工学拉普拉斯变换

补充1

状态方程状态变量：是电路的一组独立的动态变量。和就是电路的状态变量。对状态变量列出的一阶微分方程称为状态方程。usRLC+-uCil1.如果以和作为变量列上述方程usRLC+-uCil2.如果用矩阵形式列写方程，那么状态向量X输入向量vAB3.为n阶列向量，A为结论：一个电感的回路列写KVL方程即可。2要列出包括项的方程，必须对只包含3要列出包括项的方程，必须对只接有一个电容的结点或割集写出KCL方程即可。若某电路具有n个状态变量，m个独立电源，上述V为m阶列向量,B为方阵，1。4.例：如图，i2对单电容树支列KCL2L1iS-R2us+uC+-L2i1R11对单电感连支列KVL5.6.补充2

拉普拉斯变换及其应用2-1拉普拉斯变换的定义2-2拉普拉斯变换的根本性质2-3拉普拉斯反变换的局部分式展开2-4运算电路2-5应用拉普拉斯变换分析线性电路7.内容提要重点介绍拉普拉斯变换在线性电路分析中的应用。主要内容有：拉普拉斯变换与电路分析有关的根本性质,求拉普拉斯反变换的局部分式法(分解定理),KCL和KVL定律、运算阻抗、运算导纳的运算形式和运算电路,并通过实例说明它们在电路分析中的作用。8.2.1拉普拉斯变换的定义一、拉氏变换的定义时域f(t)称为原函数复频域F(s)称为象函数1.双边拉氏变换复频率f(t)与F(s)一一对应9.积分下限从0

开始，称为0

拉氏变换。积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。f(t)=

(t)时此项02.单边拉氏变换10.F(s)称为f(t)的象函数，用大写字母表示，如I(s)、U(s)。f(t)为原函数，用小写字母表示，如i(t),u(t)。二、常用函数的拉氏变换11.=112.13.例：求以下函数的象函数。〔1〕单位阶跃函数；〔2〕单位冲激函数；〔3〕指数函数。解：（1）单位阶跃函数的象函数为（2）单位冲激函数的象函数为14.〔3〕指数函数的象函数为此题求的象函数的结论均可当作公式来用。切记15.2.2拉普拉斯变换的性质一、线性性质16.二、微分〔导数〕性质17.三、积分性质18.与书上略有不同。f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0四、延迟性质要理解19.例1：1Ttf(t)20.五、复频域平移性质P294：要熟记表13-1。21.2.3拉普拉斯反变换的局部分式展开法一、由象函数求原函数(1)利用公式(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表f(t)=L-1[F(s)]太繁有限(3)将F(s)进行局部分式展开以下重点介绍22.典型信号的拉氏变换〔1〕23.典型信号的拉氏变换〔2〕24.象函数的一般形式：二、将F(s)进行局部分式展开把F(s)分解为假设干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中查到，这种方法称为局部分式展开法，或称分解定理。用局部分式展开F(s)时，需要把有理式化为真分式。假设n>m时，F(s)为真分式。假设n=m时，那么反变换为A0δ〔t〕25.用局部分式展开真分式时，需要对分母多项式进行分解，求出D〔s〕=0时的根。D〔s〕=0的根可以是单根、共轭根和重根几种情况。26.ki也可用分解定理求罗比塔法则27.例28.例用分解定理求原函数例变为真函数29.k1,k2也是一对共轭复根欧拉公式30.例31.32.例例33.34.一般地：35.2.4运算电路相量形式KCL、KVL元件复阻抗、复导纳相量形式电路模型类似地元件运算阻抗、运算导纳运算形式KCL、KVL运算形式电路模型36.一、电路元件的运算形式R：u=Ri+u-iR+U(s)

-I(s)R37.L:iL+

uL

-L+

-sLUL(s)IL(s)sL+-UL(s)IL(s)38.C:

1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)+uC-iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+39.*M:ML1L2i1i2+u1-+u2-L1i1(0-)Mi2(0-)Mi1(0-)L2i2(0-)+U2(s)-+U1(s)-I1(s)I2(s)sL1sL2+-sM+_++__40.受控源：(s)+-U+1(s)-

