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝()A．1B．2C．1或2D．32．已知幂函数f(x)的图象过点(2，eq\f(1,4))，则函数g(x)＝f(x)＋eq\f(x2,4)的最小值为()A．1B．2C．4D．63．(多选)已知函数f(x)＝x2﹣2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是()A．f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，0))上的最小值为1B．f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，2))上既有最小值，又有最大值C．f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，3))上有最小值2，最大值5D．当0<a<1时，f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，a))上的最小值为f(a)；当a>1时，f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，a))上的最小值为14．设a，b满足0<a<b<1，则下列不等式中正确的是()A．aa<abB．ba<bbC．aa<baD．bb<ab5．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()6．已知函数f(x)＝3x2﹣2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为()A．{0，﹣3}B．[﹣3,0]C．(﹣∞，﹣3]∪[0，＋∞)D．{0,3}7．已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(﹣4﹣x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1﹣x2|＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)若x>0，求g(x)＝eq\f(x,fx)的最大值．二、综合练——练思维敏锐度1．幂函数y＝x|m﹣1|与y＝x3m﹣m2(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为()A．0B．1和2C．2D．0和32．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a﹣x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A．f(x)＝x2﹣2x＋1B．f(x)＝x2﹣1C．f(x)＝2xD．f(x)＝2x＋13．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝04．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(﹣1,7)，则a，b的值分别是()A．2,4B．﹣2,4C．2，﹣4D．﹣2，﹣45．(多选)已知函数f(x)＝﹣x2＋ax﹣eq\f(a,4)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))上的最大值是eq\f(3,2)，则实数a的值为()A．3B．﹣6C．﹣2D.eq\f(10,3)6.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．﹣1<m<0<n<1B．n<﹣1<0<m<1C．﹣1<m<0<1<nD．﹣1<n<0<m<17．若(a＋1)eq\f(1,2)<(3﹣2a)，则实数a的取值范围是________．8．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[﹣4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为__________________．9．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(﹣eq\f(3,2),49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________．10．若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a>0在