2023年中考数学压轴题26 以旋转为载体的几何综合问题【含答案】

___________专题26以旋转为载体的几何综合问题

典例剖析.

\__________________________x

[例1](2022・山东济南•中考真题)如图1,△NBC是等边三角形，点。在△ZB。的内部,

连接/。，将线段4。绕点/按逆时针方向旋转60。，得到线段ZE,连接80，DE,CE.

图1图2图3

(1)判断线段8。与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F.

①如图2,当点尸与点8重合时，直接用等式表示线段/E,BE和CE的数量关系为

②如图3,当点尸为线段8c中点，且EO=EC时，猜想N8Z。的度数，并说明理由.

【例2】(2022•山东薄泽•中考真题)如图1,在△ABC中，448c=45。/。_LBC于点。，

在D4上取点E,使。E=OC,连接BE、CE.

图1图2图3

(1)直接写出CE与48的位置关系；

(2)如图2,将小BED绕点D旋转，得到△B'E'ZX点B',E'分别与点B,E对应),连接CE\AB,

在ABED旋转的过程中C?与力B'的位置关系与(1)中的CE与48的位置关系是否一致？

请说明理由：

(3)如图3,当ABED绕点。顺时针旋转30。时，射线C?与力。、AB'分别交于点G、F,若

CG=FG,DC=V3,求AB'的长.

【例3】(2022•内蒙古通辽•中考真题)已知点E在正方形力BCD的对角线力。上,正方形AFEG

与正方形ABCD有公共点4.

（2）将正方形4FEG绕4点逆时针方向旋转a（（T<a<90。），如图2,求：笠的值为多少；

U（J

（3）AB=8V2,AG^^-AD,将正方形AFEG绕4逆时针方向旋转a（0。<a<360。），当C,

G,E三点共线时，请直接写出DG的长度.

【例4】（2022•山东潍坊・中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处,

将甲绕点。顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图,

并连接如图③所示，AB交H。于E,AC交0G于F,通过证明△OBE三△04F,

可得0E=OF.

请你证明：AG=BH.

【迁移应用】

延长G4分别交H0,，B所在直线于点尸，D,如图④，猜想并证明CG与的俅置关系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤,按图⑤作出示意图，并连接HB.AG,

如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明4G与BH的数箪关系.

【例5】（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，在A/IBC中，AB=AC=2y/5,BC=4,D,E,F

分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF.

A

AA

M

Q，NFB

Q

图1图2图3

⑴如图1.求证：DF=yDF；

(2)如图2,将ZEDF绕点。顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,当射线DP交48于点G,

射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M,判断FN与EM的数量关系,

并说明理由;

(3)如图3,在(2)的条件下，当DPIAB时，求DN的长.

满分训练.

一、解答题【共20题】

1.(2022•辽宁阜新•中考真题)已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE<AB),

Z.EDF=90°,DE=DF,连接AE,CF.

图2图3

(1)如图1,求证：4ADE支CDF；

(2)直线AE与CF相交于点G.

①如图2,于点M,BN1CF于点N,求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3,连接BG,若AB=4,CE=2,直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度

的最小值.

2.(2022•江苏南通・中考真题)如图，矩形2BCD中，AB=4,4。=3,点E在折线BCD上

运动，将4E绕点/顺时针旋转得到4F,旋转角等于NBAC,连接CF.

BB

(备用图)

(1)当点E在BC上时，作FM_L4C,垂足为求证4M=4B；

(2)当4E=3代时，求CF的长；

(3)连接。尸，点E从点8运动到点。的过程中，试探究DF的最小值.

3.(2022・辽宁盘锦・中考真题)如图，四边形48co是正方形，AEC/为等腰直角三角形，

NECF=90。,点E在8c上，点尸在8上，P为EF中点、,连接ZF,G为ZF中点，连接

PG,DG,将RtZXECP绕点C顺时针旋转，旋转角为a(0。女=360。).