RI1(s)U2U1(s)+u1-+u2-Ri1

u141.二、电路定律的运算形式+u-iRLC42.运算阻抗运算形式欧姆定律+U(s)-I(s)RsL1/sC运算导纳43.三、运算电路模型运算电路2.元件用运算阻抗或运算导纳1.电压、电流用象函数形式3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示RRLLCi1i2E(t)+-RRLsL1/sCI

1(s)E/sI

2(s)+-时域电路44.时域电路例5Ω2F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+

-iLt=0时打开开关uC(0-)=25ViL(0-)=5At>0运算电路200.5s-++-1/2s25/s2.55IL(s)UC(s)45.求得：46.2.5应用拉普拉斯变换分析线性电路步骤：1.由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)。2.画运算电路模型3.应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。t=0时闭合k,求iL，uL。例1:200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiL+-uL47.(2)画运算电路200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiL+-uL48.200/s300.1s0.5101000/s100/sIL(s)I2(s)49.(4)反变换求原函数50.求UL(s)UL(S)200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)51.例2+-UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V2Ω3Ωt=0时翻开开关k,求电流i及电感的电压解：52.10/s20.3s1.530.1sI1(s)ti523.750显然：53.UL1(s)10/s20.3s1.530.1sI1(s)UL2(s)54.uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL2t-2.19ti1523.75055.小结：1.运算法直接求得全响应3.运算法分析动态电路的步骤：2.用0-初始条件，跳变情况自动包含在响应中1)由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)。2)

画运算电路图。3)

应用电路分析方法求象函数。4)

反变换求原函数。56.补充3网络函数3-1网络函数的定义3-2网络函数的极点和零点3-3极点、零点与冲击响应3-4极点、零点与频率响应57.内容提要

重点介绍网络函数及其在电路分析中的应用，网络函数极点和零点的概念，并讨论极点和零点分布对时域响应和频率特性的影响等。58.3.1网络函数的定义电路在单一的独立鼓励下，其零状态响应r(t)的象函数R〔S〕与鼓励e(t)的象函数E〔S〕之比定义为该电路的网络函数H〔S〕单个独立源作用的线性网络零状态e(t)r(t)E(s)R(s)假设E〔S〕=1，那么H〔S〕=R〔S〕,即h(t)=r(t)网络函数的原函数h(t)是电路的冲激响应。测定对象的冲激响应便可直接得到其控制模型〔网络函数〕一、网络函数的定义59.二、单位冲激响应、单位阶跃响应与网络函数的关系零状态

(t)h(t)e(t)r(t)假设h(t)，那么任意鼓励e(t)产生的响应r(t)：60.RC+_+_uS例：uCR1/sC+_+_Us(s)UC(s)网络函数是实系数的有理函数。网络函数是由网络的结构和参数决定，与鼓励无关。61.1.驱动点函数驱动点阻抗驱动点导纳2.转移函数(传递函数)转移导纳转移阻抗转移电压比转移电流比U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)U(s)I(s)三、网络函数的具体形式62.例：求冲激响应h(t),即uc(t)RC+uc

is该网络函数是驱动点阻抗：63.3.2网络函数的零、极点〔一〕复频率平面极点用“〞表示，零点用“。〞表示。

j

。64.。2

-3二、实例绘出其极零点图.

j

j-j0例：65.极点分布与冲激响应极点位置不同，响应性质不同。3.3零、极点与冲击响应66.

j

极点的位置决定冲激响应的波形极点和零点共同决定冲激响应的的幅值

67.3.根据网络函数的极点分布情况分析响应的变化规律。1.网络函数极点的位置决定了系统的稳定性。2.全部极点在左半平面系统是稳定的，只要有一个极点在右半平面系统不稳定，极点在虚轴上是临界稳定。由上述分析可知：RLC串联电路，根据网络函数例的极点分布情况分析uc(t)的变化规律+us-RLCuc+-t=068.解：+_CuCLR+_USt=069.

（1）当时，一对共轭复根振荡角频率谐振频率阻尼振荡70.（3）当时，两