电磁场全套课件

恒定磁场概述安培力定律·磁感应强度磁通连续性定理·安培环路定律磁偶极子磁媒质中的磁场·磁场强度恒定磁场的基本方程·分界面上的边界条件标量磁位矢量磁位镜像法电感磁场能量磁场力1

实验表明,导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有恒定电场，同时还有不随时间变化的磁场，简称恒定磁场（StaticMagneticField）。

恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。概述2磁感应强度（

）（毕奥—沙伐定律）

的旋度

的散度基本方程磁位()（

=0）分界面上衔接条件磁矢位（

）边值问题数值法解析法分离变量法镜像法有限元法有限差分法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算图3.0恒定磁场知识结构框图基本实验定律(安培力定律）33-1安培力定律·磁感应强度安培力定律1820年,法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律,称为安培力定律(Ampere’sforceLaw)。式中真空中的磁导率H/m图3.1.1

两载流回路间的相互作用力

电流

的回路对电流回路的作用力4毕奥-沙伐定律•磁感应强度

电流之间相互作用力通过磁场传递。

电荷之间相互作用力通过电场传递。定义：磁感应强度单位T（wb/m2）特斯拉。式中写成一般表达式毕奥-沙伐定律52）由毕奥-沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程(

的散度与旋度）。3）对于体分布或面分布的电流,可写成1）适用条件;无限大均匀媒质,且电流分布在有限区域内。6图3.1.2长直导线的磁场例3.1.1试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。式中，解:采用圆柱坐标系，取电流，则当时，7例3.1.2真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。

图3.1.4圆形载流回路轴线上的磁场分布根据圆环磁场对P

点的对称性，图3.1.3圆形载流回路解：元电流

在其轴线上P点产生的磁感应强度为

8

由于是无限大电流平面，所以选P点在y轴上。根据对称性,整个面电流所产生的磁感应强度为

例3.1.3图示一无限大导体平面上有恒定面电流,求其所产生的磁感应强度。解：在电流片上取宽度为

的一条无限长线电流，它在空间引起的磁感应强度为图3.1.5无限大电流片及

的分布93-2磁通连续性定理·安培环路定理磁通连续性定理两边取散度矢量恒等式则所以可以作为判断一个矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。

表明

是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立）10

这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零，称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律在直角坐标系中散度定理图3.2.1磁通连续性原理

若要计算

穿过一个非闭合面S

的磁通，则

仿照静电场的线，恒定磁场可以用线描绘，

线的微分方程图3.2.2

的通量11图3.2.3一载流导线I

位于无限大铁板上方的磁场分布（

线）图3.2.5一载流导线I位于无限大铁板内的磁场分布（

线）

线的性质：•闭合的

线与交链的电流成右手螺旋关系；•线不能相交(除

=0

外)；•

线是闭合的曲线;•强处，

线稠密，反之，稀疏。图3.2.4长直螺线管磁场的分布（

线）12安培环路定律（真空）以长直导线的磁场为例（1）安培环路与磁力线重合（2）安培环路与磁力线不重合图3.2.6证明安培环路定律用图13（3）安培环路不交链电流（4）安培环路与若干根电流交链该结论适用于其它任何带电体情况。强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。图3.2.7证明安培环路定律用图14例3.2.1试求无限大截流导板产生的磁感应强度解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋）根据对称性解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，

例3.2.2试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。图3.2.9同轴电缆截面取安培环路交链的部分电流为图3.2.8无限大截流导板应用安培环路定律,得15应用安培环路定律，得

图3.2.10同轴电缆的磁场分布

对于具有某些对称性的磁场，可以方便地应用安培环路定律得到的解析表达式。163-3磁偶极子磁偶极子图3.3.1磁偶极子

磁偶极子，如右图，是一个很小的面积为ds的载流回路。磁场中任意一点到回路中心的距离都远大于回路的线性尺度。所以磁偶极子所在范围外磁场可以认为是均匀的。磁偶极子的性质通过它的磁偶极矩表示磁偶极子周围的磁感应强度在外磁场中所受转矩磁偶极子的转动方向，总是力图使它自己的磁场与外磁场方向一致。图3.3.2磁偶极子受磁场力而转动173-4磁媒质中的磁场

媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。

媒质的磁化

物质分子内部束缚电荷的运动形成环形电流，每个环形电流可以看作一个磁偶极子。无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，

在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，转矩为,旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。图3.4.1媒质的磁化18A/m

用磁化强度表示磁化的程度，即

物质被磁化，可以看作产生了等效电流，定义为磁化电流。磁媒质的磁场可以等效为磁化电流建立的磁场。磁化电流与磁化强度之间的关系：结论：2、磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。1、有磁介质存在时，场中任一点的是自由电流和磁化电流共同作用在真空中产生的磁场。19磁偶极子与电偶极子对比模型