图1图2

(1)如图1,当a=0。时，DG与尸G的关系为；

(2)如图2,当a=90。时

①求证：△/GD会△FGM；

②(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

4.(2022•山东青岛•中考真题)如图，在Rt/kABC中，乙4cB=90。/8=5cm,BC=3cm,

将△ABC绕点/按逆时针方向旋转90。得到△ADE,连接CD.点P从点8出发，沿B4方

向匀速运动,速度为lcm/s；同时，点。从点力出发，沿力。方向匀速运动,速度为lcm/s.PQ

交4c于点R连接CP,EQ.设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题：

(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2),求S与，之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻3使PQIICC?若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

5.(2022•辽宁•本溪市教师进修学院中考真题)在AABC中，^BAC=90°,AB=AC,线段4B

绕点A逆时针旋转至AD(AD不与AC重合)，旋转角记为a,^DAC的平分线AE与射线BD

相交于点E,连接EC.

图①图②备用图

(1)如图①，当a=20。时，/4EB的度数是；

(2)如图②，当(T<a<90。时，求证：BD+2CE=y/2AE；

⑶当0。<&<180。,力后=2CE时，请直接写出海勺值.

6.(2022•广西梧州•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=——一4分别与x,y

轴交于点Z,B,抛物线y=+必+c恰好经过这两点.

18

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是(0,6),将△4C。绕着点C逆时针旋转90。得到AECF,点/的对应点是

点E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点尸是夕轴上的任一点，求|BP+EP取最小值时，点尸的坐标.

7.(2022・湖南岳阳・中考真题)如图，AABC和ACBE的顶点B重合，^ABC=Z.DBE=90°,

Z.BAC=^BDE=30°,BC=3,BE=2.

AAA

(1)特例发现：如图1,当点。，E分别在AB,BC上时，可以得出结论：第=，直线

AD与直线CE的位置关系是；

(2)探究证明：如图2,将图1中的ADBE绕点B顺时针旋转，使点。恰好落在线段AC上,

连接EC,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3,将图1中的△08E绕点B顺时针旋转a(19。＜a＜60°),连接AD,EC,

它们的延长线交于点凡当=时，求tan(60。一a)的值.

8.(2022•湖北十堰•中考真题)已知Z4BN=9O。，在乙4BN内部作等腰A4BC,AB=AC,

4B4C=a(0o＜aW90。).点。为射线BN上任意一点(与点8不重合)，连接AD,将线

段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE,连接EC并延长交射线BN于点F.

(1)如图1,当a=90。时，线段B尸与CF的数量关系是；

(2)如图2,当0。＜。＜90。时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立,

请说明理由；

(3)若a=60。，AB=4V3,BD=m,过点E作EPLBN,垂足为P,请直接写出PD的长

(用含有rn的式子表示).

9.(2022•山西•中考真题)综合与实践

问题情境：在出△48C中，NA4c=90。，4S=6,JC=8.直角三角板EOF中NEZ)F=90。，将

三角板的直角顶点。放在心A/BC斜边8c的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的

两边。£,OF分别与边48,4c交于点M,N,猜想证明：

E,

EAA

图①图②图③

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点/为边48的中点时，试判断四边形NMDN的形

状，并说明理由;

问题解决:

(2)如图②，在三角板旋转过程中，当/B=4MOB时，求线段CN的长:

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段ZN的长.

10.(2022•湖北武汉•中考真题)如图是由小正方形组成的9x6网格，每个小正方形的顶点

叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图

过程用虚线表示.

Q)

⑴在图(1)中，D,E分别是边AB,4c与网格线的交点.先将点8绕点E旋转180。得到

点F,画出点凡再在4c上画点G,使DGIIBC；

(2)在图(2)中，P是边力B上一点，^BAC=a.先将4B绕点4逆时针旋转2a,得到线

段4”,画出线段4H,再画点Q,使P,Q两点关于直线AC对称.

II.(2022•四川广元•中考真题)在心△/8C中，AC=BC,将线段C4绕点C旋转a((T<a

<90°),得到线段CD,连接Z。、BD.

