三角形中的三角函数

新化上梅中学授课教师：罗建学问题1：问题2：若A<B，有

sinA<sinB成立吗

?

在ΔABC中若A<B有sinA<sinB成立吗

?不对正确三角形中的三角函数问题是三角函数与解三角形的知识交汇点，是近几年高考命题的热点内容。拓展∵A<B∴a<b∴2RsinA<2RsinB∴sinA<sinB三角形中的三角函数高考复习1.判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一.三角形形状的判断依据：(1)等腰三角形:(2)直角三角形:(3)钝角三角形:a=b或A=Bb2+c2=a2或A=90°;a2>b2+c2,或90°<A<180°;(4)锐角三角形：若a为最大边，且满足

或A为最大角,且

2.在△ABC中常用的一些基本关系式(1)A+B+C=

;A

A-B(2)sin(B+C)=

,cos(B+C)=

，tan(B+C)=

;(3)sin=

;(4)cos=

;

πsinA-cosA-tanAa2<b2+c20°<A<90°.(0,π)(-π,π)3.正弦定理和余弦定理：正弦定理余弦定理4.三角形面积公式:SΔ考点题型一：利用边角关系判断三角形的形状

例1

在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC,试判断△ABC的形状.

例1在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试判△ABC的形状.解法一：∵（a+b+c)(b+c-a)=3bc∴(b+c)2-a2=3bc

即b2+c2-a2=bc且0°＜A＜180°∴A=60°B+C=120°

例1在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试判△ABC的形状.又由sin(B+C)=2sinBcosC得sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC∴sinBcosC-cosBsinC=0即sin(B-C)=0∵-180°＜B-C＜180°∴B-C=0°即B=C∴ΔABC为等边三角形

例1

在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试判△ABC的形状.解法二：由法一有A=60°∵sinA=2sinBcosC由正、余弦定理有：∴b2-c2=0即b=c∴ΔABC为等边三角形评注：三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.巩固练习：在ΔABC中，B=60°,b2=ac则这个三角形的形状为:

()A.不等边三角形

B.等边三角形C.等腰三角形

D.直角三角形B考点题型二：

三角形中的求值、证明问题例2

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b2=ac,且cosB=.（Ⅰ）求的值。（Ⅱ）设,求a+c的值。例2

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b2=ac,且cosB=.（Ⅰ）求的值。由cosB=得sinB=又b2=ac∴sin2B=sinAsinC

∴解：例2

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b2=ac,且cosB=.（Ⅱ）设,求a+c的值。由

得：ca·cosB=∴ac=2即

b2=2又由余弦定理:b2=a2+c2-2ac·cosB

∴a2+c2=5∴(a+c)2=a2+c2+2ac=9

得a+c=3这是一道向量、正余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系。评注：练习2、（2010山东）

在ΔABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c若a=b=2,sinB+cosB=

则角A=

．练一练：考点题型三：

三角形中三角函数的应用

例3如图：有一块半径为1m,中心角为的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形上，然后作其最大的内接矩形.请求出最大面积.0ABCDEFa6p6p6p如图，设∠COB=α(0<α<),则BC=sinα=AD,OB=cosα.又

=tan,所以OA=AD=sinα，所以AB=cosα-sinα,则S矩形ABCD=sinα(cosα-sinα)=sin2α+cos２α-=sin(2α+)-,当sin(2α+)=1,即α=

时，

矩形面积取最大值m2.解：

三角形中三角函数应用问题，常设角参数（注意范围），把题目中出现的边角用含角的三角函数表示，再转化为求三角函数的最值问题.其中确定是什么样的三角形，用哪些定理或哪些边角关系，列出等式或不等式是关键.评注：练习3如图：ABCD中，∠ABC=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积（）B.C.D.B练一练课堂小结：

高考中对这部分内容主要考查三角形中三角变