电量产生的电场与磁场电偶极子磁偶极子20一般形式的安培环路定律有磁介质时将代入上式，得移项后定义磁场强度则有

图3.4.2

与I成右螺旋关系21恒定磁场是有旋的图示中吗？它们的环量相等吗？图3.4.3H的分布与磁介质有关说明:•

的环量仅与环路交链的自由电流有关。

•环路上任一点的是由系统全部载流体产生的。

•电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否满足右手螺旋关系，是为正，否为负。22实验证明，在各向同性的线性磁介质中式中——磁化率，无量纲量，代入中式中——相对磁导率，无量纲，，单位H/m。

结构关系

与

的结构关系

物质根据其磁性质一般可分为顺磁性物质、抗磁性物质和铁磁性物质。顺磁性物质，抗磁性物质，铁磁性物质进入饱和状态之前有较高的磁导率，进入饱和状态后磁导率降低。23积分式对任意曲面S都成立，则恒定磁场是有旋的

的旋度243-5恒定磁场的基本方程•分界面上的衔接条件恒定磁场的基本方程媒质的性能方程

例3.5.1试判断能否表示为一个恒定磁场？F2不可能表示恒定磁场。（磁通连续原理）（安培环路定律）（无源）（有旋）恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡旋源F1可以表示为恒定磁场。解：25分界面上的衔接条件在媒质分界面上，包围P点作一小扁圆柱，在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路。令,根据可得令，则根据,可得1.的衔接条件的法向分量连续2.的衔接条件图3.5.2分界面上

的衔接条件

的切向分量连续当K=0

的切向分量不连续图3.5.1分界面上的衔接条件26分界面上的折射定律

当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流线密度，则折射定律例.3.5.1分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。解：图3.5.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射

它表明只要铁磁物质侧的

不与分界面平行，那么在空气侧的

可认为近似与分界面垂直。27

即A/mT解图3.5.4含有K的分界面衔接条件例3.5.2设x=0

平面是两种媒质的分界面。；,分界面上有面电流A/m，且A/m，试求，与的分布。283-6标量磁位标量磁位的提出恒定磁场无电流区域——标量磁位，简称磁位，单位：A（安培）。•磁位仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。磁位的特点：•的多值性•等磁位面（线）方程为常数，等磁位面（线）与磁场强度

线垂直。29则在恒定磁场中，设B

点为参考磁位，由安培环路定律，得图3.6.1

磁位与积分路径的关系推论多值性

为了克服多值性，规定积分路径不得穿过从电流回路为周界的S面（磁屏障面)。这样，就成为单值函数，两点之间的磁压与积分路径无关。30磁位的边值问题在直角坐标系中2.分界面上的衔接条件推导方法与静电场类似，由推导得（适用于无自由电流区域）1.微分方程313-7矢量磁位由磁矢位

的引出

称磁矢位(Magneticvectorpotential)，单位：wb/m（韦伯/米）。由上式定义的矢量磁位不是唯一的。库伦规范：使得

唯一确定。是否具有物理意义是一个仍在争论的问题。32(泊松方程)(拉普拉斯方程)

当

时1.微分方程及其特解库仑规范磁矢位的边值问题

在直角坐标系下，可以展开为33矢量合成后，得

面电流与线电流引起的磁矢位为

令无限远处

的量值为零（参考磁矢位），则各式的特解分别为

可见，每个电流元产生的磁矢位与此元电流，，具有相同的方向。34图3.7.1磁矢位分界面上的衔接条件a）围绕P点作一矩形回路，则当时,b）围绕P点作一扁圆柱，则当时，

2.分界面上的衔接条件35根据,有对于平行平面场，则可写成综合两个结论，有表明在媒质分界面上磁矢位是连续的。36例3.7.1应用磁矢位

，求空气中一长直载流细导线的磁场。解：图3.7.2长直载流细导线的磁场37例3.7.2应用磁矢位分析两线输电线的磁场。解：这是一个平行平面磁场。由上例计算结果,两导线在

P点的磁矢位图3.7.3圆截面双线输电线38图3.5.8恒定磁场与恒定电流场的比拟答：可以。下述两个场能进行磁电比拟吗？磁位、磁矢位

与电位的比较位函数比较内容引入位函数的依据位与场的关系微分方程位与源的关系电位磁位磁矢位（

）(有源或无源）(无源）(有源或无源）393-8镜像法联立求解，得由得由得解：根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定与。图3.8.1两种不同磁介质的镜像

与静电场镜像法类比，这里的原因何在？

例3.6.1图示一载流导体

I置于磁导率为的无限大导板上方

h

处，为求媒质1与媒质2中的

与

的分布，试确定镜像电流的大小与位置？403-9电感自感

在线性各向同性媒质中，L

仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与回路的电流无关。回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。即单位：H（亨利）磁链线圈或电流回路交链的磁通量的总和。41自感计算的一般步骤：图3.9.1内磁链与外磁链自感又分为内自感Li