（2）将线段CA绕点C顺时针旋转a时

①在图2中依题意补全图形，并求的度数；

②若NBCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连结BE.用等式表示线段

AD.CE、之间的数量关系，并证明.

12.（2022•江苏连云港•中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小听同学将一

大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中NACB=乙DEB=90。,NB=30°,BE=

AC=3.

【问题探究】小听同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转.

（备用图）

图4

（1）如图2,当点E落在边4B上时，延长DE交BC于点F,求BF的长.

（2）若点C、E、。在同一条直线上，求点。到直线BC的距离.

（3）连接OC,取DC的中点G,三角板DEB由初始位置（图1）,旋转到点C、B、。首次在

同一条直线上（如图3）,求点G所经过的路径长.

（4）如图4,G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线4B的距离的最大值是

13.（2022•四川达州•中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不

同的等腰直角三角形4BC和等腰直角三角形CDE,按如图1的方式摆放，4ACB=4ECD

90。，随后保持A/IBC不动，将ACDE绕点C按逆时针方向旋转a（（T<a<90。），连接AE,

BD,延长BD交4E于点F,连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答:

图1图2图3

(1)【初步探究】如图2,当E0IBC时，则&=；

(2)【初步探究】如图3,当点重合时，请直接写出4F,BF,CF之间的数量关系:；

(3)【深入探究】如图4,当点E,尸不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给

出推理过程；若不成立，请说明理由.

(4)【拓展延伸】如图5,在△ABC与ACOE中，^ACB=Z.DCE=90°,BC=mAC,CD=

mCE("i为常数).保持AaBC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转a((T<a<90。),

连接4E,BD,延长B。交4E于点尸，连接CF,如图6.试探究4凡BF,CF之间的数量

关系，并说明理由.

14.(2021•辽宁沈阳•中考真题)在AABC中，AB=AC,ACDE中，CE=CD(CE>CA\

BC=CD,ZD=a,44CB+NEC。=180。，点8,C,E不共线，点尸为直线DE上一点，

且PB=PO.

(1)如图1,点。在线段8c延长线上，则NECD=,^ABP=,(用含a

的代数式表示)；

图1

(2)如图2,点Z,E在直线BC同侧，求证：BP平分41BC；

D

图2

(3)若4BC=6(T,BC=g+1,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当2P1DE

时，直线PC交BD于点G,点/是P。中点，请直接写出GM的长.

图3

15.(2021•山东日照•中考真题)问题背景:

如图1,在矩形ABCD中，力B=2V3,/.ABD=30。，点E是边力B的中点，过点E作EF，AB

交BD于点F.

(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的ABE尸绕点B按逆时针方向旋转90。，如图

2所示，得到结论：唠=；②直线4E与DF所夹锐角的度数为.

(2)小王同学继续将4BEF绕点B按逆时针方向旋转,旋转至如图3所示位置.请问探究(1)

中的结论是否仍然成立？并说明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，当ABEF旋转至D、E、F三点共线时，则△4DE的面积为.

16.(2022•江苏•淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测)(1)如图1,在AO/B和

△08中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=39°,连接/C,BD交于点、M.填空：黑

的值为,N/M8的度数为；

(2)如图2,在△048和△08中，NAOB=NCOD=90。,ZOBA=ZODC=60°,连接

/C交8。的延长线于点请判断案的值，并说明理由；

DL)

(3)在(2)的条件下，将△OC。绕点。在平面内旋转，AC,8。所在直线交于点"，若

OD=\,。8=正；点。为CC的中点，则在旋转的过程中，的最大值为.

c

,0c

图1图2备用图

17.(2022・广东・深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测)【操作与发现】

如图①，在正方形/8CD中，点N,M分别在边8C、CD连接/AAAN、MN.ZMAN

=45°,将△/MO绕点/顺时针旋转90。，点。与点8重合，得到△48E.易证：△力NM四

⑴【实践探究】在图①条件下，若CN=6,CM=8,则正方形N8C。的边长是.

(2)如图②，在正方形/BCD中，点A/、N分别在边QC、BC上,连接4"、AN、MN,Z

MAN=45°,若tan/B4N=g求证：M是CC的中点.

