2024届北京市156中学数学高一上期末学业水平测试试题含解析

2024届北京市156中学数学高一上期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2020年全年投人资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长12%，则该政府全年投入的资金翻一番（2020年的两倍）的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg2≈0.30）（）A.2027年 B.2026年C.2025年 D.2024年2．已知函数，且，则A. B.C. D.3．已知，，且，则的最小值为（）A. B.C.2 D.14．不等式的解集为（）A. B.C. D.5．设且则A. B.C. D.6．已知向量，，若，则实数的值为（）A.或 B.C. D.或37．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数A. B.2C.3 D.2或8．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．若函数（，且）在区间上单调递增，则A.， B.，C.， D.，10．在正方体中，为棱的中点，则A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___12．已知幂函数的图象过点，则___________.13．已知集合，，则_________.14．已知函数，若关于方程恰好有6个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________.15．已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．如图，正方体的棱长为1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO与A′C′所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC垂直.17．计算（1）；（2）.18．已知函数（x∈R，(m>0)是奇函数.（1）求m的值：（2）用定义法证明：f（x）是R上的增函数.19．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲6699乙79xy（1）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；（2）设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求的概率；（3）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）20．在△中，已知，直线经过点(Ⅰ)若直线:与线段交于点，且为△外心，求△的外接圆的方程；(Ⅱ)若直线方程为，且△的面积为，求点的坐标21．化简（1）（2）

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、B【解析】根据题意列出指数方程，取对数，根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行求解即可.【详解】设第n(n∈N*)年该政府全年投入的资金翻一番，依题意得：120(1+12%)n－1=240，则lg[120(1+12%)n-1]=lg240，∴lg120+(n-1)lg1.12=lg240，∴(n－1)lg1.12=lg2，∴，即该政府全年投入的资金翻一番的年份是2026年，故选：B.2、A【解析】，，，，.故选：A.3、A【解析】由已知条件得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知，且，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查的妙用，考查计算能力，属于基础题.4、D【解析】化简不等式并求解即可．【详解】将不等式变形为，解此不等式得或.因此，不等式解集为故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查学生计算能力，属于基础题．5、C【解析】由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式6、A【解析】先求的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.【详解】由向量，，知.若，则，解得或-3.故选A.【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.7、A【解析】根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可【详解】函数是幂函数，，解得：或，时，，其图象与两坐标轴有交点不合题意，时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故，故选A【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题8、A【解析】由函数（，且）在上的最大值为4，分情况讨论得到，从而可得函数单调递增，而在上是减函数，所以可得，由此可求得的取值范围【详解】当时，函数单调递增，据此可知：，满足题意；当时，函数单调递减，据此可知：，不合题意；故，函数单调递增，若函数在上是减函数，则，据此可得故选：A【点睛】此题考查对数函数的性质，考查指数函数的性质，考查分类讨论思想，属于基础题.9、B【解析】函数在区间上单调递增，在区间内不等于，故当时，函数才能递增故选10、C【解析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论【详解】画出正方体，如图所示对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确故选C【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.【详解】圆的标准方程为，则，若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.12、【解析】由幂函数的解析式的形式可求出和的值，再将点代入可求的值，即可求解.【详解】因为是幂函数，所以，，又的图象过点，所以，解得，所以.故答案为：.13、【解析】由对数函数单调性，求出集合A，再根据交集的定义即可求解.【详解】解：，，，故答案为：.14、【解析】作出函数的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为在区间上有两个不等的实根，列出不等式组求解即可.【详解】当，结合“双勾”函数性质可画出函数的简图，如下图，令，则由已知条件知，方程在区间上有两个不等的实根，则，即实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题.15、【解析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.【详解】，，所以故答案为：三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）30°（2）（3）见解析【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求AO与A′C′所成角的度数；（2）利用向量法求AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC的法向量垂直.【详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），设AO与A′C′所成角为θ，则cosθ，∴θ＝30°，∴AO与A′C′所成角为30°.（2）∵（），面ABCD的法向量为（0，0，1），设AO与平面ABCD所成角为α，则sinα＝|cos|，cosα，∴tanα.∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），设平面AOB的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，0，1），设平面AOC的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，1，﹣1），∵1+0﹣1＝0，∴平面AOB与平面AOC垂直.【点睛】本题主要考查空间角的求法和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17、（1）2（2）【解析】（1）根据对数计算公式，即可求得答案；（2）将化简为，即可求得答案.【小问1详解】【小问2详解】18、（1）2（2）证明见解析【解析】(1)因为是定义在R上的奇函数，则，即可得出答案.(2)通过，来证明f（x）是R上的增函数.【小问1详解】因为函数是奇函数，则，解得，经检验，当时，为奇函数，所以值为2；【小问2详解】证明：由（1）可知，，设，则，因为，所以，故，即，所以是R上的增函数.19、（1）5（2）（3）6，7，8【解析】（1）由题意得，又，即可求得x的最小值；（2）利用列举法能求出古典概型的概率；（3）由题设条件能求出的可能的取值为.【小问1详解】由题意得，即.又根据题意知，，所以x的最小值此为5.【小问2详解】设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，记甲的4局比赛为，各局的得分分别是；乙的4局比赛为，各局的得分分别是.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，.而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，，∴事件的概率.【小问3详解】的所有可能取值为6，7，8.20、（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）先求出直线的方程，进而得到D点坐标，为直径长，从而得到△的外接圆的方程；（Ⅱ）由题意可得，，从而解得点的坐标【详解】（Ⅰ）解法一：由已知得，直线的方程为，即，联立方程组得：，解得，又，△的外接圆的半径为∴△的外接圆的方程为.解法二：由已知得，,且为△的