和外自感L0——内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。——

外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。42互感式中，M21

为互感，单位：H（亨利）

在线性媒质中，回路1的电流产生与回路2相交链的磁链与成正比。同理，回路2对回路1的互感可表示为可以证明图3.9.2电流I1产生与回路2交链的磁链43

互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置有关。计算互感的一般步骤：44聂以曼公式1.求两导线回路的互感将式（1）代入式（2）得则两细导线回路间的互感设回路1通以电流I1，则空间任意点的磁矢位为穿过回路2的磁通为图3.9.3两个细导线电流回路应用磁矢位

计算互感与自感的一般公式。45若回路1、2分别由N1、N2

细线密绕，互感为2.用聂以曼公式计算回路的外自感电流I在上产生的磁矢位为与交链的磁通为

设回路中有电流I

，总磁通=外磁通+内磁通；计算外磁通时，可以认为电流是集中在导线的轴线上，而磁通则是穿过外表面轮廓所限定的面积。图3.9.4单回路的自感46外自感3.内自感设安培环路包围部分电流,则有图3.9.5同轴电缆内导体纵截面穿过宽度为,长度为的矩形面积的磁通为47总自感磁链中的匝数，可根据因此，有内自感

设导体的半径R

远小于导线回路的曲率半径，且认为电流均匀分布，则48例3.9.1设传输线的长度为,试求图示两线传输线的自感。设总自感为解：总自感内自感解法一图3.9.6两线传输线的自感计算49解法二设50例3.9.2试求图示长为的同轴电缆的自感L。图3.9.7同轴电缆截面1)内导体的内自感

2)内、外导体间的外自感总电感为513-10磁场能量

磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。•

媒质为线性；•

磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；•

系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。假设：有专家预测，21世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。恒定磁场中的能量磁场能量的推导过程：52推广自有能

互有能

•

是回路k独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。磁场能量的分布及磁能密度

磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整个空间中。

•

与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。•

对于单一回路53式中为导电媒质体积元所占体积，为导电媒质的总体积。由矢量恒等式

考虑到磁通可以用磁矢位

表示，则磁能

Wm可表示为利用的关系，54时，第一项为0上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。单位：J（焦耳）得磁能密度单位：55例3.10.1长度为,内外导体半径分别为

R1与

R2

的同轴电缆，通有电流

I

，试求电缆储存的磁场能量与自感。解：由安培环路定律，得磁能为自感图3.10.1同轴电缆截面563-11磁场力

磁场能量的宏观效应就是载流导体或运动的电荷在磁场中要受到力的作用。仿照静电场，磁场力的计算也有三种方法。1.安培力例3.11.1试求两块通有电流I的无限大平行导板间的相互作用力。图3.11.1两平行导板间的磁力解：由安培力定律，得A板产生的磁场57B板产生的磁场两板间的磁场A板受力582.虚位移法（Methodoffalsedisplacement)电源提供的能量=磁场能量的增量+磁场力所做的功•

常电流系统•

常磁链系统

表明外源提供的能量，一半用于增加磁场能量，另一半提供磁场力作功，即

假设系统中

n个载流回路分别通有电流I1，I2，……In，仿照静电场,当回路仅有一个广义坐标发生位移，该系统中发生的功能过程是

由于各回路磁链保持不变，故各回路没有感应电动势，电源不提供（增加的）能量，即，所以，只有减少磁能来提供磁场力作功，故有由此得广义力由此得广义力59

•

在实际问题中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相对位置为广义坐标，利用上式即可得到相应的广义力。解：系统的相互作用能为本例的结果完全适用于磁偶极子，也是电磁式仪表的工作原理。式中m=IS

为载流回路的磁偶极矩；用矢量表示为图3.11.2外磁场中的电流回路

•

两种假设结果相同，即

例3.11.2试求图示载流平面线圈在均匀磁场中受到的转距。设线圈中的电流I1，线圈的面积为S，其法线方向与外磁场B

的夹角为。选为广义坐标，对应的广义力是转距，即

表示广义力（转矩）企图使广义坐标减小，使该回路包围尽可能多的磁通。606-1动态场的基本方程组与广义波动方程时变电磁场的基本方程组就是动态电磁场的基本方程组。

将麦克斯韦方程组中四个场量消去三个，可获得剩余一个场量满足的方程，综合起来称为广义波动方程.赫姆霍兹方程正弦时变电磁场6-2坡印亭定理和坡印亭矢量•电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理；•坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印亭定理在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为取体积分，得

物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度,

的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。恒定场中的坡印亭定理注：磁铁与静电荷产生的磁、电场不构成能量的流动。坡印亭定理坡印亭矢量

定义坡印亭矢量（PoyntingVector）W/m2

例6.1用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。解：理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。电场强度•

穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。•

电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。这表明：单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为磁场强度坡印亭矢量图6.1同轴电缆中的电磁能流以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。例6.2导线半径为a，长为，电导率为，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。电场强度磁场强度电源提供的能量一部分用于导线损耗另一部分传递给负载导体内解：思路：图6.2计算导线损耗的量图6.3导体有电阻时同轴电缆中的E、H与S6-3动态位及其积分解动态位及其微分方程仍从电磁场基本方程组出发,经整理后，得称为动态位（potentialofKineticState）。由由（2）（1）洛仑兹条件（规范）定义

的散度2)若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程•

洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。1）洛仑兹条件（LuolunciCondition)的重要意义这是非齐次波动方程达朗贝尔方程(DalangbaierEguation)洛仑兹条件•

确定了的值，与共同唯一确定

；•

简化了动态位与场源之间的关系，使得

单独由

决定，

单独由r决定，给解题带来了方便；6-4达朗贝尔方程的积分解

以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。1）通解的物理意义：f1在时间内经过距离后不变,说明它是以有限速度v

向r

方向传播，称之为入射波。式中具有速度的量纲，f1，f2

是具有二阶连续偏导数的任意函数。（除q点外）有图6.4的物理意义由此推论，时变点电荷的动态标量位为可以证明：该解满足齐次波动方程。在无限大均匀媒质中没有反射波，即f2=0。它表明：f2

在时间内,以速度v向(-r)方向前进了距离,故称之为反射波。2）解的表达式连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得无反射图6.5波的入射、反射与透射

当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为，其特解为基本物理量

欧姆定律J

的散度E

的旋度基本方程

电位

边界条件边值问题一般解法特殊解（静电比拟）电导与接地电阻恒定电场的知识结构框图基本概念：

•电介质中的静电场

•通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场

•通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场J

的散度基本方程J

的散度E

的旋度基本方程J

的散度

电位E

的旋度基本方程J

的散度边值问题

电位E

的旋度基本方程J

的散度

边界条件边值问题

电位E

的旋度基本方程J

的散度J

的散度

边界条件J

的散度一般解法

边界条件J

的散度电导与接地电阻一般解法

边界条件J

的散度边值问题电导与接地电阻一般解法

边界条件J

的散度基本方程边值问题电导与接地电阻一般解法

边界条件J

的散度E

的旋度基本方程边值问题电导与接地电阻一般解法

边界条件J

的散度

电位E

的旋度基本方程边值问题电导与接地电阻一般解法

边界条件J

的散度特殊解（静电比拟）

电位E

的旋度基本方程边值问题电导与接地电阻一般解法

边界条件J

的散度特殊解（静电比拟）

电位

的旋度基本方程边值问题电导与接地电阻一般解法

边界条件

的散度702-1导电媒质中的电流电流：电荷在导电媒质或不导电空间中有规则的运动形成电流。传导电流运流电流恒定电场：不随时间变化的电流称为恒定电流，维持恒定电流的电场是恒定电场。电流强度：dt时间内穿过面积S的电荷量为dq，则电流强度为：电流流动的方向规定为正电荷运动的方向。71电流密度：描述电流在空间分布的状态，矢量。图2.1.1电流面密度矢量图2.1.2电流面密度（1）电流面密度体电流的面密度

由电流密度描述的电流分布在空间区域中形成的矢量场称为电流场。电流面密度与电荷体密度的关系：

电流密度的大小等于观察点处垂直于单位面积上所通过的电流，电流密度的方向为该点正电荷运动的方向。72图2.1.3电流线密度及其通量(2)电流线密度面电荷在曲面上以某一速度运动形成的电流。面电流的线密度电流线密度与电荷面密度的关系：是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量

•

同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；

•

交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分布，可用电流线密度表示。

•

媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流线密度表示；工程意义：73(3)线电流线电荷沿着导线以速度运动形成电流。元电流是指沿电流方向上一个微分段上的电流，即。元电流欧姆定律的微分形式图2.1.4与

之关系欧姆定律的微分形式。式中为电导率，单位s/m（西门子/米）电场是维持恒定电流的必要条件。可以证明74

•

电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即

U=RI

•

恒定电流场与恒定电场相互依存。电流与电场方向一致。752-2恒定电场的基本方程电流的连续性方程：（积分形式）（微分形式）恒定电场：76的基本方程：

要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。电源图2.2.1恒定电流的形成电源电动势与局外场强：设局外场强为，则电源电动势为电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。77因此

