2024届福建省厦门市厦门二中高三上学期第三次阶段考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat16页2024届福建省厦门市厦门二中高三上学期第三次阶段考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出集合，利用集合的交集运算进行求解即可【详解】由已知可得，，所以.故选：C2．若，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解.【详解】由已知可得，所以，故选：D3．点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，列出方程组，即可求解.【详解】设点的初始坐标为，因为点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，可得，解得，即点的初始坐标为.故选：B.4．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.5．已知，则（

）A． B． C． D．-【答案】D【分析】根据角的变换及二倍角的余弦公式求解即可.【详解】因为，所以.故选：D6．在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，在中，，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记，因为，所以，即，则，整理得①，又在中，，即，则②，两式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.故选：C.7．如图所示，正方形ABCD的边长为3cm，O为AB的中点，点M从正方形边上的点A出发，沿顺时针方向运动，速度为2cm/s，点N从正方形边上的点B出发，沿逆时针方向运动，速度为1cm/s．记A={线段OM在正方形ABCD内扫过的区域}，B={线段ON在正方形ABCD内扫过的区域}．若M、N同时出发，则当t=4s时，区域的面积为（

）

A．3m2 B．2cm2C．cm2 D．1cm2【答案】A【分析】画出图象，根据题意确定的区域，求出面积即可.【详解】如图所示，

当时，点走过的路程为，点走过的路程为，的区域为阴影部分，其中，，所以的区域的阴影部分面积为，故选：8．已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，当时，，则以下各项中最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用已知条件可知、，进而得到，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知、、、中最小值.【详解】是奇函数，即关于对称，的图象关于点对称，即．又为偶函数，即关于对称，的图象关于直线对称，即．，，即，函数的周期为8，，，，，故最小．故选：D【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.二、多选题9．已知实数，满足,则下列关系式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以.A：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立；B：在上是增函数，故，故本关系恒成立；C:当时，显然符合，但是没有意义，故本关系式不恒成立；D：因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立.故选：BD.【点睛】本题考查了指数函数、正弦函数、幂函数的单调性应用，属于基础题.10．已知等差数列是递增数列，其前n项和为，且满足，则下列结论正确（

）A． B．C．当时，最小 D．当时，n的最小值为8【答案】ABD【分析】由递增的等差数列可知；由结合等差数列通项公式可得；最后根据等差数列求和公式与可求得最值，即可判断CD【详解】因为是递增数列，所以.因为，所以，所以，所以，故A，B正确；又因为，所以，且为的最小值，故C错误；又，故D正确.故选：ABD11．在如图所示的三棱锥中，已知，，为线段的中点，则（

）A．与垂直B．与平行C．点到点，，，的距离相等D．与平面所成的角大于【答案】AC【分析】A.取AC的中点Q，连接PQ，BQ，根据P为中点，易得平面判断；B.由A得到判断；C.易得平面，则，得到三角形VAC，VBC是直角三角形，再利用直角三角形中线定理判断；D.由平面ABC，得到是与平面所成的角，再根据，，利用正切函数的单调性判断；【详解】A.如图所示：取AC的中点Q，连接PQ，BQ，因为P为中点，则，又因为，则平面ABC，所以平面ABC，则，又，则，所以平面，则，故正确；B.由A知：，故错误；C.因为，，，所以平面，则，所以三角形VAC，VBC是直角三角形，由直角三角形中线定理知，点到点，，，的距离相等，故正确；D.由平面ABC知：是与平面所成的角，因为，所以，即，因为，又在递增，所以，故错误；故选：AC【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及线面角问题，还考查了转化化归的思想和空间想象、逻辑推理的能力，属于中档题.12．已知函数，以下结论正确的是（

）A．B．在区间上是增函数C．若方程恰有3个实根，则D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是【答案】BCD【分析】利用函数的图象结合四个选项进行分析，注意函数在大于0部分的周期性，从而进行选项判断，即可得到答案.【详解】函数的图象如图所示：对A，，，所以，故A错误；对B，由图象可知在区间上是增函数，故B正确；对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查利用函数的图象研究分段函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时画出函数图象是求解问题的关键.三、填空题13．已知函数，则．【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：114．已知函数，且，则．【答案】【分析】根据题中已知函数值与所求函数值之间的关系，结合函数的解析式进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以．故答案为：．15．已知函数，且，则方程的解为．【答案】3【分析】分类讨论和，解方程的解，即可得出答案.【详解】当时，，解得：，当时，，解得：（舍去），所以方程的解为.故答案为：3.16．已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则.【答案】【解析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，是小于1的正有理数，通过验证的方法可以求解.【详解】解：由已知，，∵∴，且，∴，∴，又q为小于1的正有理数，∴是一个完全平方数，可得或或或，则（舍）或或（舍）或（舍）∴.故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查运算能力，是一道中档题．四、解答题17．已知函数，，且.（1）当时，若的最大值为，求的值；（2）求使成立的的取值范围.【答案】（1）2；（2）当时，，当时，.【分析】（1）当时，判断函数单调性，找到函数取最大值时的取值，代入函数解方程求出的值；（2）讨论底数为的对数函数的单调性，利用单调性解不等式.【详解】(1)，当时，在单调递增，在单调递减，∴当时，有最大值，即，∴；(2)，当时，，当时，，综上，当时，，当时，.【点睛】本题考查了对数函数的值域与最值，是中档题.18．在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.19．已知函数f(x)＝log2.（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；（3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－<a≤－.【分析】（1）由解得，然后检验函数是奇函数即可；（2）由真数恒大于0即恒成立可得；（3）由函数单调性得，解之可得．【详解】（1）若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函数，所以a＝0为所求．（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0即可．（3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f（1）＝log2.由题设，得log2(1＋a)－log2≥2⇒，解得－<a≤－.【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键．20．已知数列是等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列满足，，求数列的前项和．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）设等差数列的基本量，根据条件建立方程组解出，可求解通项公式（2）由数列的前项和为，可先求出的通项公式（注意分类讨论），再求出，再求出的前项和.【详解】（1）∵，∴，

①∵，∴，

②由①②得：或，当时，．当时，．所以数列的通项公式为或．（2）∵，∴，，

①，

②①－②得：，，得，，时，不满足上式，所以，所以时，，当时，满足上式，所以．【点睛】1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.21．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得；（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，