(3)【拓展】如图③，在矩形/8CD中，AB=\2,4D=16,点M、N分别在边。C、BC上，

连接4"、AN,已知NM4N=45。，BN=4,则。M的长是.

18.(2021•四川乐山•三模)在△ZBC中，CA=CB,N/C8=a.点尸是平面内不与点/,C

重合的任意一点，将线段ZP绕点尸逆时针旋转a得到线段DP,连接BD,CP.

(1)观察猜想

如图1,当a=60。时，m的值是,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是

⑵类比探究

如图2,当a=90。时，请写出卷，并就图2的情形说明理由.

(3)解决问题

当a=90。时，若点E,F分别是C/i,C3的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C,P,

。在同一直线上时当的值.

19.（2021•山东济南•一模）如图1,在心△力8c中，ZC=90°,N/=30。，BC=1,点、D,

£分别为/C,8c的中点.△（?£）£绕点C顺时针旋转，设旋转角为a（0在超360。），记直线

AD与直线BE的交点为点P.

（1）如图1,当a=0。时，与8E的数量关系为,与BE的位置关系为；

（2）当0。＜处360。时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，

请说明理由；

（3）ACDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直

线8c距离的最大值.

20.（2022•黑龙江•齐齐哈尔市富拉尔基区教师进修学校三模）综合与实践

如图①，RtA4BC中,ZACB=90°,8为心△48c的斜边上的中线，在证明

的过程中，我们可以延长CD到E,使得CD=DE,连接2E.很容易证明//CO丝△8皮＞,

进而证明所以/8=CE,所以CD=/D=BD.我们可以得到直角三角形的性

质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.

实践操作：

将两个全等的放△ZBD,R/A4CE拼在一起，如图②，△48。不动.

问题解决：

（1）将△4CE绕点/逆时针旋转，连接。E,/是。后的中点，连接收8,MC,如图③，

求证：MB=MC；

拓展延伸：

（2）若将图②中的CE向上平移，且/。不变，连接。E,M是。E的中点，连接,

MC,如图④，则线段A/8,MC的数量关系为；

问题再探：

（3）在（2）的条件下，若NC/E改变大小，如图⑤，其他条件不变，请你判断线段MB,

MC的数量关系还成立吗?请说明理由.

典例剖析.

[例1](2022•山东济南•中考真题)如图1,△/BC是等边三角形，点。在△/8C的内部,

连接Z。，将线段力。绕点力按逆时针方向旋转60。，得到线段4E,连接8。，DE,CE.

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F.

①如图2,当点尸与点8重合时，直接用等式表示线段ZE,8E和CE的数量关系为；

②如图3,当点尸为线段8c中点，且EO=EC时，猜想的度数，并说明理由.

【答案】(1)BD=CE,理由见解析

(2)®BE=AE+CE-,②4BAC=45。，理由见解析

【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到△48。三△ACE(SAS),再由全等

三角形的性质求解；

(2)①根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60。得到AE得到△ADE是等边三角形，

由等边三角形的性质和3)的结论来求解；②过点力作4G1EF于点G,连接力凡根据

等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到NB4F=W/1G,与=若，进而得到△BAD

ADAB

FAG,进而求出乙4DB=90。，结合BD=CE,ED=EC得到BD=4。，再用等腰直角三角

形的性质求解.

(1)

解：BD=CE.

证明：是等边三角形，

：.AB=AC,/.BAC=60°.

•.•线段AD绕点A按逆时针方向旋转60。得到AE,

：.AD=AE,/.DAE=60°,

：.ABAC=^DAE,

：.4BAC-/.DAC=/.DAE-/.DAC,

即/BAD=/.CAE.

在△ABD和△ACE中

AB=AC

Z-BAD=乙CAE，

AD=AE

.••△ABDwziACE(SAS),

：.BD=CEx

(2)

解：①BE=AE+CE

理由：•.•线段AD绕点A按逆时针方向旋转60。得到AE,

...△4DE是等边三角形，

：.AD=DE=AE,

由(1)得8。=CE,

：.BE=DE+BD=AE+CE；

②过点力作AG1EF于点G,连接/凡如下图.