考虑局外场强图2.2.2电源电动势与局外场强局外场是非保守场。恒定电场是无旋场。

所取积分路径不经过电源，则

斯托克斯定理得78•

恒定电场是无源无旋场。恒定电场（电源外）的基本方程电源外恒定电场中定义电位函数：线性、均匀、各向同性的媒质中不均匀的媒质中79例2.2.1无限大导电媒质中有恒定电流流过。已知导电媒质中的电场强度为，电导率和介电常数。求媒质中的电荷体密度。解：例2.2.1无限大导电媒质中有恒定电流流过。已知导电媒质中的电场强度为，电导率和介电常数。求媒质中的电荷体密度。802-3分界面上的边界条件

当分界面上不存在局外电场时，用类似静电场的方法，可得出恒定电场中两种不同导电媒质分界面上的边界条件。分界面上的衔接条件：图2.3.1电流线的折射

说明分界面上电场强度的切向分量是连续的，电流密度法向分量是连续的。折射定律为81电位在媒质分界面上的边界条件：两种特殊情况分界面上的电场分布：1、导体与理想介质的分界面

媒质1是导体，媒质2是理想介质图2.3.2导体与理想介质分界面

表明（1）导体表面是一条电流线。

表明（2）导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡下的）面电荷分布。

82

表明（3）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。

若（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。导体周围介质中的电场图2.3.3载流导体表面的电场832、良导体和不良导体的分界面媒质1是良导体，媒质2是不良导体,由折射定理得，则

它表明，只要，电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面。84恒定电场的边值问题分界面衔接条件

很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。拉普拉斯方程得常数由基本方程出发恒定电场中是否存在泊松方程？852-4导电媒质中静电场与恒定电场的比拟1、静电比拟表1两种场所满足的基本方程和重要关系式

导电媒质中恒定电场（电源外）静电场表2两种场对应物理量静电场导电媒质中恒定电场（电源外）I

两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。86

•

两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;•

相应电极的电压相同;2、静电比拟的条件

•

若两种场中媒质分片均匀，只要分界面具有相似的几何形状，且满足条件时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。3、静电比拟的应用1.静电场便于计算——

用静电比拟方法计算恒定电场若为土壤为空气则。图2.4.1场的镜像法静电场与恒定电流比拟静电场872.恒定电场便于实验—某些静电场问题可用恒定电流场实验模拟固体模拟（媒质为固体，如平行板静电场造型）实验模拟方法液体模拟（媒质为液体，如电解槽模拟）静电场——电极表面近似为等位面；工程上的实验模拟装置。工程近似在两种场的模拟实验中，工程上往往采用近拟的边界条件处理方法恒定电流场——电极表面近似为等位面（条件）。电极媒质图2.4.2静电场平行板造型

图示恒定电流场对应什么样的静电场？比拟条件？88电导的计算1、直接用电流场计算

当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容计算电导。2-5电导与接地电阻2、静电比拟法设设即891.深埋球形接地器

解：深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域的孤立圆球的电流场相似。接地电阻图2.5.1深埋球形接地器

接地电阻

安全接地与工作接地的概念接地器电阻接地器与土壤之间的接触电阻土壤电阻（接地电阻以此电阻为主）解法一直接用电流场的计算方法解法二静电比拟法90概述静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。

静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。基本实验定律（库仑定律）基本方程微分方程边值问题唯一性定理分界面衔接条件电位（

）边界条件数值法有限差分法解析法直接积分法分离变量法镜像法，电轴法静电参数(电容及部分电容)静电能量与力图1.1静电场知识结构图基本物理量（电场强度）

的散度

的旋度1-1电场强度·电位试体：电场的表现是对引入其中的静止电荷有力的作用，所以电场的性质可以通过另一个带电体在场中各点的受力情况来描述，这个带电体，我们称之为试体。试体一般是一个带电量很少的点电荷。库仑定律：库仑定律是静电现象的基本实验定律。实验表明：真空中两个静止点电荷和之间的相互作用力N(牛顿)N(牛顿)图1.1.1两点电荷间的作用力适用条件

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况(式中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)

库仑定律描述点电荷之间作用力，给出了对应的数学表达式，它是一切静电场问题分析的出发点。我们将从库仑定律出发，采用严格的数学分析研究静电场的各种性质（散度、旋度性质）。电场强度：定义：

V/m(N/C)

电场强度（ElectricFieldIntensity)表示单位正电荷在电场中所受到的力(

),它是空间坐标的矢量函数,定义式给出了

的大小、方向与单位。点电荷：点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看成是一个体积很小，电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。通常用冲击函数表示点电荷的密度分布：点电荷的密度点电荷产生的电场强度V/mV/m图1.1.2点电荷的电场n个点电荷产生的电场强度(注意:矢量叠加)

连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布图1.1.3体电荷的电场面电荷分布线电荷分布例1.1.1真空中有长为L的均匀带电直导线，电荷线密度为，试求P点的电场。解:采用直角坐标系，令y轴经过场点p，导线与x轴重合。图1.1.4带电长直导线的电场点电荷矢量恒等式直接微分得故电场强度

