专题02 代数式的运算及应用问题（复习讲义）（原卷版）-二轮要点归纳与典例解析

专题02代数式的运算及应用问题复习讲义【要点归纳|典例解析】类型一：代数式考点01．代数式及求值(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．类型二：整式考点02．整式及有关概念(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；(2)多项式：由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；(3)整式：单项式和多项式统称为整式；(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．考点03．整式的运算1．同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2．幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方法则可以逆用：即3．积的乘方法则：（是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。4．同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。5．零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即（a≠0）6．负整数指数：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即(a≠0,p是正整数)。7．单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。8．单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)。9．多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。10．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即11．完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍。即：（a+b）2=a2+b2+2ab12.完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减上这两个的积的2倍。即：（a-b）2=a2+b2-2ab完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。13．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。14．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。15．添括号法则：括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号。括号前面是—号，放进括号里面的每一项都要变号。类型三：因式分解考点04．因式分解1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式的一般方法：（1）提公共因式法.（2）运用公式法.①平方差公式：②完全平方公式：（3）十字相乘法。利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.①对于二次三项式，若存在，则②首项系数不为1的十字相乘法3.在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

4.按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.（4）分组分解法5.对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.6.分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.7.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.类型四：分式计算考点05．分式的基本概念(1)形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．(2)当B≠0时，分式eq\f(A,B)有意义；当B＝0时，分式eq\f(A,B)无意义；当A＝0时，分式eq\f(A,B)的值为零.考点06．分式的性质(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)；(M是不等于零的整式)(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即eq\f(A,B)＝－eq\f(－A,B)＝－eq\f(A,－B)＝eq\f(－A,－B).最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．考点07．分式的运算(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．(2)确定最简公分母：确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．(3)约分：把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．(4)分式的运算法则：①加减法：同分母加减法：eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝_eq\f(a±b,c)_；异分母加减法：eq\f(b,a)±eq\f(d,c)＝eq\f(bc±ab,ac).②乘除法：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd)；eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝___．③乘方：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn).类型一：整式1.（2021湖南衡阳）下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a32．（2021湖南株洲）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A．2x5B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y53.（2021黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（）A．B．C．D．4.（2021•山东省聊城市）下列计算正确的是（）A．a6+a6＝2a12 B．2﹣2÷20×23＝32 C．（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3 D．a3•（﹣a）5•a12＝﹣a205.（2021•山东省滨州市•3分）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（）A．4 B．8 C．±4 D．±86.（2021江苏常州）如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．7．（2021湖南岳阳）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为．8.（2021吉林长春）先化简，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中类型二：因式分解9.(2021黑龙江绥化)下列因式分解正确的是()A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1) C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)10.（2018山东潍坊）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）11.（经典题）把下列各式分解因式：（1）；（2）．12.（2021•江苏无锡）分解因式4x2－y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）13.（2021宁夏）分解因式：．14.（2021年陕西省）因式分解：．15.(2021黑龙江大庆)分解因式:a2b+ab2－a－b＝________.16.（2021吉林长春）分解因式：ab+2b=.17.（2021吉林省）分解因式：a2-1=18.（2021·江苏常州）分解因式：ax2－4a＝__________．19.（2018河南）因式分解：x3y﹣xy=．20.（2018河南）若|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，把多项式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．类型三：分式计算21.（2021北京市）如果，那么代数式的值为A． B． C．1 D．322.（2021广西省贵港市）若分式的值等于0，则的值为A． B．0 C． D．123.(2021黑龙江绥化)当a＝2018时,代数式的值是______.24.(2021黑龙江绥化)若分式有意义,则x的取值范围是________.25.（2021广西梧州）化简：．26.（2021辽宁本溪）先化简，再求值：.其中a满足a2+3a-2=0.27.（2021黑龙江哈尔滨）先化简再求值：,其中x=4tan45°+2cos30°．28.（2021湖北十堰）先化简，再求值：（1-1a）÷（a2+1a-29.（2021湖南邵阳）先化简，再求值：，其中.类型四：代数式的应用30.（2018河北）先阅读以下材料，然后解答问题．分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．

以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2．31.（2021湖南张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等