「△ADE是等边三角形，4GIDE,

."/MG="/X4E=3。。,

.AG.,x,'与

.=cosZ-DnAG=—'

AD2

「△ABC是等边三角形，点尸为线段中点,

：.BF=CF,AFIBC,/.BAF=AC=30°,

•AF/r1/厂V3

=COSZ-BAF=——

AB2

AF

：.Z.BAF=Z.DAG,—

而'

：./.BAF+乙DAF=乙DAG+ADAF,

BPzMD=乙FAG,

△BADFAG,

：.Z-ADB=^LAGF=90°.

■:BD=CE,ED=EC,

：.BD=AD,

即△/IB。是等腰直角三角形，

：.^LBAD=45°.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直

角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答

关键.

【例2】（2022•山东荷泽•中考真题）如图1,在ZiaBC中，NABC=45。,4。J.BC于点。，

在£）/上取点E,®DE=DC,连接8E、CE.

图1图2图3

（1）直接写出CE与AB的位置关系；

（2）如图2,将4BED绕点D旋转，得到△B‘E,D（点B’,?分别与点B,E对应）,连接CE\AB,

在△BED旋转的过程中CE'与4B'的位置关系与（1）中的CE与48的位置关系是否一致？

请说明理由；

（3）如图3,当ABE。绕点。顺时针旋转30。时，射线C?与/£＞、AB,分别交于点G、F,若

CG=FG,DC=V3,求A8’的长.

【答案】（1）CE,力8,理由见解析

（2）一致，理由见解析

（3）573

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得NZ8C=ND4B=45。，ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°,

可得结论：

（2）通过证明△ADB'三/\CDE',可得NZMB'=4DCE',由余角的性质可得结论；

（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得力8'=百4。，即可求解.

【详解】（1）如图，延长CE交于4，

VZABC=45°,AD1.BC,

：.ZADC=ZADB=90°,ZABC=ZDAB=45°,

"：DE=CD,

・・・NDCE=NDEC=NAEH=45。,

：./BHC=/BAD+/AEH=90°,

：.CE±AB；

(2)在△BED旋转的过程中与AB'的位置关系与(1)中的CE与的位置关系是一

致的，理由如下：

如图2,延长CE'交48'于H,

图2

由旋转可得：CD=DE\BD=AD,

•.*NADC=NADB=90。,

：.Z-CDE'=乙4DB；

..CDAD.

••—.=1，

DEDB

△ADBCDE,

Z.DAB=乙DCE,

・・・"CE'+NOGC=90。，/DGC=/AGH,

：.ND4B+N4GH=90。,

，ZAHC=90°,

・•・CE'1AB'；

(3)如图3,过点。作£＞，1于点”,

图3

"?ABED绕点D顺时针旋转30。,

:乙

•BDB'=30°fBD=BD=AD,

・•・乙ADB'=120°,Z.DAB'=Z.ABD=30°,

-DHlAB'fAD=BD,

；.AD=2DH,AH=6DH=B'H,

:.AB=WAD、

由（2）可知：AADB'〜ACDE',

・•・LDAB=Z.DCE=30°,

'：AD±BC,CD=3

，QG=1,CG=2QG=2,

:・CG=FG=2,

^=300fDH1.AB'f

：.AG=2GF=4,

：.AD=AG-^DG=4+1=5,

：.AB'=V3AD=5y/3.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质,

相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键.

【例3】（2022•内蒙古通辽•中考真题）已知点E在正方形48co的对角线力C上,正方形AFEG

与正方形ABCD有公共点

⑵将正方形4FEG绕4点逆时针方向旋转以0。Va<90。），如图2,求：笠的值为多少；

Du

（3）AB=8a,AG=^AD,将正方形力FEG绕4逆时针方向旋转a（0。<a<360。），当C,

G,E三点共线时，请直接写出DG的长度.

