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文档简介

数学多媒体课件3.1

不等关系与不等式2课时问题提出1.在数学中,表示等量关系的式子叫做等式,那么“不等式”的含义如何理解?表示不等关系的式子叫做不等式.

知识探究:比较实数大小的基本原理

思考1:实数可以比较大小,对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能?

a>b,a=b,a<b.思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点,那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何?

大数对应的点位于小数对应的点的右边

思考3:如果两个实数的差是正数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描述这个原理?a-b>0a>b思考4:如果两个实数的差等于零,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描述这个原理?a-b=0a=b思考5:如果两个实数的差是负数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描述这个原理?

思考6:考察下列三个不等式: |x|≥x;x2<0;sinx>0.这些不等式各有什么特点?如何通过数学概念加以区分?

a-b<0a<b绝对不等式,矛盾不等式,条件不等式.

a>ba-b>0a=ba-b=0a<ba-b<0由此可见,要比较两个数的大小,就只要比较它们的差与0的大小.实数的大小和运算性质之间的关系:1、比较两个数大小的方法:

作差比较法2、例题讲解例1、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。例2、已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小例3.比较a2+b2+3与2(a-b)的大小。

小结作差后常进行配方,以便于判断符号1、已知x>y且y≠0,比较x/y与1的大小。思考:2、已知a≠0,比较(a2+a+1)(a2-a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)的大小。1、作差比较法,其步骤是:作差、变形(分解因式、通分、配方等)、判断符号、作出结论。2、作商比较法,其步骤是:

作商、变形、判断商是大于还是小于1、作出结论。性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.

性质1表明,把不等式的左边和右边交换位置,所得不等式与原不等式异向,我们把这种性质称为不等式的对称性。性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.证明:根据两个正数之和仍为正数,得(a-b)+(b-c)>0a-c>0a>c.

这个性质也可以表示为c<b,b<a,则c<a.

这个性质是不等式的传递性。性质3:如果a>b,则a+c>b+c.证明:因为a>b,所以a-b>0,因此(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0,即a+c>b+c.

性质3表明,不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.a+b>ca+b+(-b)>c+(-b)a>c-b.由性质3可以得出推论:a+b>ca>c-b.(移项法则)性质5:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.证明:因为a>b,所以a+c>b+c,又因为c>d,所以b+c>b+d,根据不等式的传递性得a+c>b+d.

几个同向不等式的两边分别相加,所得的不等式与原不等式同向。性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;如果a>b,c<0,则ac<bc.性质6:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.证明:因为a>b,c>0,所以ac>bc,又因为c>d,b>0,所以bc>bd,根据不等式的传递性得ac>bd。

几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得的不等式与原不等式同向。性质7:如果a>b>0,则an>bn,(n∈N+,n>1).证明:因为个,根据性质4的推论1,得an>bn.性质8:如果a>b>0,则,(n∈N+,n>1).证明:用反证法,假定,即或,

根据性质4的推论2和根式性质,得a<b或a=b,这都与a>b矛盾,因此不等式的性质性质1:若a>b,那么b<a;若b<a,那么a>b.性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.性质3:如果a>b,则a+c>b+c.性质4:若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac<bc.推论5:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.性质6:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.性质7:如果a>b>0,则an>bn,(n∈N+,n>1).性质8:如果a>b>0,则,(n∈N+,n>1).例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:(1)已知a>b,ab>0,求证:;例题分析(2)已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d;(3)已知a>b>0,0<c<d,求证:例2.已知a>b,不等式:(1)a2>b2;(2);(3)成立的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3A例题分析例3.(1)如果30<x<36,2<y<6,求x-2y及的取值范围。18<x-2y<32,

例题分析(2)若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a-b)c2的取值范围。(-16,0)例4.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围。解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b,令m+4n=9,-(m+n

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