新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题08 函数与方程及常见的函数模型（含解析）

专题08函数与方程及常见的函数模型【考纲要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.3、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的应用.【思维导图】【考点总结】一、函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个【常用结论】有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同【常用结论】1．“对勾”函数形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．(2)当x>0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，当x<0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).2．解决函数应用问题应注意的3个易误点(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．(2)解应用题建模后一定要注意定义域．(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．【题型汇编】题型一：函数与方程题型二：常见的函数模型：一次与二次型题型三：常见的函数模型：幂指对型题型四：常见的函数模型应用实例【题型讲解】题型一：函数与方程一、单选题1．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有两个不同的零点，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个零点，再由SKIPIF1<0有两个不同的零点，得出a的取值范围.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个零点由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0要使得SKIPIF1<0有两个不同的零点，则SKIPIF1<0故选：A2．（2022·山东烟台·三模）已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有且仅有三个实数解，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】作出函数SKIPIF1<0的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：作出函数SKIPIF1<0的图象如图：依题意方程SKIPIF1<0有且仅有三个实数解，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有且仅有三个交点，因为SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0不可能有三个实数解，则必有SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时相切时，设切点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有一个交点，要使方程SKIPIF1<0有且仅有三个的实数解，则当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B3．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）已知函数SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有一个零点；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有三个零点；③SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数；④SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数.其中所有正确结论的序号是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】C【解析】【分析】利用导数分段研究函数SKIPIF1<0的单调递增，结合零点的存在性定理依次判断命题即可.【详解】因为函数SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0，对于①，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，所以函数SKIPIF1<0在R上单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0有一个零点，故①正确；对于②，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1个零点；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，如图，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个零点，综上，当SKIPIF1<0时函数SKIPIF1<0有3个零点，故②正确；对于③，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在R上是增函数，故③错误；对于④，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，所以函数SKIPIF1<0在R上单调递增，结合命题①的分析可知当SKIPIF1<0时函数SKIPIF1<0在R上单调递增，综上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在R上是增函数，故④正确；故选：C.4．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知实数SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的一个解，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的一个解，则SKIPIF1<0可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】依题意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，从而得解；【详解】解：依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；故选：B5．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有m个零点，函数SKIPIF1<0有n个零点，且SKIPIF1<0，则非零实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】作出SKIPIF1<0的函数图像，利用图像列出关于SKIPIF1<0的不等式，解出SKIPIF1<0的范围即可【详解】SKIPIF1<0与SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共交7个点SKIPIF1<0图象如下：所以：（Ⅰ）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（Ⅱ）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0综上：SKIPIF1<0．故选：C6．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有三个交点，则SKIPIF1<0的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，结合正弦函数的单调性可得SKIPIF1<0，从而可求得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增这个条件SKIPIF1<0的范围，再根据函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有三个交点，则在SKIPIF1<0上函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个交点，即方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的SKIPIF1<0的范围，取交集即可得出答案，注意说明SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点.【详解】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0上函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个交点，即方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，即方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合图象可得SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点，综上所述，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有三个交点，满足题意，故选：B.7．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的所有零点之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】把方程SKIPIF1<0变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数SKIPIF1<0图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．【详解】解：因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时显然不成立，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象，如图，它们关于点SKIPIF1<0对称，由图象可知它们在SKIPIF1<0上有4个交点，且关于点SKIPIF1<0对称，每对称的两个点的横坐标和为SKIPIF1<0，所以4个点的横坐标之和为SKIPIF1<0．故选：C．8．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有且仅有6个实数根，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】先化简SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，再根据题意得出SKIPIF1<0，求解即可.【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有且仅有6个实数根，因为SKIPIF1<0，故只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D．9．（2022·海南省直辖县级单位·三模）设函数SKIPIF1<0定义域为R，SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0有（

）个零点A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】根据题意可得SKIPIF1<0的对称性，再画出SKIPIF1<0的图象，再数形结合判断SKIPIF1<0的图象交点个数即可【详解】SKIPIF1<0的零点个数即SKIPIF1<0的图象交点个数.因为SKIPIF1<0为奇函数，故SKIPIF1<0关于原点对称，故SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0为偶函数，故SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，画出图象，易得函数SKIPIF1<0的图象有6个交点故选：C10．（2022·江西·二模（文））已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】设SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，利用导数求出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域，即为所求.【详解】设SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图象可知，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象有三个交点，且SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0减极小值增所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于通过设SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0用含SKIPIF1<0的代数式加以表示，再将所求代数式的取值范围转化为关于SKIPIF1<0的函数值域问题，结合导数法求解.二、多选题1．（2022·湖南师大附中三模）已知函数SKIPIF1<0对定义域内任意x，都有SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（