【答案】（1）2

⑵迎

（3）476-4&或4V6+4V2

【分析】（1）根据题意可得GEIIDC,根据平行线分线段成比例即可求解;

(2)根据(1)的结论，可得华=华=*，根据旋转的性质可得进而证明

△GAD〜^EAC,根据相似三角形的性质即可求解；

(3)分两种情况画出图形，证明△/OGs△/根据相似三角形的判定和性质以及勾股

定理即可得出答案.

(1)

解：•.•正方形4FEG与正方形4BCD有公共点4点G在4D上，户在71B上，

・•.GEWC

AG_AE

~DG=~EC

EC_AE

~DG~AG

••,四边形4FEG是正方形

AE=\l2AG

2CE42CE>/2AEQ、，Wo

・•・-7=—=-----=------=V2X<2=2

y/2DGDGAG

(2)

解：如图，连接4E,

•.•正方形AFEG绕4点逆时针方向旋转a(0。<a<90°),

•••Z.DAG=Z.CAE

AG_AD_1

'AE=AC=V^

・•.△GADEAC

伉

・•・一CE=—AC=V2,

DGAD

(3)

解：①如图,

D

VAB=8V2,AG=^-AD,

•••AD=AB=8怎4G=yx8V2=8/C=&AB=16,

•••G,E,C三点共线，

Rt△4GC中，GC=<AC2-AG2=V162-82=8V3,

•••CE=GC-G£,=8V3-8,

由（2）nJMlAGADEACf

二防=防=/,

/DG=D^=8V2X（8V3-8）=4（V6_V2）=4V6-4V2.

AC16、/

②如图：

由（2）知4ADGS"CE,

•.•—DG——AD——V2,

CEAC2

:.DG巫CE,

2

:四边形/8CO是正方形，

:.AD=BC=8近,AC=>/AB2+BC2=16,

,:AG』4D,

2

：.AG^-AD=S,

•.•四边形ZFEG是正方形，

Z.ZAGE=90°,GE=AG=8,

VC,G,E三点共线.

，ZAGC=90°

：.CG=\/AC2-AG2=V162-82=8V3,

CE=CG+EG=8百+8,

:.DG=[CE=4瓜+4V2.

综上，当C,G,£三点共线时，。G的长度为4伤一4位或4V5+4&.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股

定理，旋转的性质，综合运用以匕知识是解题的关键.

【例4】（2022•山东潍坊・中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处,

将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图,

并连接力如图③所示，AB交H0于E,4c交0G于尸，通过证明△OBE三△OAF,

可得0E=OF.

请你证明：AG=BH.

图①图②图③

【迁移应用】

延长G4分别交HO,HB所在直线于点尸，D,如图④，猜想并证明DG与的停置关系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤,按图⑤作出示意图，并连接HB.AG,

如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的裂量关系.

【答案】证明见解析；垂直；BH=6AG

【分析】证明△B0HWA40G,即可得出结论；通过N8H0=N4G。，可以求出4OGH+

Z.BHO4-/.OHG=90°,得出结论4G1BH；证明得出当=空=与得出

BH0B3

结论；

【详解】证明：-AB=AC,AOLBC,

•・・0A=OB/AOB=90°,

・・・乙乙

BOH+Z.AOH=90°f^AOG+AOH=90°,

••・乙BOH=Z710G,

•・・OH=OG,

••△BOH=△AOG»

AAG=BH；

迁移应用：DG1BH9

证明：v△BOH=△AOG,

•••Z-BHO=Z.AGOr

•・・WG”+N4GO=45。，

・・・NDGH+2BH0=45。，

v乙OHG=45°,

:.乙DGH+乙BHO+Z.OHG=90°,

:.乙HDG=90°,

・•・DG1BH；

拓展延伸：BH=6AG,

证明：在Rt△力OB中，tan3(T=空=g

在RtAHOG中，tan3(T=第=4

OH3

.OA_OG

・・布一'OH'

由上一问题可知，乙BOH=^AOG,

:.△BOHs△AOG>

AGOAVI

BHOB3

BH=WAG.

【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与

性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质.

