2023-2024学年鹰潭市重点中学高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2023-2024学年鹰潭市重点中学高一数学第一学期期末经典模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．若实数，满足，则关于的函数图象的大致形状是（）A. B.C. D.2．已知偶函数在单调递减，则使得成立的的取值范围是A. B.C. D.3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是A. B.C. D.4．命题的否定是（）A. B.C. D.5．角度化成弧度为（）A. B.C. D.6．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（）A. B.C. D.7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（）A. B.C. D.8．已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.π B.6πC.5π D.8π9．一个袋中有个红球和个白球，现从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是A. B.C. D.10．设，则A. B.C. D.11．已知两点，点在直线上，则的最小值为（）A. B.9C. D.1012．若方程表示圆，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即.现在已知，则__________14．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.15．已知函数若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是_______.16．在中，，，与的夹角为，则_____三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数（为常数且）的图象经过点，（1）试求的值；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.18．设函数的定义域为集合的定义域为集合（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围19．已知有半径为1，圆心角为a（其中a为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点.（1）按照方案1裁剪，设∠NOC=，用表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.20．设全集为，或，.（1）求，；（2）求.21．已知函数(，且)是指数函数.（1）求k，b的值；（2）求解不等式.22．为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题.（1）求从药物释放开始，与的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】利用特殊值和，分别得到的值，利用排除法确定答案.【详解】实数，满足，当时，，得，所以排除选项C、D，当时，，得，所以排除选项A，故选：B.【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.2、C【解析】∵函数为偶函数，∴∵函数在单调递减∴，即∴使得成立的的取值范围是故选C点睛：这个题目考查的是抽象函数的单调性和奇偶性，在不等式中的应用.解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.3、A【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.【详解】设C(m，n),由重心坐标公式得重心为,代入欧拉线方程得：①AB的中点为，，所以AB的中垂线方程为联立，解得所以三角形ABC的外心为，则，化简得：②联立①②得：或，当时，BC重合，舍去，所以顶点C的坐标是故选A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.4、C【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，选出正确选项.【详解】因为命题是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即，.故选：C.5、A【解析】根据题意，结合，即可求解.【详解】根据题意，.故选：A.6、C【解析】先判断出是直角三角形，直接求出圆心和半径，即可求解.【详解】因为三个顶点的坐标分别为，，，所以，所以，所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，所以圆心坐标为，半径故所求圆的标准方程为故选：C7、D【解析】利用定义法求出，再用二倍角公式即可求解.【详解】依题意，角的终边经过点，则，于是.故选：D8、B【解析】由题意结合平面几何、线面垂直的判定与性质可得BC⊥BD，AD⊥AC，再由平面几何的知识即可得该几何体外接球的球心及半径，即可得解.【详解】AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，∴，，∴DA⊥AB，AB⊥BC，由BC⊥AD可得BC⊥平面DAB，DA⊥平面ABC，∴BC⊥BD，AD⊥AC，∴CD＝，由直角三角形的性质可知，线段CD的中点O到点A，B，C，D的距离均为，∴该三棱锥外接球的半径为，故三棱锥的外接球的表面积为4π＝6π.故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及其外接球表面积的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.9、D【解析】从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，共有种方法，其中取出的两个球同色的取法有种，因此概率为选D.10、B【解析】因为，所以．选B11、C【解析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，若关于直线的对称点，∴，解得，∴，连接交直线于点，连接，如图，在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，则有，当且仅当点与重合时取等号，∴，故的最小值为.故选：C12、A【解析】由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A考点：圆的一般方程二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、3【解析】由将对数转化为指数14、##【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.【详解】扇形面积.故答案为：.15、【解析】令f（t）＝2，解出t，则f（x）＝t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可【详解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）（1）当k＝0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1无解，f（x）无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1有1解，∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，∴1，解得﹣1＜k综上，k的取值范围是（﹣1，]故答案为（﹣1，]【点睛】本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，数形结合思想，属于中档题16、【解析】利用平方运算可将问题转化为数量积和模长的运算，代入求得，开方得到结果.【详解】【点睛】本题考查向量模长的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转变为向量的数量积和模长的运算，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值.（2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以.（2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.18、（1）（2）【解析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.【小问1详解】由，解得或，所以当时，由，即，解得，所以．所以小问2详解】由（1）知，由，即，解得，所以因为“”是“”的必要条件，所以．所以，解得所以实数的取值范围是19、（1），证明见解析；（2），方案1可以裁剪出面积最大的矩形.【解析】（1）分别用含有的三角函数表示，写出矩形的面积，利用三角函数求最值；（2）利用（1）的结论，根据对称性知，矩形的最大面积为，然后利用作差法比较大小即可【小问1详解】在图1中，，，，，，，当时，矩形最大面积为，得证.【小问2详解】在图（2）中，设与边，分别交于点，，由（1）的结论，可得矩形的最大面积为，根据对称性知，矩形的最大面积为.因为为锐角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为.20、（1）或，（2）或【解析】（1）根据集合的交集和并集的定义即可求解；（2）先根据补集的定义求出，然后再由交集的定义即可求解.【小问1详解】解：因为或，，所以或，；【小问2详解】解：因为全集为，或，，所以或，所以或.21、（1），（2）答案见解析【解析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.【小问1详解】解：因为(，且)是指数函数，所以，，所以，；【小问2详解】解：由（1）得(，且)，①当时，在R上单调递增，则由，可得，解得；②当时，在R上单调递减，则由，可得，解得，综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.22、（1）；（2）可以，理由见解析.【解析】(1)将图象上给定点的坐标代入对应的函数解析式计算作答.(2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式