）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】结合SKIPIF1<0周期性和函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的解析式画出SKIPIF1<0的图象，将SKIPIF1<0的零点转化为函数图象交点问题，分情况讨论SKIPIF1<0的零点即可.【详解】由已知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周期为2.其大数图象如图所示，由图可知，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0零点为1、3、5、7、…，满足题意；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0零点为0、2、4、6、…，满足题意；③当SKIPIF1<0时，若零点从小到大构成等差数列SKIPIF1<0，公差只能为1.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0无零点，不符合题意.故选：ABD.2．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数SKIPIF1<0，下列选项正确的是（

）A．点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的零点B．SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0C．函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0D．若关于x的方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是SKIPIF1<0【答案】CD【解析】【分析】根据零点的定义即可判断A；利用导数求出函数SKIPIF1<0的单调区间，从而可求得函数的值域，即可判断C；根据函数的单调性分别求出函数在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的最值，即可判断B；方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，结合C选项，方程SKIPIF1<0实数根的个数，即函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象交点的个数，结合函数图象即可求出SKIPIF1<0的范围，即可判断D.【详解】解：对于A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的零点，故A错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，故SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，综上所述，函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故C正确；对于B，由C可知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递增，则SKIPIF1<0，所以不存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，故B错误；对于D，关于x的方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，即关于x的方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由C知，方程SKIPIF1<0只有一个实数根，所以方程SKIPIF1<0也只有一个实数根，即函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象只有一个交点，如图，画出函数SKIPIF1<0的简图，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以实数a的取值范围是SKIPIF1<0，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了零点的定义，考查了利用到处求函数的单调区间及函数的值域，考查了利用导数解决方程实数根的个数的问题，考查了转化思想及数形结合思想.题型二：常见的函数模型：一次与二次型一、单选题1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0沿着边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0运动，记SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0的面积表示为关于SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三种情况讨论，求出SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的高，结合三角形的面积公式可得出SKIPIF1<0的表达式.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（不包括点SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（不包括点SKIPIF1<0），此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（不包括点SKIPIF1<0），此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，SKIPIF1<0为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线SKIPIF1<0米的SKIPIF1<0点处接球，此时SKIPIF1<0，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点SKIPIF1<0处射门，为获得最佳的射门角度（即SKIPIF1<0最大），则射门时甲离上方端线的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】先根据题意解出SKIPIF1<0长度，设SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再分析求值域，判断取等条件即可求解.【详解】设SKIPIF1<0，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则要使SKIPIF1<0最大，即SKIPIF1<0要取得最小值，即SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得最大值，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的对称轴为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即为获得最佳的射门角度（即SKIPIF1<0最大），则射门时甲离上方端线的距离为：SKIPIF1<0.故选：B.3．（2022·云南曲靖·二模（文））我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）SKIPIF1<0之间的函数关系可近似表示为SKIPIF1<0，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（

）A．120 B．200 C．240 D．400【答案】D【解析】【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分析讨论求出其最小值即可【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值240，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0取得最小值200，综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D4．（2022·四川·广安二中二模（文））某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：①10人（含）以上团体购票9折优惠；②50人（含）以上团体购票8折优惠；③100人（含）以上团体购票7折优惠；④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）．现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（

）A．1090元 B．1171元 C．1200元 D．1210元【答案】B【解析】分析题意可得购买47张票，最大的优惠应依据政策④，故可得应分为13张门票享受政策①，34张门票享受政策④，计算即可.【详解】由于购票人数少于50，故政策②，③不可能享受；在合理范围内政策④比政策①要优惠；而原价为SKIPIF1<0，大于1000，不足1500，所以应将47张票分为两部分购买，其中13张门票享受政策①，34张门票享受政策④，即SKIPIF1<0，故选：B.5．（2022·北京·101中学模拟预测）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝SKIPIF1<0(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16【答案】D【解析】【详解】由题意可得：f（A）=SKIPIF1<0=15，所以c=15SKIPIF1<0而f（4）=SKIPIF1<0=30，可得出SKIPIF1<0=30故SKIPIF1<0=4，可得A=16从而c=15SKIPIF1<0=60故答案为D二、填空题1．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足SKIPIF1<0，每天的成本合计为SKIPIF1<0元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.【答案】