的旋度等于零静电场旋度：

可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。

静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即静电场的环路定律：

在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。

电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。由斯托克斯定理，得

二者等价。电位函数:

在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷电位的引出（以点电荷为例）根据矢量恒等式

与的微分关系

在静电场中，任意一点的电场强度

的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：

与的积分关系设为参考点图1.2.3

与的积分关系电位参考点的选择原则

场中任意两点的电位差与参考点无关。

同一个物理问题，只能选取一个参考点。

选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：表达式无意义

电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；

电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。

电力线与等位线（面）

线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度的方向一致，若是电力线的长度元，

矢量将与方向一致，故电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线的方程。当取不同的C值时，可得到不同的等位线（面）。

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:电力线与等位线（面）的性质：

线不能相交;

线起始于正电荷，终止于负电荷;

线愈密处，场强愈大;

线与等位线（面）正交；图1.2.5点电荷与接地导体的电场图1.2.4点电荷与不接地导体的电场1-2高斯定律媒质在电场中的分类：导体：有自由电荷，电场存在时，自由电荷受电场力的作用沿着反电场的方向运动。电介质：有束缚电荷，电场存在时，束缚电荷受电场力的作用在分子范围内有微小的移动。静电场中导体的性质：1、导体内电场强度处处为零；2、导体为等位体；3、导体表面是等位面，导体表面上任一点电场强度的方向与导体表面垂直；4、导体所带电荷只能分布在其表面。静电场中电介质的性质：电介质的分子可分成两大类:极性分子和非极性分子。电介质的极化：电子极化：组成原子的电子云在电场作用下相对于原子核发生位移而出现电矩。离子极化：分子中的正负离子在电场作用下发生位移而出现电矩。取向极化：分子具有固有电矩，在外电场作用下，向电场方向转动产生合成电矩。

电介质的极化使束缚电荷的分布发生变化，从而在电介质的内部或表面形成极化电荷。

极化电荷和自由电荷一样都是产生电场的源。用极化强度表示电介质的极化程度式中为体积元内电偶极矩的矢量和，

的方向从负极化电荷指向正极化电荷。在各向同性、线性、均匀介质中均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。

各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；

线性：媒质的参数不随电场的值而变化；

一个电偶极子产生的电位：式中

极化强度

是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：矢量恒等式：散度定理

令极化电荷体密度极化电荷面密度

在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度

根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和

有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为

这就是电介质极化后，由面极化电荷和体极化电荷共同作用在真空中产生的电位。高斯定律立体角：根据立体角的定义，闭合面对某一点o所张的立体角有两种情况：（1）o点在闭合面内时，闭合面对0点所张的立体角为。（2）o点在闭合面外时，闭合面对0点所张的立体角为0。当真空中有一个点电荷时由任意形状的闭合面S穿出的电场强度通量为：（q在闭合面内）（q在闭合面外）当真空中有n个点电荷时，闭合面S包围的点电荷有k个，则推广到任意电荷分布：图1.2.1闭合曲面的电通量

的通量仅与闭合面S所包围的净电荷有关。图1.2.2闭合面外的电荷对场的影响S面上的

是由系统中全部电荷产生的。真空中高斯定律的微分形式其物理意义表示为：

高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。例1.2.1真空中有一带电球体，半径为，电荷体密度为，求球内外的电场强度。解：根据带电体的特点，电场分布具有球对称性。以带电球体的球心为球心，为半径做一球面，则该面上的电场强度大小不变，方向沿方向应用高斯通量定理电介质中的高斯通量定理：在有电介质的电场中任选一个闭合面S(S不包含介质的表面），如右图。S面上的通量为：因为S面上不包含介质分界面，所以S面上没有极化面电荷。图1.6.1静电场中任意闭合面上的电位移通量等于该面内自由电荷的代数和。电介质中高斯定理的积分形式

的通量与介质无关，但不能认为

的分布与介质无关。电介质中高斯定理的微分形式：其中——相对介电常数；——介电常数，单位（F/m）

在各向同性介质中

线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。

若电介质是线性、均匀、各向同性的，则为常数。导体表面的电位移与电荷面密度之间的关系：图示平行板电容器中放入一块介质后，其D

线、E线和P线的分布。思考：电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？线线线图1.6.2•

线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；•

线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；•

线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。1-3静电场的基本方程

分界面上的衔接条件静电场的基本方程

静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,

例1.3.1已知试判断它能否表示个静电场？对应静电场的基本方程

，矢量可以表示一个静电场。

分界面两侧的

的法向分量不连续。当时，

的法向分量连续。

以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（）。分界面上的边界条件：则有

根据图1.3.1在电介质分界面上应用高斯定律1、电位移矢量

的边界条件根据则有图1.3.2在电介质分界面上应用环路定律

以点P作为观察点，作一小矩形回路（）。2、电场强度

的边界条件分界面两侧

的切向分量连续。

当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：图1.3.3导体与电介质分界面

表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点就等于该点的自由电荷密度。折射定律图1.3.4分界面上