【例5】(2022•辽宁锦州•中考真题)如图，在△力8c中，AB=AC=2V5,BC=4,D,E,F

分别为AC,AB,BC的中点，连接DE.DF.

A

AA

M

NFB

QQ

图1图2图3

⑴如图1.求证：DF/DE；

(2)如图2,将ZEDF绕点。顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,当射线DP交48于点G,

射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M,判断FN与EM的数量关系,

并说明理由;

(3)如图3,在(2)的条件下，当DPIAB时，求DN的长.

【答案】(1)见解析

(2)FN=qEM,理由见解析

(3邛

【分析】(1)连接AF，可得AF1BC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

DF=^AC=V5,根据中位线定理可得DE=TBC=2,即可得证；

(2)证明△ONF-zsOME,根据(1)的结论即可得FN=9EM；

(3)连接4F,过点C作CH14B于H,证明△AGDsZSAHC,可得GD=：HC=W，勾

股定理求得GE/G,根据tan乙4DG=丝=三，Z.EMG=Z.ADG,可得tan^EMG=丝=?，

GD4MG4

进而求得MG,根据MO=MG+G。求得MD,根据(2)的结论O/V=QM,即可求解.

(1)

证明：如图，连接4兄

A

A

Bc

Si

■­•AB=AC=2>/5,BC=4,D,E,产分别为的中点,

■■■DE=^BC=2,AF1BC,

DF=^AC=V5,

:.DF=—2DE,

(2)

FN/EM,理由如下，

连接AF,如图，

■■AB=AC=2y/5,BC=4,D,E,尸分别为4C/B,BC的中点,

•••EF=^AC=CD,EF\\DC,

.••四边形CCEF是平行四边形，

:.乙DEF=乙C,

V

DF=2-AC=DC,

Z-DFC=乙C,

・・・乙DEF="FC,

A180°一乙DEF=180°-乙DFC,

乙DEM=乙DFN,

•・,将匕EOF绕点。顺时针旋转一定角度，得到"OQ,

・•・乙EDF=乙PDQ,

v乙FDN+乙NDE=乙EDM+乙NDE,

乙FDN=乙EDM,

DNFDME,

.—N-F_=-D-F-_=眄1•

EMDE2

:.FN=—2EM,

(3)

如图，连接4F,过点。作CH_L4B于H,

・•・AF=y)AC2-FC2=4,

•••SAABC=\BC-AF=\AB.CH,

”BCAF4x48V5

HC=-----==-----

AB2V55

•・・DP1ABf

-e•△AGDAHC,

GD_AD_1

正一前一5'

GD=-HC=—

25

RtAGED中，

GE=VED2-GD2=心一律j=等,

RtAAGD中，

AG=yjAD2—GD2=^(V5)2—

3V5

••・tanZ.ADG=—==-

GD4

•・・EFWAD,

••・乙EMG=Z-ADG.

・•.tanz.EMG=—EG=一3

MG4

44

-GE=

3-3

8遍,4V行4V5

・・・MD=MG+GD---------------=-------

1553

v△DNFDME,

DN_DF_V5

DM~DE2

y/5-4VS10

—X......——.

MDN=WDM=233

【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定

理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

满分训练.

一、解答题【共20题】

1.(2022•辽宁阜新•中考真题)已知I,四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE<AB),

Z.EDF=90°,DE=DF,连接AE,CF.

(1)如图1,求证：AADE丝ACDF：

(2)直线AE与CF相交于点G.

①如图2,8"，46于点时，BN1CF于点N,求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3,连接BG,若力B=4,DE=2,直接写出在△CEF旋转的过程中，线段BG长度

的最小值.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析②2正

【分析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；

(2)①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；

②作DH14G交AG于点H,作1AG于点M,证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM

的最小值，可得结论.

【详解】(1)证明：•••四边形ABC。是正方形，

AD=DC,/.ADC=90°.

•••DE=DF,乙EDF=90°.