200

7.94【解析】【分析】将利润表示为关于SKIPIF1<0的一个二次函数，求出该函数的最值即可.【详解】由题意易得日利润SKIPIF1<0，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，故答案为：200，7.94.2．（2022·北京市第九中学模拟预测）调查显示，垃圾分类投放可以带来约SKIPIF1<0元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放SKIPIF1<0积分SKIPIF1<0分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于SKIPIF1<0，则额外奖励SKIPIF1<0分（SKIPIF1<0为正整数）.月底积分会按照SKIPIF1<0元/分进行自动兑换.①当SKIPIF1<0时，若某家庭某月产生SKIPIF1<0生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的SKIPIF1<0%，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以SKIPIF1<0可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；②设每个家庭每月产生的垃圾为SKIPIF1<0，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为SKIPIF1<0元，分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两种情况讨论，计算SKIPIF1<0的表达式，结合SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0的最大值.【详解】①若某家庭某月产生SKIPIF1<0生活垃圾，则该家庭月底的积分为SKIPIF1<0分，故该家庭该月积分卡能兑换SKIPIF1<0元；②设每个家庭每月产生的垃圾为SKIPIF1<0，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为SKIPIF1<0元.若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立；若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.3．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于SKIPIF1<0，已知一驾驶员某次饮酒后体内每SKIPIF1<0血液中的酒精含量SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）与时间SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）的关系是：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________SKIPIF1<0才可驾车.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数有最大值SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，饮酒后体内每SKIPIF1<0血液中的酒精含量小于SKIPIF1<0，当当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，令SKIPIF1<0，因此饮酒后SKIPIF1<0小时体内每SKIPIF1<0血液中的酒精含量等于SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<04．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元.【答案】11710【解析】【分析】由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34张票，剩余13张用方案一，费用最小，从而可求出其最小值【详解】方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，方案二：满5000元减1000元，按原价计算SKIPIF1<0，则满5000元至少凑齐17人，SKIPIF1<0，则单人票价为SKIPIF1<0，满10000元时，SKIPIF1<0，则需34人，单人票价为241元，满15000元时，SKIPIF1<0，人数不足，因为SKIPIF1<0，所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，所以总费用为SKIPIF1<0（元），故答案为：11710三、解答题1．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间SKIPIF1<0（单位：小时）变化的函数为SKIPIF1<0，已知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到SKIPIF1<0小时）(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量SKIPIF1<0关于时间SKIPIF1<0的函数为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出SKIPIF1<0的最大值．（结果精确到0.1）【答案】(1)SKIPIF1<0小时(2)6.5【解析】【分析】（1）由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0可得答案；（2）当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，面积SKIPIF1<0由基本不等式求得最值；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，利用单调性可得SKIPIF1<0的最大值，再比较可得答案．(1)由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即产生有效作用的时间段为SKIPIF1<0，故产生有效作用的时间为SKIPIF1<0小时．(2)当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同时SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，面积SKIPIF1<0，由基本不等式，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是单调递减的，则最大值在SKIPIF1<0时取到，SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为6.5．2．（2022·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为SKIPIF1<0元SKIPIF1<0时，一年的销售量为SKIPIF1<0万袋，并且全年该桃酥食品共需支付SKIPIF1<0万元的管理费.一年的利润SKIPIF1<0一年的销售量SKIPIF1<0售价SKIPIF1<0（一年销售桃酥的成本SKIPIF1<0一年的管理费）.（单位：万元）(1)求该超市一年的利润SKIPIF1<0（万元）与每袋桃酥食品的售价SKIPIF1<0的函数关系式；(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润SKIPIF1<0最大，并求出SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)售价为9元时，利润最大为9万元【解析】【分析】（1）直接由题目所给关系即可求得利润SKIPIF1<0（万元）与售价SKIPIF1<0的函数关系式；（2）将函数关系式变形整理得SKIPIF1<0，结合基本不等式即可求出最大值.(1)由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元.题型三：常见的函数模型：幂指对型一、单选题1．（2022·江西师大附中三模（文））某种病毒的繁殖速度快､存活时间长.已知a个这种病毒在t天后将达到SKIPIF1<0个，且经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.若再过t天后病毒的数量达到原来的8倍，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】【分析】根据题意解指数方程可得参数SKIPIF1<0的值，通过函数值为原来的8倍解出SKIPIF1<0，即可得结果.【详解】由题意得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设经过t天后，病毒的数量达到原来的8倍，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以再过SKIPIF1<0天，病毒的数量达到原来的8倍.故选：B.2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据SKIPIF1<0得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】结合散点图的特点，选择合适的方程类型作为回归方程类型.【详解】由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长速度越来越快，所以SKIPIF1<0最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.故选：C3．（2022·湖南衡阳·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示每一轮优化时使用的学习率，SKIPIF1<0表示初始学习率，SKIPIF1<0表示衰减系数，SKIPIF1<0表示训练迭代轮数，SKIPIF1<0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：SKIPIF1<0）（

）A．128 B．130 C．132 D．134【答案】B【解析】【分析】由已知可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.【详解】由题设，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以所需的训练迭代轮数至少为130次.故选：B4．（2022·北京·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：SKIPIF1<0）与时间t（单位：h）间的关系为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，k是正的常数．如果在前SKIPIF1<0污染物减少SKIPIF1<0，那么再过SKIPIF1<0后污染物还剩余（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数模型及已知可得SKIPIF1<0，再计算SKIPIF1<0后污染物剩余量.【详解】由题设，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再过5个小时，SKIPIF1<0，所以最后还剩余SKIP