2022新高考地区模拟试题数列解析

2022新高考地区模拟试题精选（数列）解析

1.（2022.河北保定•一模）己知数列｛%-1｝是递增的等比数列，々=5且%+4=26.

⑴求数列｛叫的通项公式；⑵求数列卜的,｝的前n项和5,,.

【答案】（1）。“=2”+耳2电=（〃-1）2向+导畀2

【解析】⑴设数列也一1｝的公比为9,bn=a,-\,则见=勿+1.由g=5得4=4,由%+4=26得%+々=24,所

以4（q+d）=24,解得q=2或4=-3（舍去），所以久功©々=4x2"“=2".所以数列｛〃,,｝的通项公式为4=2"+1.

（2）由条件知=",2"+",设A”=1x2+2x22+3x2，+…+〃*2",贝I」

2A,=lx22+2x23+3x24+...+(n-l)x2"+nx2"+1,将以上两式相减得

23n+n+ln+,

-An=2+2+2+---+T-nx2'=2(2-\)-nx2"^(｝-n)2-2,所以4=(〃-1)2”"+2.设

+E/、“口n(\+n\/、…n2n

纥=1+2+3+…+鼠=-^^，贝i」S“=A,+纥=(〃-1)2"”+2+-^^=(〃-1)2向+耳+5+2.

2.(2022•广东肇庆二模)己知数列｛4｝满足4=g,2a„+I=a„+l.

⑴证明：数歹式%-1｝是等比数列；⑵求数列卜必｝的前〃项和7“.

【答案】⑴证明见解析⑵-4+空工

22"

167„,।—11、

【解析】⑴证明：由24M=4+1,得2。向一2=%-1,又4-1=一；，所以4-1H0,故」r=3,故｛见一1｝是

24,T2

以-;为首项，以3为公比的等比数列；

得。“=1一(£),所以%=〃-〃1)，设牌

（2）解：由⑴得为一1的前〃项和为4,则

^=lxl+2x^+-+n^j，①/=1x[3)+2x(』+一叶〃(£|，②

由①-②，得；R=则

2

2

八一/小，1Y-U.E.-cc/+〃cn+«—4+n+2

9,=2-("+2”5j,^.Tlt=l+2+3+---+n-P„=----P„=--------~^~

3.（2022・湖南岳阳•一模）数列｛可｝满足4=1,S向=4。,+3.

（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列｛q｝的通项公式.

【答案】（1）证明见解析⑵4=2"T（2〃—1）

【解析】(1)当〃=1时，［=析§2=%+%=4q+3,解得：“2=6,当丘N2时,由5向=4a“+3可知,Sn=4^+3,

a2a

两式作差可得：。向即a,,”-为“=2(4,-2a“T)，又4-24=4,所以/-2%_尸0,所以""=2.

所以数列｛。的-24｝是首项为4,公比为2的等比数列.

⑵由⑴知%-24=4X2"T=2"M,两边同除以2向，得蔚■-黑=1，又黑=；，所以数列是首项为g，公

乙乙乙乙[4J

差为1的等差数列，.•母=；+(〃-1)=与，整理得见=2[2〃-1),故数列｛%｝的通项公式为。,,=2[2〃-1).

4.(2022・湖南常德•一模)设各项非负的数列｛叫的前〃项和为5,,已知2S“=a3-"("eN*),且%,%，%成等比数

列.

⑴求｛%｝的通项公式；(2)若2=甯,数列电｝的前〃项和7；.

〃+2

【答案】⑴a“=〃T⑵1,=4一万h

【解析】⑴当”=1时，2«,=^-1,当〃22时，2S,,="；M-〃①，2S,I=d-(〃-l)②.①-②得2a”=确「d-l,

即<,=4+2a“+1=口+，•••a.20,a””=/+1,数列｛a,,｝从第2项起是公差为1的等差数列.二

«„=a2+n-2(n>2),又外,生，生成等比数列，，嫉=廿5，即(生+炉=生(％+3),解得4=1,二

a“=l+"-2="-l(〃22),•.,2q=a；-1,q=0,适合上式，二数列｛%｝的通项公式为a“="-l.