:.Z-ADC=乙EDF,

••・2ADE=乙CDF,

在△ADE和△CDF中，

DA=DC

ZADE=乙CDF

.DE=DF

.­.△/1DF^ACDF(SAS)；

(2)①证明：如图2中，设4G与CD相交于点P.

图2

•••Z.ADP=90°,

Z.DAP+Z.DPA=90°.

ADE^h.CDF,

:./-DAE=Z-DCF.

vZ.DPA=乙GPC,

・•・Z-DAE+/-DPA=乙GPC+乙GCP=90°.

・・・乙PGN=90°,

・・・BM1AG,BN1GN,

二四边形BMGN是矩形，

・・・乙MBN=90°.

•・•四边形4BCD是正方形，

・•・AB=BC,^ABC=(MBN=90°.

AZ.ABM=乙CBN.

又•・•乙4MB=乙BNC=90°,

CNB.

・•・MB=NB.

・•.矩形BMGN是正方形；

②解：作DH1AG交AG于点H,作BMJ.4G于点M,

•：Z-DHA=Z.AMB=90°tZ.ADH=90°-Z,DAH=^BAMfAD=AB

：.LAMB^LDHA.

・・・BM=AH.

222

-AH=AD-DHfAD=4,

最大时，力H最小，DH最大值=CE=2.

,1•8M最小值=4"最小值=2V3.

由(2)①可知，△BGM是等腰直角三角形，

•••8G最小值=&BM=2A/6.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直

角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属

于中考压轴题.

2.(2022•江苏南通•中考真题)如图，矩形ABC。中，48=4/0=3,点£在折线8co上

运动，将4E绕点“顺时针旋转得到4F,旋转角等于NB4C,连接CF.

(备用图)

(1)当点E在BC上时，作FMJ.AC,垂足为求证AM=4B；

(2)当月E=3夜时，求CF的长；

(3)连接。尸，点£从点8运动到点。的过程中，试探究OF的最小值.

【答案】(1)见详解

(2)V3BEVT3

(3)f

【分析】(1)证明AABE即可得证.

(2)分情况讨论，当点E在BC上时，借助△4BEWA4MF,在RtACMF中求解；当点E

在上时，过点£作EGL/8于点G,FHLAC于点H,借助△AGE会△力HF并利用勾股

定理求解即可.

(3)分别讨论当点E在8c和C。上时，点尸所在位置不同，。厂的最小值也不同，综合比

较取最小即可.

(1)

如图所示，

由题意可知，Z.AMF=48=90。，ABAC=AEAF,

Z.BAE=Z.MAF,

由旋转性质知：AE=AF,

在△ABE和△AM尸中，

乙B=Z-AMF

{/.BAE=乙MAF,

AE=AF

△ABE=△AMF»

.-.AM=AB.

(2)

当点E在8c上时，

在RM48E中，AB=4,AE=3V2,

则BE=\/AE2-AB2=V2,

在RtzMBC中，AB=4,BC=3,

贝l]AC=>JAB2+BC2=5,

由(I)可得，MF=BE=V2,

在/?£△(?”尸中，MF=迎,CM=AC-AM=5-4=1,

则CF=VMF2+CM2=73,

当点£在CD上时，如图，

过点E作EGLAB于点G,FHLAC于点H,

同(1)可得△4GE4HF,

FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2,

由勾股定理得CF=V32+22=V13；

故CF的长为g或g.

(3)

如图1所示，当点E在8c边上时，过点。作DHJ.FM于点H,

由(1)知，=90。，

故点厂在射线叱上运动，且点尸与点〃重合时，的值最小.

在ACMJ与ACDA中，

乙CMJ=LADC

{Z.MC]="CD'

・•・Rt△CMJ〜Rt△CDA,

.CM_MJ_CJ

“7F一茄一就‘

即”="=幺，

435

=C]=\,

DJ=CD-CJ=^--4=—4,

在△CM/与中，

乙CMJ=Z.DHJ

{乙CJM=^DJH'

，Rt△CMJ〜Rt△DHJ,

.CM_cj

••—,

DHDJ

5

即言=%

4

CH=装，

故DF的最小值公；

如图2所示，当点E在线段8