线的折射在交界面上不存在时，、

满足折射定律。因此表明:在介质分界面上，电位是连续的。3、用电位函数表示分界面上的衔接条件

设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，,则表明:一般情况下,电位的导数是不连续的。图1.3.5电位的衔接条件1-4静电场边值问题·唯一性定理泊松方程和拉普拉斯方程以静电场的基本方程为出发点来推导均匀媒质中的微分方程：——泊松方程——拉普拉斯方程——拉普拉斯算子

泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。边界条件积分，得通解

例1.4.1设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中,电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图1.4.1体电荷分布的球形域电场

解得电场强度（球坐标梯度公式）：*对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由得到电场强度的分布。电位：唯一性定理：

在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。证明：（采用反证法）唯一性定理的重要意义：

可判断静电场问题的解的正确性：

唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。1-8电容和部分电容

电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。0电容的计算思路：工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。电容定义：单位：

例1.8.1试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为,则同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）图1.8.1球形电容器

•

静电独立系统——

线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统中的其余带电体，与外界无任何联系，即多导体系统、部分电容1.已知导体的电荷，求电位和电位系数•

线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；•

部分电容概念以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为图1.8.2三导体静电独立系统

以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；——

自有电位系数，表明导体上电荷对导体电位的贡献；——互有电位系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献；——写成矩阵形式为（非独立方程）注：

的值可以通过给定各导体电荷,计算各导体的电位而得。2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数——静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——自有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——互有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献。

通常，的值可以通过给定各导体的电位，测量各导体的电荷而得。

3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式）式中：C——部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（自有部分电容）。部分电容性质:•

所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的值有关；•

互有部分电容

，即为对称阵；

•

(n+1)

个导体静电独立系统中，共应有个部分电容；•

部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。1-9静电能量与力1.带电体系统中的静电能量

静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1)连续分布电荷系统的静电能量假设：

•

电荷系统中的介质是线性的；静电能量•

电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为、,在充电过程中，与的增长比例为m，。•

建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。

这个功转化为静电能量储存在电场中。

体电荷系统的静电能量t

时刻，场中P点的电位为若将电荷增量从无穷远处移至该点，外力作功t时刻电荷增量为电位为即

•

式中是元电荷所在处的电位，积分对源进行。

自有能是将许多元电荷“压紧”构成q所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。自有能与互有能的概念•

•

是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位。•

点电荷的自有能为无穷大。自有能互有能2.静电能量的分布及能量密度V——扩大到无限空间，S——所有带电体表面。将式(2)代入式(1),得应用散度定理得矢量恒等式（焦耳）静电能量图1.9.1推导能量密度用图能量密度静电力2.虚位移法(VirtualDisplacementMethod)虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。

广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。二者关系：

广义坐标距离面积体积角度广义力机械力表面张力压强转矩（单位）（N）（N/m）（N/m2）

N•m广义力×广义坐标=功1.由电场强度

的定义求静电力，即常电荷系统（K打开）：

它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。

常电位系统（K合上）：外源提供能量的增量静电能量的增量

外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。

设(n+1)个导体组成的系统,只有P号导体发生位移，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为外源提供能量静电能量增量=+电场力所作功图1.9.2多导体系统•

上述两个公式所得结果是相等的•

两个公式所求得的广义力是代数量。还需根据“±”号判断其方向。例1、均匀带电圆盘，半径为a，电荷面密度为。试求边缘上任一点p的电位。解：在圆盘边缘上任选一点p，以p点为圆心，r为半径做一段宽为dr的圆弧带。圆弧带所带电量为该圆弧带在p点产生的电位为例1、均匀带电圆盘，半径为a，电荷面密度为。试求边缘上任一点p的电位。例2、无限大真空中，已知，求对应的电场及电荷分布。解：此球面内的总电荷为例3、在一个接地导体球外附近放一个电量为q的点电荷。已知球的半径为R，点电荷与球心的距离为d，求导体球表面上总的感应电荷。解：导体球为一个等位体，所以整个导体球的电位为零球心处的电位例4、同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体半径为b，两导体间区域中填充介电常数为的电介质。求单位长度电容。解：设内导体单位长度表面上带电荷，两导体间的电场沿径向分布，介质分界面上的边界条件在与内导体同轴的圆柱面上，取单位长度圆柱面，由高斯定理，有5-1电磁感应定律电磁感应定律

当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。引起磁通变化的原因分为三类：感生电动势，又称为变压器电势。•回路不变，磁场随时间变化图5.2感生电动势

负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化图5.1感生电动势的参考方向动生电动势，又称为发电机电势。•磁场随时间变化，回路切割磁力线

实验表明：感应电动势与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。•回路切割磁力线，磁场不变图5.3动生电动势感应电场（涡旋电场）

麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场。感应电动势与感应电场的关系为

感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场是产生的涡旋源。

若空间同时存在库仑电场,即则有变化的磁场产生电场在静止媒质中图5.4变化的磁场产生感应电场作闭合曲线l与导线交链，根据安培环路定律全电流定律图5.5交变电路用安培环路定律相同的线积分结果不同5-2

全电流定律

恒定场

时变场面积分，高斯定理面积分，高斯定理矢量恒等式矢量恒等式全电流定律

全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。麦克斯韦由此预言电磁波的。其中，——位移电流密度微分形式积分形式位移电流密度位移电流例5.1已知平板电容器的面积为S,相距为d,介质的介电常数，极板间电压为u(t)。试求位移电流iD；传导电流iC与iD

的关系是什么?电场图5.6传导电流与位移电流解：忽略极板的边缘效应和感应电场5-3电磁场基本方程组•

准静态场的分类和特点电磁场基本方程组

综上所述,电磁场基本方程组(Maxwell方程)为全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律

•

全电流定律——麦克斯韦第一方程,表明传导电流和变化的电场都能产生磁场；•

电磁感应定律——麦克斯韦第二方程,表明电荷和变化的磁场都能产生电场；•

磁通连续性原理——表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线；

•

高斯定律——表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。•

麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。•

静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。四个方程所反映的物理意义•

电准静态场——Electroquasitatic简写EQS

磁准静态场——Magnetoquasistatic简写MOS•

任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。

•

工程应用（电气设备及其运行、生物电磁场等）电准静态场准静态场（低频）时变电磁场磁准静态场具有静态电磁场的特点

动态场（高频）似稳场（忽略推迟效应）电磁波准静态场电准静态场特点：电场的有源无旋性与静电场相同，称为电准静态场（EQS）。用洛仑兹规范，得到动态位满足的微分方程低频时，忽略二次源的作用，即，电磁场基本方程为特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。磁准静态场低频时，忽略二次源的作用，即电磁场基本方程为

用库仑规范，得到动态位满足的微分方程准静态场的分类和特点

·EQS和MQS场中，同时存在着电场与磁场，两者相互依存。

·EQS场的电场与静电场满足相同的基本方程，在任一时刻t

，两种电场的分布一致，解题方法相同。EQS的磁场按计算。EQS与MQS的共性与个性

·

满足泊松方程，说明EQS和MQS忽略了滞后效应和波动性，属于似稳场。·MQS的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时刻t

，两种磁场的分布一致，解题方法相同。MQS的电场按计算。a）A的散度不同，A必不相同，

也不相同；

·

在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？b）（EQS）和（MQS），表明

不相同。

时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：分界面上的衔接条件电场：磁场：折射定律矢量分析一、矢量代数二、三种常用的正交坐标系三、标量场和矢量场四、标量场的梯度五、矢量场的通量和散度六、矢量场的环流和旋度七、亥姆霍兹定理1.标量和矢量矢量的代数表示：标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示。

矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

一、矢量代数矢量的大小或模：（1）矢量的加减法

两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。2.矢量的代数运算

逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。直角坐标系中两矢量的加减法矢量的加减符合交换律和结合律结合律交换律（2）标量乘矢量q矢量与的夹角（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律若，则（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。（5）计算规则标量积：矢量积：（6）三重积——

标量三重积——

矢量三重积定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行

六面体的体积。推论：三个非零矢量共面的条件二、三种常用的正交坐标系

在数学里，一个正交坐标系定义为一组正交坐标q=(q1,q2,q3,…,qn)，其坐标曲面都以直角相交。坐标曲面定义为坐标qi的等值曲面，或等值超曲面。例如，三维直角坐标(x,y,z)是一种正交坐标，它的x为常数，y为常数，z为常数的坐标曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标时常用来解析一些出现于量子力学、流体动力学、电动力学、热力学等等的偏微分方程。这主要是因为恰当的正交坐标能够与一个问题的对称性相配合，从而促使应用分离变量法来成功的解析关于这问题的方程式。分离变量法是一种数学技巧，专门用来将一个复杂的n维问题变为n个一维问题。

在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。1.直角坐标系

面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量

点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx

2.圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）径向距离ρ、方位角φ、高度z3.球坐标系坐标变量坐标单位矢量线元矢量体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系（半平面）（圆锥面）（球面）径向距离r、天顶角θ、方位角φ※位置矢量直角坐标系圆柱坐标系球坐标系位置矢量

从直角坐标得到圆柱坐标：从圆柱坐标得到直角坐标：从球坐标得到圆柱坐标：从圆柱坐标得到球坐标：4．直角、圆柱、球坐标变换从直角坐标得到球坐标：

从球坐标得到直角坐标：5.坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系xyzZ为常数平面y为常数平面x为常数平面(x,y,z)pφzxy