⑵”,=言，•,•数列｛，｝的前"项的和为(=提+,+捻+…+*』+券③，=/+*+摄+・-+今，+金®

③-④得17=l+l+-L+...+_J-----L_1(5)"=2J____".2〃+2,；.T=4-^^

。5讨2“2222"i2"~12"~223'2"-22""2"'1'

1---

2

5.(2022•广东茂名•二模)已知数列｛q｝的前“项和为黑，且q=2,S；+(a,用-2)S“+l=0(〃eN*).

⑴求证：数列,不■二|为等差数列；(2)求数列的前〃项和T”.

l\-lJQ“TJ

【答案】⑴证明见解析⑵7；=(〃-1)2”"+2(neN-)

【解析】⑴由①=2,0+(%“-2)S,+1=0(〃eN*)可得S,产1,由S；+(〃向-2)S“+1=0得

S：+("Sn-2)S“+l=0,所以S,向S“-2S,,+l=0,Bp(S„+1-l)(Sn-l)=S„-l-(S„+1-l),所以丁二一已句，

°n+l1I

717=>,所以数列[丁二]是公差为1,首项为1的等差数列.

12〃

⑵由(1)——=l+/z-l=n,得_^=〃.2",所以7>1.2+2-22+3・23+…+小2",

5,T

27；,=l-22+2-23+3-24+--+n-2n+l,两式相减得-7；=L2+(22+23+…+2")-〃-21=止三L“？"”，所以

1-2

Tn=-2向+2+〃.=("-1)2e+2(〃eN").

1.(2022•江苏・南京市宁海中学二模)数列｛%｝的前〃项和为5,,,4=1,a"+|=2S“+l.

(I)求％,S„;(2)设£=鸿一，数列他｝的前”项和为加证明：:，,(<<.

【答案】(1)«„=3"-',S„=—(2)证明见解析.

2;

【详解】(1)•.・a,川=2S“+l.•.4=2S,I+I(〃*2)①一②得：。,用=34,(〃22)令〃=1时，电=24+1=3=3q满足上

式«„+,=3%(〃>1)数列｛q｝是«,为首项，3为公比的等比数列.a„=acq"-'=3~

—3"-1V+l-1>M4.3"T_2f]_1)

⑵证明：由①得：“一，一t电=亍*「丁••也

(3n-l)(3,,+l-l)一3"+,-1)

/.T—h<+/?,+•••+/?”=-------1----------!-•••+------------：----=-

〃12"31288263〃-13/,+,-1)3

4-30111

又此为递增数列斫T—产，

7.（2022•辽宁抚顺•一模）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，又对任意的正整数八〃，都有殳二&=-2,且其=30.

n-m

（1）求数列｛6,｝的通项公式;

⑵设b*=2用,求数列他,｝的前〃项和却

【答案】⑴­⑵7；=｛次管））

r解析7(。设等差数列｛4｝的公差为d,因为纹口=-2,所以4+(〃T)(〃I)d=d=_2,又$5=30,

n-mn-m

5x4

BP56/.+—x(-2)=30,解得q=10所以4=12-2n

(1a.a2a„

(2)由(1)知〃〃=12-2n,令才=6-〃20,得〃W6当〃46时，为之。，从而<=2牙+25+…+2号=25+24+---+26-n

12/WL生丝_£1

66-n6-W>60?22222

=—L~——J=2-2=64-2"=1J'Tn=2+2+---+2+2+...+2

1--

2

=下+24+…+2°+?+…+2”6=63+^^p=61+2"-5,综上得毒=£一；二!〃’2

1-261+2"5(n>6)

8.（2022•江苏南京市、盐城市•二模）已知数列｛4｝,当"€[21,2«）时，。“=2*,丘N•.记数列｛4｝的前〃项和为

5„.

⑴求生，«20；（2）求使得s“<2022成立的正整数”的最大值.

【答案】⑴4=4,"32；⑵51.

【解析】⑴因当〃e[2i,2«）时，a„=2k,,而则的=22=4,又,则/=25=32,

所以4=4,a20=32.